Ιστορία των Μαθηματικών

παραρτήματα

υποσημειώσεις

βιβλιογραφικές αναφορές


Play button

3000 BCE - 2023

Ιστορία των Μαθηματικών



Η ιστορία των μαθηματικών ασχολείται με την προέλευση των ανακαλύψεων στα μαθηματικά και τις μαθηματικές μεθόδους και σημειογραφία του παρελθόντος.Πριν από τη σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια εξάπλωση της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων έχουν έρθει στο φως μόνο σε λίγες τοποθεσίες.Από το 3000 π.Χ., τα κράτη της Μεσοποταμίας Σούμερ, Ακκάδ και Ασσυρία, ακολουθούμενα από τηνΑρχαία Αίγυπτο και το Λεβαντινό κράτος της Έμπλα, άρχισαν να χρησιμοποιούν την αριθμητική, την άλγεβρα και τη γεωμετρία για σκοπούς φορολογίας, εμπορίου, εμπορίου και επίσης για τα πρότυπα στη φύση, στον τομέα της αστρονομία και να καταγράφει το χρόνο και να διαμορφώνει ημερολόγια.Τα παλαιότερα διαθέσιμα μαθηματικά κείμενα είναι από τη Μεσοποταμία και την Αίγυπτο – Plimpton 322 (Βαβυλωνιακή περ. 2000 – 1900 π.Χ.), [1] ο Rhind Mathematical Papyrus (αιγυπτιακός περ. 1800 π.Χ.) [2] και ο Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας (1900 π.Χ. στην Αίγυπτο). π.Χ.).Όλα αυτά τα κείμενα αναφέρουν τις λεγόμενες πυθαγόρειες τριάδες, επομένως, εξ ορισμού, το Πυθαγόρειο θεώρημα φαίνεται να είναι η αρχαιότερη και πιο διαδεδομένη μαθηματική εξέλιξη μετά τη βασική αριθμητική και γεωμετρία.Η μελέτη των μαθηματικών ως «επιδεικτικής πειθαρχίας» ξεκίνησε τον 6ο αιώνα π.Χ. με τους Πυθαγόρειους, οι οποίοι επινόησαν τον όρο «μαθηματικά» από το αρχαίο ελληνικό μάθημα (μαθηματικά), που σημαίνει «αντικείμενο διδασκαλίας».[3] Τα ελληνικά μαθηματικά βελτίωσαν πολύ τις μεθόδους (ιδιαίτερα μέσω της εισαγωγής του απαγωγικού συλλογισμού και της μαθηματικής αυστηρότητας στις αποδείξεις) και διεύρυναν το αντικείμενο των μαθηματικών.[4] Αν και ουσιαστικά δεν συνέβαλαν στα θεωρητικά μαθηματικά, οι αρχαίοι Ρωμαίοι χρησιμοποιούσαν εφαρμοσμένα μαθηματικά στην τοπογραφία, τη δομική μηχανική, τη μηχανολογία, την τήρηση βιβλίων, τη δημιουργία σεληνιακών και ηλιακών ημερολογίων, ακόμη και τις τέχνες και τις τέχνες.Τα κινεζικά μαθηματικά έκαναν πρώιμες συνεισφορές, συμπεριλαμβανομένου ενός συστήματος τοποαξίας και της πρώτης χρήσης αρνητικών αριθμών.[5] Το ινδουο-αραβικό σύστημα αριθμών και οι κανόνες για τη χρήση των λειτουργιών του, που χρησιμοποιούνται σε όλο τον κόσμο σήμερα, εξελίχθηκαν κατά τη διάρκεια της πρώτης χιλιετίας Κ.Χ. στηνΙνδία και μεταδόθηκαν στον δυτικό κόσμο μέσω των ισλαμικών μαθηματικών μέσω της εργασίας του Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī.[6] Τα ισλαμικά μαθηματικά, με τη σειρά τους, ανέπτυξαν και διεύρυναν τα μαθηματικά που ήταν γνωστά σε αυτούς τους πολιτισμούς.[7] Σύγχρονα αλλά ανεξάρτητα από αυτές τις παραδόσεις ήταν τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν από τον πολιτισμό των Μάγια του Μεξικού και της Κεντρικής Αμερικής, όπου η έννοια του μηδέν δόθηκε ένα τυπικό σύμβολο στους αριθμούς των Μάγια.Πολλά ελληνικά και αραβικά κείμενα για τα μαθηματικά μεταφράστηκαν στα λατινικά από τον 12ο αιώνα και μετά, οδηγώντας σε περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών στη μεσαιωνική Ευρώπη.Από την αρχαιότητα μέχρι τον Μεσαίωνα, οι περίοδοι μαθηματικών ανακαλύψεων ακολουθήθηκαν συχνά από αιώνες στασιμότητας.[8] Ξεκινώντας στηνΙταλία της Αναγέννησης τον 15ο αιώνα, νέες μαθηματικές εξελίξεις, που αλληλεπιδρούν με νέες επιστημονικές ανακαλύψεις, έγιναν με αυξανόμενο ρυθμό που συνεχίζεται μέχρι σήμερα.Αυτό περιλαμβάνει το πρωτοποριακό έργο τόσο του Isaac Newton όσο και του Gottfried Wilhelm Leibniz στην ανάπτυξη του απειροελάχιστου λογισμού κατά τη διάρκεια του 17ου αιώνα.
HistoryMaps Shop

Επισκεφθείτε το κατάστημα

Αρχαία Αιγυπτιακά Μαθηματικά
Αιγυπτιακή μονάδα μέτρησης του πήχει. ©HistoryMaps
3000 BCE Jan 1 - 300 BCE

Αρχαία Αιγυπτιακά Μαθηματικά

Egypt
Τα αρχαίααιγυπτιακά μαθηματικά αναπτύχθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν στην Αρχαία Αίγυπτο γ.3000 έως γ.300 π.Χ., από το Παλαιό Βασίλειο της Αιγύπτου μέχρι περίπου την αρχή της ελληνιστικής Αιγύπτου.Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν ένα αριθμητικό σύστημα για την μέτρηση και την επίλυση γραπτών μαθηματικών προβλημάτων, που συχνά περιελάμβαναν πολλαπλασιασμό και κλάσματα.Τα στοιχεία για τα αιγυπτιακά μαθηματικά περιορίζονται σε έναν σπάνιο αριθμό σωζόμενων πηγών γραμμένων σε πάπυρο.Από αυτά τα κείμενα είναι γνωστό ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι κατανοούσαν έννοιες της γεωμετρίας, όπως ο προσδιορισμός του εμβαδού και του όγκου των τρισδιάστατων σχημάτων χρήσιμων για την αρχιτεκτονική μηχανική και της άλγεβρας, όπως η μέθοδος ψευδούς θέσης και οι τετραγωνικές εξισώσεις.Γραπτές αποδείξεις για τη χρήση των μαθηματικών χρονολογούνται τουλάχιστον από το 3200 π.Χ. με τις ετικέτες από ελεφαντόδοντο που βρέθηκαν στον τάφο Uj στην Άβυδο.Αυτές οι ετικέτες φαίνεται ότι χρησιμοποιήθηκαν ως ετικέτες για τα κτερίσματα των τάφων και ορισμένες είναι χαραγμένες με αριθμούς.[18] Περαιτέρω στοιχεία για τη χρήση του βασικού συστήματος αριθμών 10 μπορούν να βρεθούν στο Narmer Macehead που απεικονίζει προσφορές 400.000 βοδιών, 1.422.000 κατσίκες και 120.000 αιχμαλώτων.[19] Αρχαιολογικά στοιχεία έχουν δείξει ότι το αρχαίο αιγυπτιακό σύστημα μέτρησης είχε τις ρίζες του στην Υποσαχάρια Αφρική.[20] Επίσης, σχέδια γεωμετρίας φράκταλ που είναι ευρέως διαδεδομένα στους πολιτισμούς της Υποσαχάριας Αφρικής βρίσκονται επίσης στην αιγυπτιακή αρχιτεκτονική και τα κοσμολογικά σημάδια.[20]Τα πρώτα αληθινά μαθηματικά έγγραφα χρονολογούνται στη 12η Δυναστεία (περίπου 1990–1800 π.Χ.).Ο Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας, ο Αιγυπτιακός Μαθηματικός Δερμάτινος Ρολός, οι Μαθηματικοί Πάπυροι Lahun που αποτελούν μέρος της πολύ μεγαλύτερης συλλογής των παπύρων Kahun και ο Πάπυρος του Βερολίνου 6619 χρονολογούνται όλα σε αυτήν την περίοδο.Ο μαθηματικός πάπυρος Rhind που χρονολογείται στη δεύτερη ενδιάμεση περίοδο (περίπου 1650 π.Χ.) λέγεται ότι βασίζεται σε ένα παλαιότερο μαθηματικό κείμενο της 12ης δυναστείας.[22]
▲
●
Σουμεριακά Μαθηματικά
Αρχαίο Σούμερ ©Anonymous
3000 BCE Jan 1 - 2000 BCE

Σουμεριακά Μαθηματικά

Iraq
Οι αρχαίοι Σουμέριοι της Μεσοποταμίας ανέπτυξαν ένα πολύπλοκο σύστημα μετρολογίας από το 3000 π.Χ.Από το 2600 π.Χ. και μετά, οι Σουμέριοι έγραψαν πίνακες πολλαπλασιασμού σε πήλινες πλάκες και ασχολήθηκαν με γεωμετρικές ασκήσεις και προβλήματα διαίρεσης.Τα παλαιότερα ίχνη των βαβυλωνιακών αριθμών χρονολογούνται επίσης σε αυτήν την περίοδο.[9]
▲
●
Αβακας
Ο Ιούλιος Καίσαρας ως αγόρι, μαθαίνει να μετράει χρησιμοποιώντας έναν άβακα. ©Peter Jackson
2700 BCE Jan 1 - 2300 BCE

Αβακας

Mesopotamia, Iraq
Ο άβακας (πληθυντικός άβακος ή άβακας), που ονομάζεται επίσης πλαίσιο μέτρησης, είναι ένα εργαλείο υπολογισμού που χρησιμοποιείται από την αρχαιότητα.Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Εγγύς Ανατολή, την Ευρώπη,την Κίνα και τη Ρωσία, χιλιετίες πριν από την υιοθέτηση του ινδουο-αραβικού συστήματος αριθμών.[127] Η ακριβής προέλευση του άβακα δεν έχει ακόμη ανακαλυφθεί.Αποτελείται από σειρές κινητών χάντρων, ή παρόμοιων αντικειμένων, κορδονωμένων σε ένα σύρμα.Αντιπροσωπεύουν ψηφία.Ρυθμίζεται ένας από τους δύο αριθμούς και τα σφαιρίδια χειρίζονται για να εκτελέσουν μια πράξη όπως πρόσθεση ή ακόμα και μια τετραγωνική ή κυβική ρίζα.Ο άβακας των Σουμερίων εμφανίστηκε μεταξύ 2700 και 2300 π.Χ.Κρατούσε έναν πίνακα διαδοχικών στηλών που οριοθετούσαν τις διαδοχικές τάξεις μεγέθους του σεξουαλικού συστήματος αριθμών τους (βάση 60).[128]
▲
●
Παλαιά Βαβυλωνιακά Μαθηματικά
Αρχαία Μεσοποταμία ©Anonymous
2000 BCE Jan 1 - 1600 BCE

Παλαιά Βαβυλωνιακά Μαθηματικά

Babylon, Iraq
Τα βαβυλωνιακά μαθηματικά γράφτηκαν χρησιμοποιώντας ένα σεξουαλικό (βάση-60) αριθμητικό σύστημα.[12] Από αυτό προκύπτει η σύγχρονη χρήση των 60 δευτερολέπτων σε ένα λεπτό, 60 λεπτών σε μια ώρα και 360 (60 × 6) μοιρών σε έναν κύκλο, καθώς και η χρήση δευτερολέπτων και λεπτών τόξου για τον προσδιορισμό κλασμάτων ενός βαθμού.Είναι πιθανό να επιλέχθηκε το σεξουαλικό σύστημα επειδή το 60 μπορεί να διαιρεθεί ομοιόμορφα με το 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 και 30. [12] Επίσης, σε αντίθεση με τουςΑιγύπτιους , τους Έλληνες και τους Ρωμαίους, οι Οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα σύστημα τοποαξίας, όπου τα ψηφία που γράφονταν στην αριστερή στήλη αντιπροσώπευαν μεγαλύτερες τιμές, όπως στο δεκαδικό σύστημα.[13] Η δύναμη του βαβυλωνιακού συμβολαιογραφικού συστήματος έγκειται στο ότι μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση κλασμάτων τόσο εύκολα όσο και οι ακέραιοι αριθμοί.Έτσι, ο πολλαπλασιασμός δύο αριθμών που περιείχαν κλάσματα δεν διέφερε από τον πολλαπλασιασμό ακεραίων, παρόμοιο με τον σύγχρονο συμβολισμό.[13] Το σύστημα σημειογραφίας των Βαβυλωνίων ήταν το καλύτερο από οποιονδήποτε πολιτισμό μέχρι την Αναγέννηση, [14] και η δύναμή του του επέτρεψε να επιτύχει αξιοσημείωτη υπολογιστική ακρίβεια.Για παράδειγμα, η βαβυλωνιακή ταμπλέτα YBC 7289 δίνει μια προσέγγιση √2 με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων.[14] Οι Βαβυλώνιοι δεν είχαν, ωστόσο, ένα ισοδύναμο της υποδιαστολής, και έτσι η θέση αξίας ενός συμβόλου έπρεπε συχνά να συναχθεί από τα συμφραζόμενα.[13] Μέχρι την περίοδο των Σελευκιδών , οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει ένα σύμβολο μηδέν ως σύμβολο κράτησης θέσης για κενές θέσεις.ωστόσο χρησιμοποιήθηκε μόνο για ενδιάμεσες θέσεις.[13] Αυτό το σημάδι μηδέν δεν εμφανίζεται σε τερματικές θέσεις, επομένως οι Βαβυλώνιοι πλησίασαν αλλά δεν ανέπτυξαν ένα αληθινό σύστημα τοποαξίας.[13]Άλλα θέματα που καλύπτονται από τα βαβυλωνιακά μαθηματικά περιλαμβάνουν τα κλάσματα, την άλγεβρα, τις τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις και τον υπολογισμό των κανονικών αριθμών και τα αμοιβαία ζεύγη τους.[15] Οι ταμπλέτες περιλαμβάνουν επίσης πίνακες πολλαπλασιασμού και μεθόδους για την επίλυση γραμμικών, τετραγωνικών και κυβικών εξισώσεων, ένα αξιοσημείωτο επίτευγμα για την εποχή.[16] Πινακίδες από την Παλαιά Βαβυλωνιακή περίοδο περιέχουν επίσης την παλαιότερη γνωστή δήλωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.[17] Ωστόσο, όπως και με τα αιγυπτιακά μαθηματικά, τα βαβυλωνιακά μαθηματικά δεν δείχνουν καμία επίγνωση της διαφοράς μεταξύ ακριβών και προσεγγιστικών λύσεων ή τη δυνατότητα επίλυσης ενός προβλήματος και το πιο σημαντικό, καμία ρητή δήλωση της ανάγκης για αποδείξεις ή λογικές αρχές.[13]Χρησιμοποίησαν επίσης μια μορφή ανάλυσης Fourier για να υπολογίσουν ένα εφήμερο (πίνακας αστρονομικών θέσεων), το οποίο ανακαλύφθηκε τη δεκαετία του 1950 από τον Otto Neugebauer.[11] Για να κάνουν υπολογισμούς των κινήσεων των ουράνιων σωμάτων, οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν βασική αριθμητική και ένα σύστημα συντεταγμένων βασισμένο στην εκλειπτική, το τμήμα των ουρανών που ταξιδεύουν ο ήλιος και οι πλανήτες.
▲
●
Θεώρημα Θαλής
©Gabriel Nagypal
600 BCE Jan 1

Θεώρημα Θαλής

Babylon, Iraq
Τα ελληνικά μαθηματικά φέρεται να ξεκίνησαν με τον Θαλή της Μιλήτου (περ. 624–548 π.Χ.).Πολύ λίγα είναι γνωστά για τη ζωή του, αν και είναι γενικά αποδεκτό ότι ήταν ένας από τους Επτά Σοφούς της Ελλάδας.Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ταξίδεψε στη Βαβυλώνα από όπου έμαθε μαθηματικά και άλλα θέματα, καταλήγοντας στην απόδειξη αυτού που σήμερα ονομάζεται Θεώρημα του Θαλή.[23]Ο Θαλής χρησιμοποίησε τη γεωμετρία για να λύσει προβλήματα όπως ο υπολογισμός του ύψους των πυραμίδων και της απόστασης των πλοίων από την ακτή.Του πιστώνεται η πρώτη χρήση του απαγωγικού συλλογισμού που εφαρμόστηκε στη γεωμετρία, με την εξαγωγή τεσσάρων συμπερασμάτων στο Θεώρημα του Θαλή.Ως αποτέλεσμα, έχει χαιρετιστεί ως ο πρώτος αληθινός μαθηματικός και το πρώτο γνωστό άτομο στο οποίο έχει αποδοθεί μια μαθηματική ανακάλυψη.[30]
▲
●
Πυθαγόρας
Λεπτομέρεια του Πυθαγόρα με πινακίδα αναλογιών, από το The School of Athens του Ραφαήλ.Ανάκτορο του Βατικανού, Ρώμη, 1509. ©Raphael Santi
580 BCE Jan 1

Πυθαγόρας

Samos, Greece
Μια εξίσου αινιγματική φιγούρα είναι ο Πυθαγόρας της Σάμου (περίπου 580–500 π.Χ.), ο οποίος υποτίθεται ότι επισκέφτηκετην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα [24] και τελικά εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας, όπου ξεκίνησε ένα είδος αδελφοσύνης.Οι Πυθαγόρειοι υποτίθεται ότι πίστευαν ότι «όλα είναι αριθμός» και ήταν πρόθυμοι να αναζητήσουν μαθηματικές σχέσεις μεταξύ αριθμών και πραγμάτων.[25] Ο ίδιος ο Πυθαγόρας έλαβε τα εύσημα για πολλές μεταγενέστερες ανακαλύψεις, συμπεριλαμβανομένης της κατασκευής των πέντε κανονικών στερεών.Σχεδόν το ήμισυ του υλικού στα Στοιχεία του Ευκλείδη αποδίδεται συνήθως στους Πυθαγόρειους, συμπεριλαμβανομένης της ανακάλυψης παράλογων, που αποδίδονται στον Ιππάσο (περ. 530–450 π.Χ.) και στον Θεόδωρο (π. 450 π.Χ.).[26] Ήταν οι Πυθαγόρειοι που επινόησαν τον όρο «μαθηματικά» και με τους οποίους ξεκινά η μελέτη των μαθηματικών για χάρη της.Ο μεγαλύτερος μαθηματικός που συνδέθηκε με την ομάδα, ωστόσο, μπορεί να ήταν ο Αρχύτας (περίπου 435-360 π.Χ.), ο οποίος έλυσε το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, προσδιόρισε τον αρμονικό μέσο όρο και πιθανώς συνέβαλε στην οπτική και τη μηχανική.[26] Άλλοι μαθηματικοί που δραστηριοποιούνται αυτήν την περίοδο, που δεν συνδέονται πλήρως με καμία σχολή, περιλαμβάνουν τον Ιπποκράτη της Χίου (περίπου 470–410 π.Χ.), τον Θεαίτητο (περίπου 417–369 π.Χ.) και τον Εύδοξο (περίπου 408–355 π.Χ.) .
▲
●
Ανακάλυψη παράλογων αριθμών
Ο Ύμνος των Πυθαγορείων στον Ανατέλλοντα Ήλιο. ©Fyodor Bronnikov
400 BCE Jan 1

Ανακάλυψη παράλογων αριθμών

Metapontum, Province of Matera
Η πρώτη απόδειξη της ύπαρξης παράλογων αριθμών συνήθως αποδίδεται σε έναν Πυθαγόρειο (πιθανόν τον Ίππασο του Μεταπόντιου), [39] που πιθανώς τους ανακάλυψε ενώ εντόπισε τις πλευρές του πενταγράμμου.[40] Η τότε τρέχουσα Πυθαγόρεια μέθοδος θα υποστήριζε ότι πρέπει να υπάρχει κάποια αρκετά μικρή, αδιαίρετη μονάδα που θα μπορούσε να χωρέσει ομοιόμορφα σε ένα από αυτά τα μήκη καθώς και στο άλλο.Ο Ίππασος, τον 5ο αιώνα π.Χ., ωστόσο, μπόρεσε να συμπεράνει ότι στην πραγματικότητα δεν υπήρχε κοινή μονάδα μέτρησης και ότι ο ισχυρισμός μιας τέτοιας ύπαρξης ήταν στην πραγματικότητα μια αντίφαση.Οι Έλληνες μαθηματικοί ονόμασαν αυτή την αναλογία ασύγκριτων μεγεθών alogos, ή ανέκφραστη.Ο Ίππασος, ωστόσο, δεν εγκωμιάστηκε για τις προσπάθειές του: σύμφωνα με έναν μύθο, έκανε την ανακάλυψή του ενώ βρισκόταν στη θάλασσα και στη συνέχεια πετάχτηκε στη θάλασσα από τους συναδέλφους του Πυθαγόρειους «γιατί δημιούργησε ένα στοιχείο στο σύμπαν που αρνιόταν το... δόγμα ότι όλα τα φαινόμενα στο σύμπαν μπορούν να αναχθούν σε ακέραιους αριθμούς και τις αναλογίες τους».[41] Όποια και αν ήταν η συνέπεια για τον ίδιο τον Ίππασο, η ανακάλυψή του έθεσε ένα πολύ σοβαρό πρόβλημα στα Πυθαγόρεια μαθηματικά, καθώς διέλυσε την υπόθεση ότι ο αριθμός και η γεωμετρία ήταν αδιαχώριστα – ένα θεμέλιο της θεωρίας τους.
▲
●
Πλάτων
Ψηφιδωτό της Ακαδημίας Πλάτωνος – από τη Βίλα του T. Siminius Stephanus στην Πομπηία. ©Anonymous
387 BCE Jan 1

Πλάτων

Athens, Greece
Ο Πλάτωνας είναι σημαντικός στην ιστορία των μαθηματικών για να εμπνέει και να καθοδηγεί τους άλλους.[31] Η Πλατωνική Ακαδημία του, στην Αθήνα, έγινε το μαθηματικό κέντρο του κόσμου τον 4ο αιώνα π.Χ., και από αυτή τη σχολή ήρθαν οι κορυφαίοι μαθηματικοί της εποχής, όπως ο Εύδοξος της Κνίδου.[32] Ο Πλάτων συζήτησε επίσης τα θεμέλια των μαθηματικών, [33] διευκρίνισε ορισμένους από τους ορισμούς (π.χ. αυτόν της γραμμής ως "μήκος χωρίς πλάτος") και αναδιοργάνωσε τις υποθέσεις.[34] Η αναλυτική μέθοδος αποδίδεται στον Πλάτωνα, ενώ μια φόρμουλα για την απόκτηση Πυθαγόρειων τριπλών φέρει το όνομά του.[32]
▲
●
Κινεζική Γεωμετρία
©HistoryMaps
330 BCE Jan 1

Κινεζική Γεωμετρία

China
Το παλαιότερο υπάρχον έργο για τη γεωμετρία στηνΚίνα προέρχεται από τον φιλοσοφικό κανόνα των Μοχιστών γ.330 π.Χ., που συντάχθηκε από τους οπαδούς του Μόζι (470–390 π.Χ.).Ο Mo Jing περιέγραψε διάφορες πτυχές πολλών πεδίων που σχετίζονται με τη φυσική επιστήμη και παρείχε επίσης έναν μικρό αριθμό γεωμετρικών θεωρημάτων.[77] Καθόρισε επίσης τις έννοιες της περιφέρειας, της διαμέτρου, της ακτίνας και του όγκου.[78]
▲
●
Κινεζικό δεκαδικό σύστημα
©Anonymous
305 BCE Jan 1

Κινεζικό δεκαδικό σύστημα

Hunan, China
Το Tsinghua Bamboo Slips, που περιέχει τον παλαιότερο γνωστό δεκαδικό πίνακα πολλαπλασιασμού (αν και οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι είχαν αυτούς με βάση το 60), χρονολογείται γύρω στο 305 π.Χ. και είναι ίσως το παλαιότερο σωζόμενο μαθηματικό κείμενο τηςΚίνας .[68] Ιδιαίτερα αξιοσημείωτη είναι η χρήση στα κινεζικά μαθηματικά ενός δεκαδικού συστήματος σημειογραφίας θέσης, των λεγόμενων «αριθμών ράβδων» στα οποία χρησιμοποιήθηκαν διακριτοί κρυπτογραφήσεις για αριθμούς μεταξύ 1 και 10 και πρόσθετοι κρυπτογραφήσεις για δυνάμεις του δέκα.[69] Έτσι, ο αριθμός 123 θα γραφόταν χρησιμοποιώντας το σύμβολο για "1", ακολουθούμενο από το σύμβολο για "100", μετά το σύμβολο για "2" ακολουθούμενο από το σύμβολο για "10", ακολουθούμενο από το σύμβολο για " 3".Αυτό ήταν το πιο προηγμένο σύστημα αριθμών στον κόσμο εκείνη την εποχή, προφανώς σε χρήση αρκετούς αιώνες πριν από την κοινή εποχή και πολύ πριν από την ανάπτυξη τουινδικού συστήματος αριθμών.[76] Οι αριθμοί ράβδου επέτρεπαν την αναπαράσταση των αριθμών όσο μεγάλοι ήταν επιθυμητό και επέτρεψαν να πραγματοποιηθούν υπολογισμοί στο ταψί suan, ή στον κινεζικό άβακα.Υποτίθεται ότι οι υπάλληλοι χρησιμοποίησαν τον πίνακα πολλαπλασιασμού για να υπολογίσουν την επιφάνεια της γης, τις αποδόσεις των καλλιεργειών και τα ποσά των οφειλόμενων φόρων.[68]
▲
●
Ελληνιστικά Ελληνικά Μαθηματικά
©Aleksandr Svedomskiy
300 BCE Jan 1

Ελληνιστικά Ελληνικά Μαθηματικά

Greece
Η ελληνιστική εποχή ξεκίνησε στα τέλη του 4ου αιώνα π.Χ., μετά την κατάκτηση από τον Μέγα Αλέξανδρο της Ανατολικής Μεσογείου,της Αιγύπτου , της Μεσοποταμίας , του οροπεδίου του Ιράν , της Κεντρικής Ασίας και τμημάτων τηςΙνδίας , οδηγώντας στη διάδοση της ελληνικής γλώσσας και πολιτισμού σε αυτές τις περιοχές. .Τα ελληνικά έγιναν η γλώσσα της παιδείας σε όλο τον ελληνιστικό κόσμο, και τα μαθηματικά της Κλασικής περιόδου συγχωνεύτηκαν με τα Αιγυπτιακά και Βαβυλωνιακά μαθηματικά για να δημιουργήσουν τα ελληνιστικά μαθηματικά.[27]Τα ελληνικά μαθηματικά και η αστρονομία έφθασαν στην ακμή τους κατά την ελληνιστική και την πρώιμη ρωμαϊκή περίοδο και μεγάλο μέρος του έργου εκπροσωπήθηκε από συγγραφείς όπως ο Ευκλείδης (fl. 300 π.Χ.), ο Αρχιμήδης (περ. 287–212 π.Χ.), ο Απολλώνιος (περ. 240–190). Π.Χ.), ο Ίππαρχος (περίπου 190–120 π.Χ.) και ο Πτολεμαίος (περίπου 100–170 Κ.Χ.) ήταν πολύ προχωρημένου επιπέδου και σπάνια κατέχονταν έξω από έναν μικρό κύκλο.Αρκετά κέντρα μάθησης εμφανίστηκαν κατά την ελληνιστική περίοδο, από τα οποία το σημαντικότερο ήταν το Μουσείο στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, το οποίο προσέλκυσε μελετητές από όλο τον ελληνιστικό κόσμο (κυρίως Έλληνες, αλλά και Αιγύπτιους, Εβραίους, Πέρσες, μεταξύ άλλων).[28] Αν και λίγοι σε αριθμό, οι ελληνιστές μαθηματικοί επικοινωνούσαν ενεργά μεταξύ τους.Η δημοσίευση συνίστατο στη μετάδοση και αντιγραφή της δουλειάς κάποιου μεταξύ συναδέλφων.[29]
▲
●
Ευκλείδης
Λεπτομέρεια της εντύπωσης του Ραφαήλ για τον Ευκλείδη, που διδάσκει μαθητές στη Σχολή των Αθηνών (1509–1511) ©Raffaello Santi
300 BCE Jan 1

Ευκλείδης

Alexandria, Egypt
Τον 3ο αιώνα π.Χ., το κύριο κέντρο της μαθηματικής εκπαίδευσης και έρευνας ήταν το Μουσείο της Αλεξάνδρειας.[36] Εκεί δίδαξε ο Ευκλείδης (περίπου 300 π.Χ.) και έγραψε τα Στοιχεία, που θεωρούνται ευρέως το πιο επιτυχημένο και σημαντικό εγχειρίδιο όλων των εποχών.[35]Θεωρούμενος ο «πατέρας της γεωμετρίας», ο Ευκλείδης είναι κυρίως γνωστός για την πραγματεία Στοιχεία, η οποία καθιέρωσε τα θεμέλια της γεωμετρίας που κυριάρχησαν σε μεγάλο βαθμό στον τομέα μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα.Το σύστημά του, που τώρα αναφέρεται ως Ευκλείδεια γεωμετρία, περιλάμβανε νέες καινοτομίες σε συνδυασμό με μια σύνθεση θεωριών από παλαιότερους Έλληνες μαθηματικούς, συμπεριλαμβανομένων του Εύδοξου της Κνίδου, του Ιπποκράτη του Χίου, του Θαλή και του Θεαίτητου.Με τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο της Πέργας, ο Ευκλείδης θεωρείται γενικά ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της αρχαιότητας και ένας από τους πιο σημαντικούς στην ιστορία των μαθηματικών.Τα Στοιχεία εισήγαγαν τη μαθηματική αυστηρότητα μέσω της αξιωματικής μεθόδου και είναι το αρχαιότερο παράδειγμα της μορφής που χρησιμοποιείται ακόμα στα μαθηματικά σήμερα, αυτό του ορισμού, του αξιώματος, του θεωρήματος και της απόδειξης.Αν και τα περισσότερα από τα περιεχόμενα των Στοιχείων ήταν ήδη γνωστά, ο Ευκλείδης τα τακτοποίησε σε ένα ενιαίο, συνεκτικό λογικό πλαίσιο.[37] Εκτός από τα γνωστά θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, τα Στοιχεία προορίζονταν ως εισαγωγικό εγχειρίδιο σε όλα τα μαθηματικά θέματα της εποχής, όπως η θεωρία αριθμών, η άλγεβρα και η στερεά γεωμετρία, [37] συμπεριλαμβανομένων αποδείξεων ότι η τετραγωνική ρίζα δύο είναι παράλογο και ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.Ο Ευκλείδης έγραψε επίσης εκτενώς για άλλα θέματα, όπως κωνικές τομές, οπτική, σφαιρική γεωμετρία και μηχανική, αλλά μόνο τα μισά γραπτά του σώζονται.[38]Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος είναι ένας από τους παλαιότερους αλγόριθμους κοινής χρήσης.[93] Εμφανίζεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη (περίπου 300 π.Χ.), συγκεκριμένα στο Βιβλίο 7 (Προτάσεις 1–2) και στο Βιβλίο 10 (Προτάσεις 2–3).Στο Βιβλίο 7, ο αλγόριθμος διατυπώνεται για ακέραιους αριθμούς, ενώ στο Βιβλίο 10, διατυπώνεται για μήκη τμημάτων γραμμής.Αιώνες αργότερα, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα τόσο στην Ινδία όσο και στην Κίνα, [94] κυρίως για την επίλυση των Διοφαντικών εξισώσεων που προέκυψαν στην αστρονομία και για την κατασκευή ακριβών ημερολογίων.
▲
●
Αρχιμήδης
©Anonymous
287 BCE Jan 1

Αρχιμήδης

Syracuse, Free municipal conso
Ο Αρχιμήδης των Συρακουσών θεωρείται ένας από τους κορυφαίους επιστήμονες στην κλασική αρχαιότητα.Θεωρούμενος ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαίας ιστορίας και ένας από τους σπουδαιότερους όλων των εποχών, [42] ο Αρχιμήδης περίμενε τον σύγχρονο λογισμό και ανάλυση εφαρμόζοντας την έννοια του απείρως μικρού και τη μέθοδο της εξάντλησης για να εξαγάγει και να αποδείξει αυστηρά μια σειρά από γεωμετρικά θεωρήματα.[43] Αυτά περιλαμβάνουν το εμβαδόν ενός κύκλου, το εμβαδόν επιφάνειας και τον όγκο μιας σφαίρας, το εμβαδόν μιας έλλειψης, το εμβαδόν κάτω από μια παραβολή, τον όγκο ενός τμήματος ενός παραβολοειδούς περιστροφής, τον όγκο ενός τμήματος ενός υπερβολοειδές της επανάστασης και η περιοχή μιας σπείρας.[44]Άλλα μαθηματικά επιτεύγματα του Αρχιμήδη περιλαμβάνουν την εξαγωγή μιας προσέγγισης του pi, τον ορισμό και τη διερεύνηση της σπείρας του Αρχιμήδη και την επινόηση ενός συστήματος που χρησιμοποιεί την εκτόξευση για την έκφραση πολύ μεγάλων αριθμών.Ήταν επίσης ένας από τους πρώτους που εφάρμοσε τα μαθηματικά σε φυσικά φαινόμενα, δουλεύοντας στη στατική και την υδροστατική.Τα επιτεύγματα του Αρχιμήδη σε αυτόν τον τομέα περιλαμβάνουν την απόδειξη του νόμου του μοχλού, [45] την ευρεία χρήση της έννοιας του κέντρου βάρους [46] και την εκφώνηση του νόμου της άνωσης ή της αρχής του Αρχιμήδη.Ο Αρχιμήδης πέθανε κατά τη διάρκεια τηςπολιορκίας των Συρακουσών , όταν σκοτώθηκε από έναν Ρωμαίο στρατιώτη παρά τις εντολές ότι δεν έπρεπε να υποστεί κακό.
▲
●
Η παραβολή του Απολλώνιου
©Domenico Fetti
262 BCE Jan 1

Η παραβολή του Απολλώνιου

Aksu/Antalya, Türkiye
Ο Απολλώνιος της Πέργας (περίπου 262–190 π.Χ.) έκανε σημαντικές προόδους στη μελέτη των κωνικών τομών, δείχνοντας ότι μπορεί κανείς να αποκτήσει και τις τρεις ποικιλίες κωνικής τομής μεταβάλλοντας τη γωνία του επιπέδου που κόβει έναν κώνο με διπλό άκρο.[47] Επινόησε επίσης την ορολογία που χρησιμοποιείται σήμερα για κωνικές τομές, δηλαδή παραβολή («τόπος δίπλα» ή «σύγκριση»), «έλλειψη» («ανεπάρκεια») και «υπερβολή» («ένα ρίξιμο πέρα»).[48] ​​Το έργο του Conics είναι ένα από τα πιο γνωστά και διατηρημένα μαθηματικά έργα από την αρχαιότητα, και σε αυτό αντλεί πολλά θεωρήματα σχετικά με κωνικές τομές που θα αποδεικνύονταν ανεκτίμητα για μεταγενέστερους μαθηματικούς και αστρονόμους που μελετούσαν την πλανητική κίνηση, όπως ο Isaac Newton.[49] Ενώ ούτε ο Απολλώνιος ούτε οποιοσδήποτε άλλος Έλληνας μαθηματικός έκανε το άλμα για να συντονίσει τη γεωμετρία, η επεξεργασία των καμπυλών του Απολλώνιου είναι κατά κάποιο τρόπο παρόμοια με τη σύγχρονη αντιμετώπιση, και μερικά από τα έργα του φαίνεται να προσδοκούν την ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Descartes περίπου το 1800 χρόνια μετά.[50]
▲
●
Εννέα Κεφάλαια για τη Μαθηματική Τέχνη
©Luo Genxing
200 BCE Jan 1

Εννέα Κεφάλαια για τη Μαθηματική Τέχνη

China
Το 212 π.Χ., ο αυτοκράτορας Τσιν Σι Χουάνγκ διέταξε να καούν όλα τα βιβλία στην Αυτοκρατορία Τσιν , εκτός από εκείνα που έχουν εγκριθεί επίσημα.Αυτό το διάταγμα δεν τηρήθηκε καθολικά, αλλά ως συνέπεια αυτής της εντολής λίγα είναι γνωστά για τα αρχαίακινέζικα μαθηματικά πριν από αυτή την ημερομηνία.Μετά το κάψιμο των βιβλίων του 212 π.Χ., η δυναστεία των Χαν (202 Π.Κ.Χ.–220 Κ.Χ.) παρήγαγε μαθηματικά έργα τα οποία προφανώς επεκτάθηκαν σε έργα που τώρα έχουν χαθεί.Μετά το κάψιμο των βιβλίων του 212 π.Χ., η δυναστεία των Χαν (202 Π.Κ.Χ.–220 Κ.Χ.) παρήγαγε μαθηματικά έργα τα οποία προφανώς επεκτάθηκαν σε έργα που τώρα έχουν χαθεί.Το πιο σημαντικό από αυτά είναι τα Εννέα Κεφάλαια για τη Μαθηματική Τέχνη, ο πλήρης τίτλος του οποίου εμφανίστηκε από το CE 179, αλλά υπήρχε εν μέρει υπό άλλους τίτλους προηγουμένως.Αποτελείται από προβλήματα 246 λέξεων που αφορούν τη γεωργία, τις επιχειρήσεις, τη χρήση της γεωμετρίας για τον υπολογισμό των ανοιγμάτων ύψους και τις αναλογίες διαστάσεων για κινεζικούς πύργους παγόδας, τη μηχανική, την τοπογραφία και περιλαμβάνει υλικό για ορθογώνια τρίγωνα.[79] Δημιούργησε μαθηματική απόδειξη για το Πυθαγόρειο θεώρημα [81] και έναν μαθηματικό τύπο για την εξάλειψη του Gauss.[80] Η πραγματεία παρέχει επίσης τιμές του π, [79] τις οποίες οι Κινέζοι μαθηματικοί προσέγγιζαν αρχικά ως 3 έως ότου ο Liu Xin (π. 23 Κ.Χ.) παρείχε έναν αριθμό 3,1457 και στη συνέχεια ο Zhang Heng (78–139) προσέγγισε το pi ως 3,1724, [80 82]] καθώς και 3,162 παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα του 10. [83]Οι αρνητικοί αριθμοί εμφανίζονται για πρώτη φορά στην ιστορία στα Εννέα Κεφάλαια για τη Μαθηματική Τέχνη, αλλά μπορεί να περιέχουν πολύ παλαιότερο υλικό.[84] Ο μαθηματικός Liu Hui (περ. 3ος αιώνας) καθιέρωσε κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση αρνητικών αριθμών.
▲
●
Ίππαρχος & Τριγωνομετρία
«Ο Ίππαρχος στο αστεροσκοπείο της Αλεξάνδρειας».Η ιστορία του κόσμου του Ridpath.1894. ©John Clark Ridpath
190 BCE Jan 1

Ίππαρχος & Τριγωνομετρία

İznik, Bursa, Türkiye
Ο 3ος αιώνας π.Χ. θεωρείται γενικά ως η «Χρυσή Εποχή» των ελληνικών μαθηματικών, με πρόοδο στα καθαρά μαθηματικά εφεξής σε σχετική παρακμή.[51] Παρόλα αυτά, στους αιώνες που ακολούθησαν σημειώθηκαν σημαντικές πρόοδοι στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, κυρίως στην τριγωνομετρία, κυρίως για να καλύψουν τις ανάγκες των αστρονόμων.[51] Ο Ίππαρχος ο Νίκαιας (περίπου 190–120 π.Χ.) θεωρείται ο ιδρυτής της τριγωνομετρίας για τη σύνταξη του πρώτου γνωστού τριγωνομετρικού πίνακα και σε αυτόν οφείλεται επίσης η συστηματική χρήση του κύκλου 360 μοιρών.[52]
▲
●
Almagest του Πτολεμαίου
©Anonymous
100 Jan 1

Almagest του Πτολεμαίου

Alexandria, Egypt
Τον 2ο αιώνα μ.Χ., ο Ελληνο-Αιγύπτιος αστρονόμος Πτολεμαίος (από την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου) κατασκεύασε λεπτομερείς τριγωνομετρικούς πίνακες (πίνακας συγχορδιών του Πτολεμαίου) στο Βιβλίο 1, κεφάλαιο 11 της Αλμαγέστης του.Ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε το μήκος της χορδής για να καθορίσει τις τριγωνομετρικές του συναρτήσεις, μια μικρή διαφορά από την ημιτονοειδή σύμβαση που χρησιμοποιούμε σήμερα.Πέρασαν αιώνες πριν δημιουργηθούν πιο λεπτομερείς πίνακες και η πραγματεία του Πτολεμαίου παρέμεινε σε χρήση για την εκτέλεση τριγωνομετρικών υπολογισμών στην αστρονομία τα επόμενα 1200 χρόνια στον μεσαιωνικό βυζαντινό, ισλαμικό και, αργότερα, δυτικοευρωπαϊκό κόσμο.Ο Πτολεμαίος πιστώνεται επίσης με το θεώρημα του Πτολεμαίου για την εξαγωγή τριγωνομετρικών μεγεθών και την ακριβέστερη τιμή του π εκτός Κίνας μέχρι τη μεσαιωνική περίοδο, 3,1416.[63]
▲
●
Θεώρημα κινεζικού υπολοίπου
©张文新
200 Jan 1

Θεώρημα κινεζικού υπολοίπου

China
Στα μαθηματικά, το κινεζικό θεώρημα υπολοίπου δηλώνει ότι εάν κάποιος γνωρίζει τα υπόλοιπα της ευκλείδειας διαίρεσης ενός ακέραιου αριθμού n με πολλούς ακέραιους αριθμούς, τότε μπορεί να προσδιορίσει μοναδικά το υπόλοιπο της διαίρεσης του n με το γινόμενο αυτών των ακεραίων αριθμών, υπό την προϋπόθεση ότι το Οι διαιρέτες είναι συμπρωτάρηδες κατά ζεύγη (κανένας δύο διαιρέτες δεν μοιράζονται έναν κοινό παράγοντα εκτός από το 1).Η παλαιότερη γνωστή δήλωση του θεωρήματος είναι από τον Κινέζο μαθηματικό Sun-tzu στο Sun-tzu Suan-ching τον 3ο αιώνα μ.Χ.
▲
●
Διοφαντική Ανάλυση
©Tom Lovell
200 Jan 1

Διοφαντική Ανάλυση

Alexandria, Egypt
Μετά από μια περίοδο στασιμότητας μετά τον Πτολεμαίο, η περίοδος μεταξύ 250 και 350 μ.Χ. αναφέρεται μερικές φορές ως η «Ασημένια Εποχή» των ελληνικών μαθηματικών.[53] Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, ο Διόφαντος έκανε σημαντικές προόδους στην άλγεβρα, ιδιαίτερα στην απροσδιόριστη ανάλυση, η οποία είναι επίσης γνωστή ως «Διοφαντική ανάλυση».[54] Η μελέτη των Διοφαντικών εξισώσεων και των Διοφαντικών προσεγγίσεων είναι ένας σημαντικός τομέας έρευνας μέχρι σήμερα.Το κύριο έργο του ήταν το Arithmetica, μια συλλογή από 150 αλγεβρικά προβλήματα που ασχολούνται με ακριβείς λύσεις σε καθορισμένες και απροσδιόριστες εξισώσεις.[55] Το Arithmetica είχε σημαντική επιρροή σε μεταγενέστερους μαθηματικούς, όπως ο Pierre de Fermat, ο οποίος έφτασε στο περίφημο Τελευταίο Θεώρημά του αφού προσπάθησε να γενικεύσει ένα πρόβλημα που είχε διαβάσει στο Arithmetica (αυτό της διαίρεσης ενός τετραγώνου σε δύο τετράγωνα).[56] Ο Διόφαντος έκανε επίσης σημαντικές προόδους στη σημειογραφία, με το Arithmetica να είναι το πρώτο παράδειγμα αλγεβρικού συμβολισμού και συγκοπής.[55]
▲
●
Story of Zero
©HistoryMaps
224 Jan 1

Story of Zero

India
Οι αρχαίοιαιγυπτιακοί αριθμοί ήταν της βάσης 10. Χρησιμοποιούσαν ιερογλυφικά για τα ψηφία και δεν ήταν θέσεις.Στα μέσα της 2ης χιλιετίας π.Χ., τα βαβυλωνιακά μαθηματικά είχαν ένα εξελιγμένο σύστημα αριθμών θέσης βάσης 60.Η έλλειψη μιας τιμής θέσης (ή μηδέν) υποδεικνύεται από ένα κενό μεταξύ σεξουαλικών αριθμών.Το ημερολόγιο Mesoamerican Long Count που αναπτύχθηκε στο νότιο-κεντρικό Μεξικό και την Κεντρική Αμερική απαιτούσε τη χρήση του μηδενός ως σύμβολο κράτησης θέσης στο vigesimal (base-20) σύστημα αριθμών θέσης του.Η έννοια του μηδενός ως γραμμένου ψηφίου στον συμβολισμό της δεκαδικής αξίας αναπτύχθηκε στην Ινδία.[65] Ένα σύμβολο για το μηδέν, μια μεγάλη κουκκίδα που πιθανόν να είναι ο πρόδρομος του κοίλου συμβόλου που εξακολουθεί να ισχύει, χρησιμοποιείται σε όλο το χειρόγραφο Bakhshali, ένα πρακτικό εγχειρίδιο για την αριθμητική για τους εμπόρους.[66] Το 2017, τρία δείγματα από το χειρόγραφο φάνηκε με χρονολόγηση με ραδιενεργό άνθρακα ότι προέρχονται από τρεις διαφορετικούς αιώνες: από το CE 224–383, το CE 680–779 και το CE 885–993, καθιστώντας το την παλαιότερη καταγεγραμμένη χρήση του μηδενός στη Νότια Ασία σύμβολο.Δεν είναι γνωστό πώς συσκευάστηκαν μαζί τα θραύσματα του φλοιού σημύδας από διαφορετικούς αιώνες που αποτέλεσαν το χειρόγραφο.[67] Κανόνες που διέπουν τη χρήση του μηδενός εμφανίστηκαν στο Brahmasputha Siddhanta (7ος αιώνας) του Brahmagupta, ο οποίος δηλώνει το άθροισμα του μηδενός με τον εαυτό του ως μηδέν και λανθασμένα διαίρεση με το μηδέν ως:Ένας θετικός ή αρνητικός αριθμός όταν διαιρείται με το μηδέν είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή το μηδέν.Το μηδέν διαιρούμενο με αρνητικό ή θετικό αριθμό είναι είτε μηδέν είτε εκφράζεται ως κλάσμα με αριθμητή το μηδέν και παρονομαστή την πεπερασμένη ποσότητα.Το μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν είναι μηδέν.
▲
●
Υπατία
©Julius Kronberg
350 Jan 1

Υπατία

Alexandria, Egypt
Η πρώτη γυναίκα μαθηματικός που καταγράφηκε από την ιστορία ήταν η Υπατία της Αλεξάνδρειας (Κ.Ε. 350–415).Έγραψε πολλά έργα για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά.Λόγω μιας πολιτικής διαμάχης, η χριστιανική κοινότητα στην Αλεξάνδρεια την έγδυσε δημόσια και την εκτέλεσε.Ο θάνατός της θεωρείται μερικές φορές ως το τέλος της εποχής των αλεξανδρινών ελληνικών μαθηματικών, αν και η δουλειά συνεχίστηκε στην Αθήνα για έναν ακόμη αιώνα με μορφές όπως ο Πρόκλος, ο Σιμπλίκιος και ο Ευτόκιος.[57] Αν και ο Πρόκλος και ο Σιμπλίκιος ήταν περισσότερο φιλόσοφοι παρά μαθηματικοί, τα σχόλιά τους σε προηγούμενα έργα είναι πολύτιμες πηγές για τα ελληνικά μαθηματικά.Το κλείσιμο της νεοπλατωνικής Ακαδημίας Αθηνών από τον αυτοκράτορα Ιουστινιανό το 529 μ.Χ. θεωρείται παραδοσιακά ως το τέλος της εποχής των ελληνικών μαθηματικών, αν και η ελληνική παράδοση συνεχίστηκε αδιάσπαστη στη Βυζαντινή αυτοκρατορία με μαθηματικούς όπως ο Ανθέμιος των Τράλλων και ο Ισίδωρος. της Μιλήτου, οι αρχιτέκτονες της Αγίας Σοφίας.[58] Ωστόσο, τα βυζαντινά μαθηματικά αποτελούνταν κυρίως από σχόλια, με ελάχιστη καινοτομία, και τα κέντρα της μαθηματικής καινοτομίας είχαν βρεθεί αλλού εκείνη την εποχή.[59]
▲
●
Play button
505 Jan 1

Ινδική Τριγωνομετρία

Patna, Bihar, India
Η σύγχρονη ημιτονοειδής σύμβαση επιβεβαιώνεται για πρώτη φορά στο Surya Siddhanta (δείχνοντας ισχυρή ελληνιστική επιρροή) [64] , και οι ιδιότητές του τεκμηριώθηκαν περαιτέρω από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhata του 5ου αιώνα (Κ.Χ.).[60] Το Surya Siddhanta περιγράφει κανόνες για τον υπολογισμό των κινήσεων διαφόρων πλανητών και της σελήνης σε σχέση με διάφορους αστερισμούς, διαμέτρους διαφόρων πλανητών και υπολογίζει τις τροχιές διαφόρων αστρονομικών σωμάτων.Το κείμενο είναι γνωστό για μερικές από τις παλαιότερες γνωστές συζητήσεις σεξουαλικών κλασμάτων και τριγωνομετρικών συναρτήσεων.[61]
▲
●
Play button
510 Jan 1

Ινδικό δεκαδικό σύστημα

India
Γύρω στο 500 μ.Χ., ο Aryabhata έγραψε το Aryabhatiya, έναν λεπτό τόμο, γραμμένο σε στίχους, που προοριζόταν να συμπληρώσει τους κανόνες υπολογισμού που χρησιμοποιούνται στην αστρονομία και τη μαθηματική μέτρηση.[62] Αν και περίπου οι μισές εγγραφές είναι λανθασμένες, στην Aryabhatiya εμφανίζεται για πρώτη φορά το δεκαδικό σύστημα τοποαξίας.
▲
●
Play button
780 Jan 1

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

Uzbekistan
Τον 9ο αιώνα, ο μαθηματικός Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī έγραψε ένα σημαντικό βιβλίο για τους ινδουοαραβικούς αριθμούς και ένα για τις μεθόδους επίλυσης εξισώσεων.Το βιβλίο του On the Calculation with Hindu Numerals, που γράφτηκε περίπου το 825, μαζί με το έργο του Al-Kindi, συνέβαλαν καθοριστικά στη διάδοση των ινδικών μαθηματικών και των ινδικών αριθμών στη Δύση.Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από τη λατινοποίηση του ονόματός του, Algoritmi, και η λέξη άλγεβρα από τον τίτλο ενός από τα έργα του, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala (The Compendious Book on Calculation by Ολοκλήρωση και εξισορρόπηση).Έδωσε μια εξαντλητική εξήγηση για την αλγεβρική λύση τετραγωνικών εξισώσεων με θετικές ρίζες [87] και ήταν ο πρώτος που δίδαξε την άλγεβρα σε στοιχειώδη μορφή και για χάρη της.[88] Συζήτησε επίσης τη θεμελιώδη μέθοδο «αναγωγής» και «εξισορρόπησης», αναφερόμενος στη μεταφορά αφαιρούμενων όρων στην άλλη πλευρά μιας εξίσωσης, δηλαδή την ακύρωση όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης.Αυτή είναι η επιχείρηση που ο al-Khwārizmī αρχικά περιέγραψε ως al-jabr.[89] Η άλγεβρα του επίσης δεν αφορούσε πλέον «με μια σειρά προβλημάτων που έπρεπε να επιλυθούν, αλλά μια έκθεση που ξεκινά με πρωτόγονους όρους στους οποίους οι συνδυασμοί πρέπει να δίνουν όλα τα πιθανά πρωτότυπα για εξισώσεις, οι οποίες στο εξής αποτελούν ρητά το πραγματικό αντικείμενο μελέτης. "Μελέτησε επίσης μια εξίσωση για χάρη της και «με γενικό τρόπο, στο βαθμό που δεν προκύπτει απλώς κατά την επίλυση ενός προβλήματος, αλλά καλείται συγκεκριμένα να ορίσει μια άπειρη κατηγορία προβλημάτων».[90]
▲
●
Αμπού Καμίλ
©Davood Diba
850 Jan 1

Αμπού Καμίλ

Egypt
Ο Abū Kāmil Shujā' ibn Aslam ibn Muhammad Ibn Shujā' ήταν ένας εξέχωνΑιγύπτιος μαθηματικός κατά την Ισλαμική Χρυσή Εποχή.Θεωρείται ο πρώτος μαθηματικός που χρησιμοποίησε και αποδέχτηκε συστηματικά τους παράλογους αριθμούς ως λύσεις και συντελεστές σε εξισώσεις.[91] Οι μαθηματικές του τεχνικές υιοθετήθηκαν αργότερα από τον Fibonacci, επιτρέποντας έτσι στον Abu Kamil ένα σημαντικό ρόλο στην εισαγωγή της άλγεβρας στην Ευρώπη.[92]
▲
●
Μαθηματικά των Μάγια
©Louis S. Glanzman
900 Jan 1

Μαθηματικά των Μάγια

Mexico
Στην Προκολομβιανή Αμερική, ο πολιτισμός των Μάγια που άκμασε στο Μεξικό και την Κεντρική Αμερική κατά την 1η χιλιετία Κ.Χ. ανέπτυξε μια μοναδική παράδοση μαθηματικών που, λόγω της γεωγραφικής του απομόνωσης, ήταν εντελώς ανεξάρτητη από τα υπάρχοντα ευρωπαϊκά,αιγυπτιακά και ασιατικά μαθηματικά.[92] Οι αριθμοί των Μάγια χρησιμοποιούσαν μια βάση του είκοσι, το vigesimal σύστημα, αντί για μια βάση του δέκα που αποτελεί τη βάση του δεκαδικού συστήματος που χρησιμοποιείται από τους περισσότερους σύγχρονους πολιτισμούς.[92] Οι Μάγια χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά για να δημιουργήσουν το ημερολόγιο των Μάγια καθώς και για να προβλέψουν αστρονομικά φαινόμενα στην εγγενή τους αστρονομία των Μάγια.[92] Ενώ η έννοια του μηδενός έπρεπε να συναχθεί στα μαθηματικά πολλών σύγχρονων πολιτισμών, οι Μάγια ανέπτυξαν ένα τυπικό σύμβολο για αυτό.[92]
▲
●
Αλ-Καράτζι
©Osman Hamdi Bey
953 Jan 1

Αλ-Καράτζι

Karaj, Alborz Province, Iran
Ο Abū Bakr Muhammad ibn al Ḥasan al-Karajī ήταν Πέρσης μαθηματικός και μηχανικός του 10ου αιώνα που άκμασε στη Βαγδάτη.Γεννήθηκε στο Καράτζ, μια πόλη κοντά στην Τεχεράνη.Τα τρία κύρια έργα του που έχουν διασωθεί είναι μαθηματικά: Al-Badi' fi'l-hisab (Υπέροχο στον υπολογισμό), Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala (Ένδοξο στην άλγεβρα) και Al-Kafi fi'l- hisab (Επαρκεί στον υπολογισμό).Ο Al-Karaji έγραψε για τα μαθηματικά και τη μηχανική.Κάποιοι τον θεωρούν ότι απλώς επεξεργάζεται τις ιδέες των άλλων (επηρεάστηκε από τον Διόφαντο), αλλά οι περισσότεροι τον θεωρούν πιο πρωτότυπο, ιδιαίτερα για τις αρχές της απελευθέρωσης της άλγεβρας από τη γεωμετρία.Μεταξύ των ιστορικών, το πιο ευρέως μελετημένο έργο του είναι το αλγεβρικό του βιβλίο al-fakhri fi al-jabr wa al-muqabala, το οποίο σώζεται από τη μεσαιωνική εποχή σε τουλάχιστον τέσσερα αντίτυπα.Η εργασία του για την άλγεβρα και τα πολυώνυμα έδωσε τους κανόνες για τις αριθμητικές πράξεις για την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων.αν και περιοριζόταν στη διαίρεση πολυωνύμων με μονώνυμα.
▲
●
Κινεζική Άλγεβρα
©Anonymous Chinese artist of the Song Dynasty
960 Jan 1 - 1279

Κινεζική Άλγεβρα

China
Το έντονο σημάδι τωνκινεζικών μαθηματικών εμφανίστηκε τον 13ο αιώνα κατά το δεύτερο μισό της δυναστείας Σονγκ (960–1279), με την ανάπτυξη της κινεζικής άλγεβρας.Το πιο σημαντικό κείμενο εκείνης της περιόδου είναι το Precious Mirror of the Four Elements του Zhu Shijie (1249–1314), που ασχολείται με τη λύση ταυτόχρονων αλγεβρικών εξισώσεων ανώτερης τάξης χρησιμοποιώντας μια μέθοδο παρόμοια με τη μέθοδο του Horner.[70] Ο Πολύτιμος Καθρέφτης περιέχει επίσης ένα διάγραμμα του τριγώνου του Πασκάλ με συντελεστές διωνυμικών διαστολών κατά την όγδοη δύναμη, αν και και οι δύο εμφανίζονται σε κινεζικά έργα ήδη από το 1100. [71] Οι Κινέζοι έκαναν επίσης χρήση του σύνθετου συνδυαστικού διαγράμματος γνωστό ως μαγικό τετράγωνο και μαγικοί κύκλοι, που περιγράφηκαν στην αρχαιότητα και τελειοποιήθηκαν από τον Yang Hui (CE 1238–1298).[71]Τα ιαπωνικά μαθηματικά,τα κορεατικά μαθηματικά και τα βιετναμέζικα μαθηματικά θεωρούνται παραδοσιακά ότι προέρχονται από τα κινεζικά μαθηματικά και ανήκουν στην πολιτιστική σφαίρα της Ανατολικής Ασίας με βάση τον Κομφούκιο.[72] Τα κορεατικά και ιαπωνικά μαθηματικά επηρεάστηκαν σε μεγάλο βαθμό από τα αλγεβρικά έργα που παρήχθησαν κατά τη διάρκεια της δυναστείας των Σονγκ της Κίνας, ενώ τα Βιετναμέζικα μαθηματικά οφείλονταν σε μεγάλο βαθμό στα δημοφιλή έργα της δυναστείας Μινγκ της Κίνας (1368-1644).[73] Για παράδειγμα, αν και οι βιετναμέζικες μαθηματικές πραγματείες γράφτηκαν είτε στην κινεζική είτε στην εγγενή βιετναμέζικη γραφή Chữ Nôm, όλες ακολούθησαν την κινεζική μορφή παρουσίασης μιας συλλογής προβλημάτων με αλγόριθμους για την επίλυσή τους, ακολουθούμενη από αριθμητικές απαντήσεις.[74] Τα μαθηματικά στο Βιετνάμ και την Κορέα συνδέονταν κυρίως με την επαγγελματική δικαστική γραφειοκρατία των μαθηματικών και των αστρονόμων, ενώ στην Ιαπωνία ήταν πιο διαδεδομένα στη σφαίρα των ιδιωτικών σχολείων.[75]
▲
●
Ινδου-αραβικοί αριθμοί
Οι Μελετητές ©Ludwig Deutsch
974 Jan 1

Ινδου-αραβικοί αριθμοί

Toledo, Spain
Οι Ευρωπαίοι έμαθαν για τους αραβικούς αριθμούς τον 10ο αιώνα, αν και η διάδοσή τους ήταν μια σταδιακή διαδικασία.Δύο αιώνες αργότερα, στην πόλη Béjaïa της Αλγερίας, ο Ιταλός λόγιος Fibonacci συνάντησε για πρώτη φορά τους αριθμούς.Το έργο του ήταν καθοριστικό για να γίνουν γνωστά σε όλη την Ευρώπη.Το ευρωπαϊκό εμπόριο, τα βιβλία και η αποικιοκρατία βοήθησαν στη διάδοση της υιοθέτησης των αραβικών αριθμών σε όλο τον κόσμο.Οι αριθμοί έχουν βρει παγκόσμια χρήση πολύ πέρα ​​από τη σύγχρονη εξάπλωση του λατινικού αλφαβήτου και έχουν γίνει συνηθισμένοι στα συστήματα γραφής όπου προηγουμένως υπήρχαν άλλα αριθμητικά συστήματα, όπως οι κινέζικοι και οι ιαπωνικοί αριθμοί.Οι πρώτες αναφορές των αριθμών από το 1 έως το 9 στη Δύση βρίσκονται στον Codex Vigilanus του 976, μια φωτισμένη συλλογή από διάφορα ιστορικά έγγραφα που καλύπτουν μια περίοδο από την αρχαιότητα έως τον 10ο αιώνα στην Ισπανία.[68]
▲
●
Λεονάρντο Φιμπονάτσι
Πορτρέτο του μεσαιωνικού Ιταλού άνδρα ©Vittore Carpaccio
1202 Jan 1

Λεονάρντο Φιμπονάτσι

Pisa, Italy
Τον 12ο αιώνα, Ευρωπαίοι μελετητές ταξίδεψαν στην Ισπανία και τη Σικελία αναζητώντας επιστημονικά αραβικά κείμενα, όπως το The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing του al-Khwārizmī, που μεταφράστηκε στα λατινικά από τον Robert of Chester, και το πλήρες κείμενο των Euclid's Elements, μεταφρασμένο σε διάφορα εκδοχές του Adelard of Bath, Herman of Carinthia και Gerard of Cremona.[95] Αυτές και άλλες νέες πηγές πυροδότησαν μια ανανέωση των μαθηματικών.Ο Λεονάρντο της Πίζας, τώρα γνωστός ως Φιμπονάτσι, έμαθε ειλικρινά για τους ινδουο-αραβικούς αριθμούς σε ένα ταξίδι στη σημερινή Béjaïa της Αλγερίας με τον έμπορο πατέρα του.(Η Ευρώπη εξακολουθούσε να χρησιμοποιεί ρωμαϊκούς αριθμούς.) Εκεί, παρατήρησε ένα σύστημα αριθμητικής (συγκεκριμένα αλγορισμό) το οποίο λόγω της σημειογραφίας θέσης των ινδουιστών-αραβικών αριθμών ήταν πολύ πιο αποτελεσματικό και διευκόλυνε πολύ το εμπόριο.Σύντομα συνειδητοποίησε τα πολλά πλεονεκτήματα του ινδουο-αραβικού συστήματος, το οποίο, σε αντίθεση με τους ρωμαϊκούς αριθμούς που χρησιμοποιούνταν εκείνη την εποχή, επέτρεπε τον εύκολο υπολογισμό χρησιμοποιώντας ένα σύστημα τοποαξίας.Ο Λεονάρντο έγραψε το Liber Abaci το 1202 (ενημερώθηκε το 1254) εισάγοντας την τεχνική στην Ευρώπη και ξεκινώντας μια μακρά περίοδο διάδοσης της.Το βιβλίο έφερε επίσης στην Ευρώπη αυτό που είναι σήμερα γνωστό ως ακολουθία Fibonacci (γνωστό στους Ινδούς μαθηματικούς για εκατοντάδες χρόνια πριν από αυτό) [96] την οποία ο Fibonacci χρησιμοποίησε ως απαράμιλλο παράδειγμα.
▲
●
Infinite Series
©Veloso Salgado
1350 Jan 1

Infinite Series

Kerala, India
Ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης παρήγαγε την πρώτη γνωστή άθροιση μιας άπειρης σειράς με μια μέθοδο που εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στην περιοχή του λογισμού σήμερα.Χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης για να υπολογίσει το εμβαδόν κάτω από το τόξο μιας παραβολής με το άθροισμα μιας άπειρης σειράς και έδωσε μια εντυπωσιακά ακριβή προσέγγιση του π.[86] Η σχολή της Κεράλα έχει κάνει μια σειρά από συνεισφορές στα πεδία των άπειρων σειρών και του λογισμού.
▲
●
Θεωρία Πιθανοτήτων
Τζερόμ Καρντάνο ©R. Cooper
1564 Jan 1

Θεωρία Πιθανοτήτων

Europe
Η σύγχρονη μαθηματική θεωρία των πιθανοτήτων έχει τις ρίζες της στις προσπάθειες ανάλυσης τυχερών παιχνιδιών από τον Gerolamo Cardano τον δέκατο έκτο αιώνα και από τους Pierre de Fermat και Blaise Pascal τον δέκατο έβδομο αιώνα (για παράδειγμα το «πρόβλημα των πόντων»).[105] Ο Christiaan Huygens δημοσίευσε ένα βιβλίο για το θέμα το 1657. [106] Τον 19ο αιώνα, αυτό που θεωρείται ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας ολοκληρώθηκε από τον Pierre Laplace.[107]Αρχικά, η θεωρία πιθανοτήτων θεωρούσε κυρίως διακριτά γεγονότα και οι μέθοδοί της ήταν κυρίως συνδυαστικές.Τελικά, οι αναλυτικές εκτιμήσεις ανάγκασαν την ενσωμάτωση συνεχών μεταβλητών στη θεωρία.Αυτό κορυφώθηκε στη σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων, στα θεμέλια που έθεσε ο Andrey Nikolaevich Kolmogorov.Ο Kolmogorov συνδύασε την έννοια του δειγματοληπτικού χώρου, που εισήγαγε ο Richard von Mises, και τη θεωρία μετρήσεων και παρουσίασε το αξιωματικό του σύστημα για τη θεωρία πιθανοτήτων το 1933. Αυτό έγινε η ως επί το πλείστον αδιαμφισβήτητη αξιωματική βάση για τη σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων.αλλά, υπάρχουν εναλλακτικές, όπως η υιοθέτηση της πεπερασμένης παρά της μετρήσιμης προσθετικότητας από τον Bruno de Finetti.[108]
▲
●
Λογάριθμοι
Γιοχάνες Κέπλερ ©August Köhler
1614 Jan 1

Λογάριθμοι

Europe
Ο 17ος αιώνας γνώρισε μια άνευ προηγουμένου αύξηση των μαθηματικών και επιστημονικών ιδεών σε ολόκληρη την Ευρώπη.Ο Γαλιλαίος παρατήρησε τα φεγγάρια του Δία σε τροχιά γύρω από αυτόν τον πλανήτη, χρησιμοποιώντας ένα τηλεσκόπιο βασισμένο στο Hans Lipperhey.Ο Tycho Brahe είχε συγκεντρώσει μια μεγάλη ποσότητα μαθηματικών δεδομένων που περιγράφουν τις θέσεις των πλανητών στον ουρανό.Με τη θέση του ως βοηθού του Μπράχε, ο Γιοχάνες Κέπλερ εκτέθηκε για πρώτη φορά και αλληλεπίδρασε σοβαρά με το θέμα της κίνησης των πλανητών.Οι υπολογισμοί του Kepler έγιναν απλούστεροι από τη σύγχρονη εφεύρεση των λογαρίθμων από τους John Napier και Jost Bürgi.Ο Κέπλερ πέτυχε να διατυπώσει μαθηματικούς νόμους της κίνησης των πλανητών.Η αναλυτική γεωμετρία που αναπτύχθηκε από τον René Descartes (1596–1650) επέτρεψε να αποτυπωθούν αυτές οι τροχιές σε ένα γράφημα, σε καρτεσιανές συντεταγμένες.
▲
●
Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων
Ρενέ Ντεκάρτ ©Frans Hals
1637 Jan 1

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων

Netherlands
Ο Καρτεσιανός αναφέρεται στον Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο René Descartes, ο οποίος δημοσίευσε αυτήν την ιδέα το 1637 ενώ διέμενε στην Ολλανδία.Ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα από τον Pierre de Fermat, ο οποίος εργάστηκε επίσης σε τρεις διαστάσεις, αν και ο Fermat δεν δημοσίευσε την ανακάλυψη.[109] Ο Γάλλος κληρικός Nicole Oresme χρησιμοποίησε κατασκευές παρόμοιες με τις καρτεσιανές συντεταγμένες πολύ πριν από την εποχή του Descartes και του Fermat.[110]Τόσο ο Descartes όσο και ο Fermat χρησιμοποίησαν έναν μόνο άξονα στις θεραπείες τους και έχουν μεταβλητό μήκος που μετράται σε σχέση με αυτόν τον άξονα.Η έννοια της χρήσης ενός ζεύγους αξόνων εισήχθη αργότερα, αφού το La Géométrie του Descartes μεταφράστηκε στα λατινικά το 1649 από τον Frans van Schooten και τους μαθητές του.Αυτοί οι σχολιαστές εισήγαγαν διάφορες έννοιες προσπαθώντας να διευκρινίσουν τις ιδέες που περιέχονται στο έργο του Ντεκάρτ.[111]Η ανάπτυξη του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων θα έπαιζε θεμελιώδη ρόλο στην ανάπτυξη του λογισμού από τους Isaac Newton και Gottfried Wilhelm Leibniz.[112] Η περιγραφή των δύο συντεταγμένων του επιπέδου γενικεύτηκε αργότερα στην έννοια των διανυσματικών χώρων.[113]Πολλά άλλα συστήματα συντεταγμένων αναπτύχθηκαν μετά τον Descartes, όπως οι πολικές συντεταγμένες για το επίπεδο και οι σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγμένες για τον τρισδιάστατο χώρο.
▲
●
Play button
1670 Jan 1

Λογισμός

Europe
Ο λογισμός είναι η μαθηματική μελέτη της συνεχούς αλλαγής, με τον ίδιο τρόπο που η γεωμετρία είναι η μελέτη του σχήματος, και η άλγεβρα είναι η μελέτη των γενικεύσεων των αριθμητικών πράξεων.Έχει δύο κύριους κλάδους, τον διαφορικό λογισμό και τον ολοκληρωτικό λογισμό.Το πρώτο αφορά τους στιγμιαίους ρυθμούς μεταβολής και τις κλίσεις των καμπυλών, ενώ το δεύτερο αφορά τη συσσώρευση ποσοτήτων και τις περιοχές κάτω ή μεταξύ των καμπυλών.Αυτοί οι δύο κλάδοι σχετίζονται μεταξύ τους με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού και χρησιμοποιούν τις θεμελιώδεις έννοιες της σύγκλισης άπειρων ακολουθιών και άπειρων σειρών σε ένα καλά καθορισμένο όριο.[97]Ο απειροελάχιστος λογισμός αναπτύχθηκε ανεξάρτητα στα τέλη του 17ου αιώνα από τον Isaac Newton και τον Gottfried Wilhelm Leibniz.[98] Μεταγενέστερες εργασίες, συμπεριλαμβανομένης της κωδικοποίησης της ιδέας των ορίων, έθεσαν αυτές τις εξελίξεις σε μια πιο σταθερή εννοιολογική βάση.Σήμερα, ο λογισμός έχει ευρεία χρήση στην επιστήμη, τη μηχανική και τις κοινωνικές επιστήμες.Ο Ισαάκ Νεύτων ανέπτυξε τη χρήση του λογισμού στους νόμους της κίνησης και της παγκόσμιας βαρύτητας.Αυτές οι ιδέες ταξινομήθηκαν σε έναν αληθινό λογισμό απειροελάχιστων από τον Gottfried Wilhelm Leibniz, ο οποίος αρχικά κατηγορήθηκε για λογοκλοπή από τον Newton.Τώρα θεωρείται ανεξάρτητος εφευρέτης και συνεισφέρων στον λογισμό.Η συνεισφορά του ήταν να παρέχει ένα σαφές σύνολο κανόνων για την εργασία με απειροελάχιστα μεγέθη, επιτρέποντας τον υπολογισμό των δεύτερων και υψηλότερων παραγώγων και παρέχοντας τον κανόνα προϊόντος και τον κανόνα της αλυσίδας, στη διαφορική και ολοκληρωτική τους μορφή.Σε αντίθεση με τον Νεύτωνα, ο Λάιμπνιτς κατέβαλε επίπονη προσπάθεια στις επιλογές του για τη σημειογραφία.[99]Ο Νεύτωνας ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε τον λογισμό στη γενική φυσική και ο Λάιμπνιτς ανέπτυξε μεγάλο μέρος της σημειογραφίας που χρησιμοποιείται στον λογισμό σήμερα.[100] Οι βασικές γνώσεις που παρείχαν τόσο ο Newton όσο και ο Leibniz ήταν οι νόμοι της διαφοροποίησης και της ολοκλήρωσης, τονίζοντας ότι η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση είναι αντίστροφες διαδικασίες, δεύτερες και ανώτερες παράγωγοι, και η έννοια μιας προσεγγιστικής πολυωνυμικής σειράς.
▲
●
Play button
1736 Jan 1

Θεωρία Γραφημάτων

Europe
Στα μαθηματικά, η θεωρία γραφημάτων είναι η μελέτη των γραφημάτων, που είναι μαθηματικές δομές που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση σχέσεων ανά ζεύγη μεταξύ αντικειμένων.Ένα γράφημα σε αυτό το πλαίσιο αποτελείται από κορυφές (ονομάζονται επίσης κόμβοι ή σημεία) που συνδέονται με ακμές (ονομάζονται επίσης σύνδεσμοι ή γραμμές).Γίνεται διάκριση μεταξύ μη κατευθυνόμενων γραφημάτων, όπου οι ακμές συνδέουν δύο κορυφές συμμετρικά, και κατευθυνόμενων γραφημάτων, όπου οι ακμές συνδέουν δύο κορυφές ασύμμετρα.Τα γραφήματα είναι ένα από τα κύρια αντικείμενα μελέτης στα διακριτά μαθηματικά.Η εργασία που γράφτηκε από τον Leonhard Euler για τις Επτά Γέφυρες του Königsberg και δημοσιεύτηκε το 1736 θεωρείται ως η πρώτη εργασία στην ιστορία της θεωρίας γραφημάτων.[114] Αυτή η εργασία, όπως και αυτή που γράφτηκε από τον Vandermonde για το πρόβλημα των ιπποτών, συνέχισε με την ανάλυση situs που ξεκίνησε από τον Leibniz.Ο τύπος του Euler που συσχετίζει τον αριθμό των ακμών, των κορυφών και των όψεων ενός κυρτού πολυέδρου μελετήθηκε και γενικεύτηκε από τους Cauchy [115] και L'Huilier [116] και αντιπροσωπεύει την αρχή του κλάδου των μαθηματικών γνωστού ως τοπολογία.
▲
●
Play button
1738 Jan 1

Κανονική κατανομή

France
Στη στατιστική, μια κανονική κατανομή ή κατανομή Gauss είναι ένας τύπος συνεχούς κατανομής πιθανοτήτων για μια τυχαία μεταβλητή πραγματικής αξίας.Οι κανονικές κατανομές είναι σημαντικές στις στατιστικές και χρησιμοποιούνται συχνά στις φυσικές και κοινωνικές επιστήμες για να αναπαραστήσουν τυχαίες μεταβλητές πραγματικής αξίας των οποίων οι κατανομές δεν είναι γνωστές.[124] Η σημασία τους οφείλεται εν μέρει στο θεώρημα του κεντρικού ορίου.Δηλώνει ότι, υπό ορισμένες συνθήκες, ο μέσος όρος πολλών δειγμάτων (παρατηρήσεων) μιας τυχαίας μεταβλητής με πεπερασμένο μέσο όρο και διακύμανση είναι από μόνος του μια τυχαία μεταβλητή - της οποίας η κατανομή συγκλίνει σε μια κανονική κατανομή καθώς αυξάνεται ο αριθμός των δειγμάτων.Επομένως, τα φυσικά μεγέθη που αναμένεται να είναι το άθροισμα πολλών ανεξάρτητων διεργασιών, όπως τα σφάλματα μέτρησης, έχουν συχνά κατανομές σχεδόν κανονικές.[125] Μερικοί συγγραφείς [126] αποδίδουν τα εύσημα για την ανακάλυψη της κανονικής κατανομής στον de Moivre, ο οποίος το 1738 δημοσίευσε στη δεύτερη έκδοση του "The Doctrine of Chances" τη μελέτη των συντελεστών στη διωνυμική επέκταση του (α + b)n.
▲
●
Play button
1740 Jan 1

Φόρμουλα Euler

Berlin, Germany
Ο τύπος του Euler, που πήρε το όνομά του από τον Leonhard Euler, είναι ένας μαθηματικός τύπος σε μιγαδική ανάλυση που καθιερώνει τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και της μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης.Ο τύπος του Euler είναι πανταχού παρών στα μαθηματικά, τη φυσική, τη χημεία και τη μηχανική.Ο φυσικός Ρίτσαρντ Φάινμαν αποκάλεσε την εξίσωση «το κόσμημα μας» και «την πιο αξιοσημείωτη φόρμουλα στα μαθηματικά».Όταν x = π, ο τύπος του Euler μπορεί να ξαναγραφτεί ως eiπ + 1 = 0 ή eiπ = -1, η οποία είναι γνωστή ως ταυτότητα του Euler.
▲
●
Play button
1763 Jan 1

Θεώρημα Bayes

England, UK
Στη θεωρία και τη στατιστική πιθανότητας, το θεώρημα του Bayes (εναλλακτικά ο νόμος του Bayes ή ο κανόνας του Bayes), που πήρε το όνομά του από τον Thomas Bayes, περιγράφει την πιθανότητα ενός γεγονότος, με βάση την προηγούμενη γνώση των συνθηκών που μπορεί να σχετίζονται με το γεγονός.[122] Για παράδειγμα, εάν ο κίνδυνος εμφάνισης προβλημάτων υγείας είναι γνωστό ότι αυξάνεται με την ηλικία, το θεώρημα του Bayes επιτρέπει την ακριβέστερη αξιολόγηση του κινδύνου για ένα άτομο γνωστής ηλικίας, ρυθμίζοντάς τον σε σχέση με την ηλικία του, αντί απλώς να υποθέσουμε ότι το άτομο είναι τυπικό του πληθυσμού στο σύνολό του.Στη θεωρία και τη στατιστική πιθανότητας, το θεώρημα του Bayes (εναλλακτικά ο νόμος του Bayes ή ο κανόνας του Bayes), που πήρε το όνομά του από τον Thomas Bayes, περιγράφει την πιθανότητα ενός γεγονότος, με βάση την προηγούμενη γνώση των συνθηκών που μπορεί να σχετίζονται με το γεγονός.[122] Για παράδειγμα, εάν ο κίνδυνος εμφάνισης προβλημάτων υγείας είναι γνωστό ότι αυξάνεται με την ηλικία, το θεώρημα του Bayes επιτρέπει την ακριβέστερη αξιολόγηση του κινδύνου για ένα άτομο γνωστής ηλικίας, ρυθμίζοντάς τον σε σχέση με την ηλικία του, αντί απλώς να υποθέσουμε ότι το άτομο είναι τυπικό του πληθυσμού στο σύνολό του.
▲
●
Νόμος του Gauss
Καρλ Φρίντριχ Γκάους ©Christian Albrecht Jensen
1773 Jan 1

Νόμος του Gauss

France
Στη φυσική και τον ηλεκτρομαγνητισμό, ο νόμος του Gauss, γνωστός και ως θεώρημα ροής του Gauss, (ή μερικές φορές απλά ονομάζεται θεώρημα του Gauss) είναι ένας νόμος που σχετίζεται με την κατανομή του ηλεκτρικού φορτίου στο ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει.Στην ολοκληρωμένη του μορφή, δηλώνει ότι η ροή του ηλεκτρικού πεδίου από μια αυθαίρετη κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη με το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια, ανεξάρτητα από το πώς κατανέμεται αυτό το φορτίο.Ακόμα κι αν ο νόμος από μόνος του είναι ανεπαρκής για τον προσδιορισμό του ηλεκτρικού πεδίου σε μια επιφάνεια που περικλείει οποιαδήποτε κατανομή φορτίου, αυτό μπορεί να είναι δυνατό σε περιπτώσεις όπου η συμμετρία επιβάλλει την ομοιομορφία του πεδίου.Όπου δεν υπάρχει τέτοια συμμετρία, ο νόμος του Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη διαφορική του μορφή, ο οποίος δηλώνει ότι η απόκλιση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ανάλογη με την τοπική πυκνότητα φορτίου.Ο νόμος διατυπώθηκε για πρώτη φορά [101] από τον Joseph-Louis Lagrange το 1773, [102] και ακολούθησε ο Carl Friedrich Gauss το 1835, [103] και τα δύο στο πλαίσιο της έλξης των ελλειψοειδών.Είναι μια από τις εξισώσεις του Maxwell, που αποτελεί τη βάση της κλασικής ηλεκτροδυναμικής.Ο νόμος του Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή του νόμου του Coulomb [104] και αντίστροφα.
▲
●
Play button
1800 Jan 1

Θεωρία ομάδων

Europe
Στην αφηρημένη άλγεβρα, η ομαδική θεωρία μελετά τις αλγεβρικές δομές γνωστές ως ομάδες.Η έννοια της ομάδας είναι κεντρική στην αφηρημένη άλγεβρα: άλλες γνωστές αλγεβρικές δομές, όπως δακτύλιοι, πεδία και διανυσματικοί χώροι, μπορούν όλες να θεωρηθούν ως ομάδες προικισμένες με πρόσθετες πράξεις και αξιώματα.Οι ομάδες επαναλαμβάνονται σε όλα τα μαθηματικά και οι μέθοδοι της θεωρίας ομάδων έχουν επηρεάσει πολλά μέρη της άλγεβρας.Οι γραμμικές αλγεβρικές ομάδες και οι ομάδες ψεύδους είναι δύο κλάδοι της θεωρίας των ομάδων που έχουν γνωρίσει προόδους και έχουν γίνει θεματικές περιοχές από μόνες τους.Η πρώιμη ιστορία της ομαδικής θεωρίας χρονολογείται από τον 19ο αιώνα.Ένα από τα πιο σημαντικά μαθηματικά επιτεύγματα του 20ου αιώνα ήταν η συλλογική προσπάθεια, που καταλάμβανε περισσότερες από 10.000 σελίδες περιοδικών και δημοσιεύτηκε κυρίως μεταξύ 1960 και 2004, που κατέληξε σε μια πλήρη ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων.
▲
●
Play button
1807 Jan 1

Ανάλυση Fourier

Auxerre, France
Στα μαθηματικά, η ανάλυση Fourier είναι η μελέτη του τρόπου με τον οποίο οι γενικές συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ή να προσεγγιστούν με αθροίσματα απλούστερων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.Η ανάλυση Fourier προέκυψε από τη μελέτη των σειρών Fourier και πήρε το όνομά του από τον Joseph Fourier, ο οποίος έδειξε ότι η αναπαράσταση μιας συνάρτησης ως άθροισμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων απλοποιεί σημαντικά τη μελέτη της μεταφοράς θερμότητας.Το θέμα της ανάλυσης Fourier περιλαμβάνει ένα τεράστιο φάσμα μαθηματικών.Στις επιστήμες και τη μηχανική, η διαδικασία αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε ταλαντευτικά στοιχεία ονομάζεται συχνά ανάλυση Fourier, ενώ η λειτουργία της αναδόμησης της συνάρτησης από αυτά τα κομμάτια είναι γνωστή ως σύνθεση Fourier.Για παράδειγμα, ο προσδιορισμός των συχνοτήτων των συστατικών που υπάρχουν σε μια μουσική νότα θα περιλαμβάνει τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier μιας δειγματοληπτικής μουσικής νότας.Στη συνέχεια, θα μπορούσε κανείς να συνθέσει εκ νέου τον ίδιο ήχο, συμπεριλαμβάνοντας τις συνιστώσες της συχνότητας όπως αποκαλύφθηκαν στην ανάλυση Fourier.Στα μαθηματικά, ο όρος ανάλυση Fourier αναφέρεται συχνά στη μελέτη και των δύο πράξεων.Η ίδια η διαδικασία αποσύνθεσης ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier.Στην έξοδο του, τον μετασχηματισμό Fourier, δίνεται συχνά ένα πιο συγκεκριμένο όνομα, το οποίο εξαρτάται από τον τομέα και άλλες ιδιότητες της συνάρτησης που μετασχηματίζεται.Επιπλέον, η αρχική έννοια της ανάλυσης Fourier έχει επεκταθεί με την πάροδο του χρόνου για να εφαρμόζεται σε όλο και πιο αφηρημένες και γενικές καταστάσεις και το γενικό πεδίο είναι συχνά γνωστό ως αρμονική ανάλυση.Κάθε μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται για ανάλυση (βλ. λίστα μετασχηματισμών που σχετίζονται με το Fourier) έχει έναν αντίστοιχο αντίστροφο μετασχηματισμό που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για σύνθεση.
▲
●
Play button
1850 Jan 1 - 1870

Εξισώσεις Maxwell

Cambridge University, Trinity
Οι εξισώσεις του Maxwell, ή οι εξισώσεις Maxwell–Heaviside, είναι ένα σύνολο συζευγμένων μερικών διαφορικών εξισώσεων που, μαζί με τον νόμο της δύναμης Lorentz, αποτελούν τη βάση του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού, της κλασικής οπτικής και των ηλεκτρικών κυκλωμάτων.Οι εξισώσεις παρέχουν ένα μαθηματικό μοντέλο για ηλεκτρικές, οπτικές και ραδιοφωνικές τεχνολογίες, όπως η παραγωγή ενέργειας, οι ηλεκτρικοί κινητήρες, η ασύρματη επικοινωνία, οι φακοί, το ραντάρ κ.λπ. χωράφια.Οι εξισώσεις πήραν το όνομά τους από τον φυσικό και μαθηματικό Τζέιμς Κλερκ Μάξγουελ, ο οποίος, το 1861 και το 1862, δημοσίευσε μια πρώιμη μορφή των εξισώσεων που περιελάμβανε τον νόμο της δύναμης του Λόρεντς.Ο Maxwell χρησιμοποίησε για πρώτη φορά τις εξισώσεις για να προτείνει ότι το φως είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό φαινόμενο.Η σύγχρονη μορφή των εξισώσεων στην πιο κοινή τους διατύπωση πιστώνεται στον Oliver Heaviside.Οι εξισώσεις έχουν δύο κύριες παραλλαγές.Οι μικροσκοπικές εξισώσεις έχουν καθολική εφαρμογή αλλά είναι δυσκίνητες για κοινούς υπολογισμούς.Συσχετίζουν τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία με το συνολικό φορτίο και το συνολικό ρεύμα, συμπεριλαμβανομένων των περίπλοκων φορτίων και ρευμάτων σε υλικά σε ατομική κλίμακα.Οι μακροσκοπικές εξισώσεις ορίζουν δύο νέα βοηθητικά πεδία που περιγράφουν τη μεγάλης κλίμακας συμπεριφορά της ύλης χωρίς να χρειάζεται να ληφθούν υπόψη φορτία ατομικής κλίμακας και κβαντικά φαινόμενα όπως σπιν.Ωστόσο, η χρήση τους απαιτεί πειραματικά καθορισμένες παραμέτρους για μια φαινομενολογική περιγραφή της ηλεκτρομαγνητικής απόκρισης των υλικών.Ο όρος "εξισώσεις Maxwell" χρησιμοποιείται συχνά επίσης για ισοδύναμες εναλλακτικές συνθέσεις.Εκδόσεις των εξισώσεων του Maxwell που βασίζονται στο ηλεκτρικό και μαγνητικό δυναμικό βαθμωτών προτιμώνται για τη ρητή επίλυση των εξισώσεων ως πρόβλημα οριακής τιμής, αναλυτικής μηχανικής ή για χρήση στην κβαντική μηχανική.Η συμμεταβλητή διατύπωση (στο χωροχρόνο και όχι στο χώρο και το χρόνο χωριστά) κάνει εμφανή τη συμβατότητα των εξισώσεων του Maxwell με την ειδική σχετικότητα.Οι εξισώσεις του Maxwell στον καμπύλο χωροχρόνο, που χρησιμοποιούνται συνήθως στη φυσική υψηλής ενέργειας και βαρύτητας, είναι συμβατές με τη γενική σχετικότητα.Στην πραγματικότητα, ο Άλμπερτ Αϊνστάιν ανέπτυξε την ειδική και γενική σχετικότητα για να προσαρμόσει την αμετάβλητη ταχύτητα του φωτός, συνέπεια των εξισώσεων του Maxwell, με την αρχή ότι μόνο η σχετική κίνηση έχει φυσικές συνέπειες.Η δημοσίευση των εξισώσεων σηματοδότησε την ενοποίηση μιας θεωρίας για φαινόμενα που περιγράφηκαν προηγουμένως ξεχωριστά: μαγνητισμός, ηλεκτρισμός, φως και σχετική ακτινοβολία.Από τα μέσα του 20ου αιώνα, έγινε κατανοητό ότι οι εξισώσεις του Maxwell δεν δίνουν μια ακριβή περιγραφή των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων, αλλά αντιθέτως αποτελούν ένα κλασικό όριο της πιο ακριβούς θεωρίας της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής.
▲
●
Play button
1870 Jan 1

Θεωρία Συνόλων

Germany
Η θεωρία συνόλων είναι ο κλάδος της μαθηματικής λογικής που μελετά σύνολα, τα οποία μπορούν ανεπίσημα να περιγραφούν ως συλλογές αντικειμένων.Αν και τα αντικείμενα κάθε είδους μπορούν να συλλεχθούν σε ένα σύνολο, η θεωρία συνόλων, ως κλάδος των μαθηματικών, ασχολείται κυρίως με αυτά που σχετίζονται με τα μαθηματικά στο σύνολό τους.Η σύγχρονη μελέτη της θεωρίας συνόλων ξεκίνησε από τους Γερμανούς μαθηματικούς Richard Dedekind και Georg Cantor τη δεκαετία του 1870.Συγκεκριμένα, ο Georg Cantor θεωρείται συνήθως ο ιδρυτής της θεωρίας συνόλων.Τα μη τυποποιημένα συστήματα που διερευνήθηκαν σε αυτό το πρώιμο στάδιο ονομάζονται αφελής θεωρία συνόλων.Μετά την ανακάλυψη παραδόξων στην αφελή θεωρία συνόλων (όπως το παράδοξο του Russell, το παράδοξο του Cantor και το παράδοξο Burali-Forti), προτάθηκαν διάφορα αξιωματικά συστήματα στις αρχές του εικοστού αιώνα, από τα οποία η θεωρία συνόλων Zermelo–Fraenkel (με ή χωρίς το αξίωμα του επιλογή) εξακολουθεί να είναι η πιο γνωστή και πιο μελετημένη.Η θεωρία συνόλων χρησιμοποιείται συνήθως ως θεμελιώδες σύστημα για το σύνολο των μαθηματικών, ιδιαίτερα με τη μορφή της θεωρίας συνόλων Zermelo–Fraenkel με το αξίωμα της επιλογής.Εκτός από τον θεμελιώδη ρόλο της, η θεωρία συνόλων παρέχει επίσης το πλαίσιο για την ανάπτυξη μιας μαθηματικής θεωρίας του απείρου και έχει διάφορες εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών (όπως στη θεωρία της σχεσιακής άλγεβρας), τη φιλοσοφία και την τυπική σημασιολογία.Η θεμελιώδης ελκυστικότητά του, μαζί με τα παράδοξά του, τις επιπτώσεις του για την έννοια του άπειρου και τις πολλαπλές εφαρμογές του, έχουν κάνει τη θεωρία συνόλων μια περιοχή μείζονος ενδιαφέροντος για τους λογικούς και τους φιλοσόφους των μαθηματικών.Η σύγχρονη έρευνα στη θεωρία συνόλων καλύπτει μια τεράστια γκάμα θεμάτων, που κυμαίνονται από τη δομή της γραμμής πραγματικών αριθμών έως τη μελέτη της συνέπειας μεγάλων καρδιναλίων.
▲
●
Θεωρία Παιγνίων
Τζον φον Νόιμαν ©Anonymous
1927 Jan 1

Θεωρία Παιγνίων

Budapest, Hungary
Η θεωρία παιγνίων είναι η μελέτη μαθηματικών μοντέλων στρατηγικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ ορθολογικών παραγόντων.[117] Έχει εφαρμογές σε όλους τους τομείς των κοινωνικών επιστημών, καθώς και στη λογική, την επιστήμη συστημάτων και την επιστήμη των υπολογιστών.Οι έννοιες της θεωρίας παιγνίων χρησιμοποιούνται ευρέως και στα οικονομικά.[118] Οι παραδοσιακές μέθοδοι της θεωρίας παιγνίων αντιμετώπιζαν παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος δύο ατόμων, στα οποία τα κέρδη ή οι απώλειες κάθε συμμετέχοντα εξισορροπούνται ακριβώς με τις απώλειες και τα κέρδη των άλλων συμμετεχόντων.Στον 21ο αιώνα, οι προηγμένες θεωρίες παιγνίων εφαρμόζονται σε ένα ευρύτερο φάσμα σχέσεων συμπεριφοράς.Είναι πλέον ένας όρος-ομπρέλα για την επιστήμη της λήψης λογικών αποφάσεων σε ανθρώπους, ζώα, καθώς και υπολογιστές.Η θεωρία παιγνίων δεν υπήρχε ως μοναδικό πεδίο έως ότου ο John von Neumann δημοσίευσε την εργασία On the Theory of Games of Strategy το 1928. [119] Η αρχική απόδειξη του Von Neumann χρησιμοποίησε το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer για συνεχείς αντιστοιχίσεις σε συμπαγή κυρτά σύνολα, τα οποία έγιναν τυπική μέθοδος στη θεωρία παιγνίων και στα μαθηματικά οικονομικά.Ακολούθησε το βιβλίο του το 1944 Θεωρία των Παιχνιδιών και Οικονομική Συμπεριφορά που συνέγραψε ο Oskar Morgenstern.[120] Η δεύτερη έκδοση αυτού του βιβλίου παρείχε μια αξιωματική θεωρία της χρησιμότητας, η οποία μετενσάρκωσε την παλιά θεωρία της χρησιμότητας (του χρήματος) του Daniel Bernoulli ως ανεξάρτητη επιστήμη.Η δουλειά του Von Neumann στη θεωρία παιγνίων κορυφώθηκε σε αυτό το βιβλίο του 1944.Αυτή η θεμελιώδης εργασία περιέχει τη μέθοδο για την εύρεση αμοιβαία συνεπών λύσεων για παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος δύο ατόμων.Οι επόμενες εργασίες επικεντρώθηκαν κυρίως στη συνεταιριστική θεωρία παιγνίων, η οποία αναλύει τις βέλτιστες στρατηγικές για ομάδες ατόμων, υποθέτοντας ότι μπορούν να επιβάλουν συμφωνίες μεταξύ τους σχετικά με τις κατάλληλες στρατηγικές.[121]
▲
●

Appendices



APPENDIX 1

The History of Mathematics and Its Applications


Play button




APPENDIX 2

The Map of Mathematics


Play button

Footnotes



  1. Friberg, J. "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277-318.
  2. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium. Vol. 9 (2 ed.). Dover Publications. pp. 1-191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71-96.
  3. Turnbull (1931). "A Manual of Greek Mathematics". Nature. 128 (3235): 5. Bibcode:1931Natur.128..739T. doi:10.1038/128739a0. S2CID 3994109.
  4. Heath, Thomas L. (1963). A Manual of Greek Mathematics, Dover, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  5. Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books, London, pp. 140-48.
  6. Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Allen Lane/The Penguin Press, London.
  7. Juschkewitsch, A. P. (1964). Geschichte der Mathematik im Mittelalter. Teubner, Leipzig.
  8. Eves, Howard (1990). History of Mathematics, 6th Edition, "After Pappus, Greek mathematics ceased to be a living study, ..." p. 185; "The Athenian school struggled on against growing opposition from Christians until the latter finally, in A.D. 529, obtained a decree from Emperor Justinian that closed the doors of the school forever." p. 186; "The period starting with the fall of the Roman Empire, in the middle of the fifth century, and extending into the eleventh century is known in Europe as the Dark Ages ... . Schooling became almost nonexistent." p. 258.
  9. Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
  10. Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.
  11. Prestini, Elena (2004). The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4125-2., p. 62
  12. Boyer, C.B. (1991) [1989], A History of Mathematics (2nd ed.), New York: Wiley , ISBN 978-0-471-54397-8, p. 25.
  13. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 26.
  14. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 27.
  15. Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30-31.
  16. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 33.
  17. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 39.
  18. Imhausen, Annette (2006). "Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources". The Mathematical Intelligencer. 28 (1): 19-27. doi:10.1007/bf02986998. S2CID 122060653.
  19. Burton, David (2005). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-305189-5.
  20. Eglash, Ron (1999). African fractals : modern computing and indigenous design. New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press. pp. 89, 141. ISBN 0813526140.
  21. Eglash, R. (1995). "Fractal Geometry in African Material Culture". Symmetry: Culture and Science. 6-1: 174-177.
  22. Katz V, Imhasen A, Robson E, Dauben JW, Plofker K, Berggren JL (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
  23. Panchenko, D. V. (Dmitrii Vadimovich) (1993). "Thales and the Origin of Theoretical Reasoning". Configurations. 1 (3): 387-414. doi:10.1353/con.1993.0024. ISSN 1080-6520.
  24. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics (3rd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8, pp. 40-89.
  25. Boyer, Carl (1968). A History of Science. p. 45. ISBN 0471543977.
  26. Netz, Reviel (2014), Huffman, Carl A. (ed.), "The problem of Pythagorean mathematics", A History of Pythagoreanism, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 167-184, ISBN 978-1-107-01439-8, retrieved 2021-05-26
  27. Green, P. (1990). Alexander to Actium: The Historical Evolution of the Hellenistic Age (1 ed.). University of California Press. ISBN 978-0-520-08349-3. JSTOR 10.1525/j.ctt130jt89.
  28. Luce, J. V. (1988). "Greek Science in its Hellenistic Phase". Hermathena (145): 23-38. ISSN 0018-0750. JSTOR 23040930.
  29. Acerbi, F. (2018). Keyser, Paul T; Scarborough, John (eds.). "Hellenistic Mathematics". Oxford Handbook of Science and Medicine in the Classical World. pp. 268-292. doi:10.1093/oxfordhb/9780199734146.013.69. ISBN 978-0-19-973414-6. Retrieved 2021-05-26.
  30. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 43.
  31. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 86.
  32. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 88.
  33. Calian, George F. (2014). "One, Two, Three... A Discussion on the Generation of Numbers". New Europe College.
  34. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 87.
  35. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
  36. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 100.
  37. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104.
  38. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 102.
  39. Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.
  40. James R. Choike (1980). "The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number". The Two-Year College Mathematics Journal
  41. Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 1. New York: Oxford University Press (original work published 1972), p. 32.
  42. John M. Henshaw (10 September 2014). An Equation for Every Occasion: Fifty-Two Formulas and Why They Matter. JHU Press. p. 68.
  43. Powers, J (2020). "Did Archimedes do calculus?" (PDF).
  44. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews.
  45. Goe, G. (1972). "Archimedes' theory of the lever and Mach's critique". Studies in History and Philosophy of Science Part A. 2 (4): 329-345.
  46. Berggren, J. L. (1976). "Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes: Book I".
  47. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 145.
  48. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 146.
  49. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 152.
  50. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 156.
  51. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 175.
  52. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 162.
  53. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 178.
  54. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 180.
  55. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 181.
  56. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 183.
  57. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.190-94.
  58. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 193.
  59. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 194.
  60. Boyer 1991, p. 215.
  61. John Bowman (2000). Columbia Chronologies of Asian History and Culture. Columbia University Press. p. 596. ISBN 978-0-231-50004-3.
  62. Boyer 1991, "China and India" p. 210.
  63. Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 168.
  64. Boyer 1991, "China and India" p. 208.
  65. Bourbaki, Nicolas Elements of the History of Mathematics (1998), p. 46.
  66. Weiss, Ittay (20 September 2017). "Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics". The Conversation.
  67. Devlin, Hannah (13 September 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077.
  68. Qiu, Jane (7 January 2014). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". Nature. doi:10.1038/nature.2014.14482. S2CID 130132289. Retrieved 15 September 2014.
  69. Katz, Victor J. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9, pp. 194-99.
  70. Boyer 1991, "China and India" p. 202.
  71. Boyer 1991, "China and India" p. 205.
  72. Volkov, Alexei (2009), "Mathematics and Mathematics Education in Traditional Vietnam", in Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.), The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, pp. 153-76, ISBN 978-0-19-921312-2, p.153-56
  73. Volkov 2009, pp. 154-55
  74. Volkov 2009, pp. 156-57
  75. Volkov 2009, p. 155
  76. Boyer 1991, "China and India" p. 198.
  77. Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959], Science and Civilization in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, vol. 3, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05801-8, pp. 91-92
  78. Needham & Wang 1995, p. 94
  79. Boyer 1991, "China and India" p. 198.
  80. Straffin, Philip D. (1998), "Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics", Mathematics Magazine, 71 (3): 163-81, doi:10.1080/0025570X.1998.11996627, p. 164.
  81. Needham & Wang 1995, p. 22
  82. Needham & Wang 1995, p. 99-100
  83. Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004), Pi: A Source Book, New York: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7, p. 27
  84. Boyer 1991, "China and India" p. 202
  85. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 ed.). Jones & Bartlett Learning. p. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Extract of p. 27
  86. O'Connor, J.J. & Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews. Retrieved 2007-08-07.
  87. Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230
  88. Gandz and Saloman (1936), The sources of Khwarizmi's algebra, Osiris i, pp. 263-77
  89. Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229
  90. Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. pp. 11-12. ISBN 978-0-7923-2565-9. OCLC 29181926.
  91. Sesiano, Jacques (2000). "Islamic mathematics". In Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratàn (eds.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics. Springer. p. 148. ISBN 1-4020-0260-2.
  92. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Kamil", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  93. Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2, p. 318.
  94. Stillwell, J. (1997). Numbers and Geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98289-2, p. 31.
  95. Marie-Therese d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421-62 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
  96. Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229-44, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7
  97. DeBaggis, Henry F.; Miller, Kenneth S. (1966). Foundations of the Calculus. Philadelphia: Saunders. OCLC 527896.
  98. Boyer, Carl B. (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover. OCLC 643872
  99. Mazur, Joseph (2014). Enlightening Symbols / A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press. p. 166. ISBN 978-0-691-17337-5.
  100. Frautschi, Steven C.; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (2007). The Mechanical Universe: Mechanics and Heat (Advanced ed.). Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71590-4. OCLC 227002144.
  101. Duhem, Pierre (1891). Lecons sur l'electricite et le magnetisme (in French). Paris Gauthier-Villars. vol. 1, ch. 4, p. 22-23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.
  102. Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des spheroides elliptiques". Memoires de l'Academie de Berlin (in French): 125.
  103. Gauss, Carl Friedrich (1877). Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (in Latin). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1). Gauss mentions Newton's Principia proposition XCI regarding finding the force exerted by a sphere on a point anywhere along an axis passing through the sphere.
  104. Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. pp. 452-453.
  105. LIGHTNER, JAMES E. (1991). "A Brief Look at the History of Probability and Statistics". The Mathematics Teacher. 84 (8): 623-630. doi:10.5951/MT.84.8.0623. ISSN 0025-5769. JSTOR 27967334.
  106. Grinstead, Charles Miller; James Laurie Snell. "Introduction". Introduction to Probability. pp. vii.
  107. Daston, Lorraine J. (1980). "Probabilistic Expectation and Rationality in Classical Probability Theory". Historia Mathematica. 7 (3): 234-260. doi:10.1016/0315-0860(80)90025-7.
  108. ""The origins and legacy of Kolmogorov's Grundbegriffe", by Glenn Shafer and Vladimir Vovk" (PDF). Retrieved 2012-02-12.
  109. Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopedia Britannica. Retrieved 6 August 2017.
  110. Kent, Alexander J.; Vujakovic, Peter (4 October 2017). The Routledge Handbook of Mapping and Cartography. Routledge. ISBN 9781317568216.
  111. Burton, David M. (2011), The History of Mathematics/An Introduction (7th ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6, p. 374.
  112. Berlinski, David. A Tour of the Calculus.
  113. Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right - Springer. Undergraduate Texts in Mathematics. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0.
  114. Biggs, N.; Lloyd, E.; Wilson, R. (1986), Graph Theory, 1736-1936, Oxford University Press
  115. Cauchy, A. L. (1813), "Recherche sur les polyedres - premier memoire", Journal de l'ecole Polytechnique, 9 (Cahier 16): 66-86.
  116. L'Huillier, S.-A.-J. (1812-1813), "Memoire sur la polyedrometrie", Annales de Mathematiques, 3: 169-189.
  117. Myerson, Roger B. (1991). Game Theory: Analysis of Conflict. Harvard University Press.ISBN 9780674341166.
  118. Shapley, Lloyd S.; Shubik, Martin (1 January 1971). "Game Theory in Economics: Chapter1, Introduction, The Use of Models". Archived from the original on 23 April 2023.Retrieved 23 April 2023.
  119. von Neumann, John (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele" [On the Theory of Gamesof Strategy]. Mathematische Annalen [Mathematical Annals] (in German). 100 (1): 295-320.doi:10.1007/BF01448847. S2CID 122961988.
  120. Mirowski, Philip (1992). "What Were von Neumann and Morgenstern Trying to Accomplish?".In Weintraub, E. Roy (ed.). Toward a History of Game Theory. Durham: Duke UniversityPress. pp. 113-147. ISBN 978-0-8223-1253-6.
  121. Leonard, Robert (2010), Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory, New York: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511778278, ISBN 978-0-521-56266-9
  122. Joyce, James (2003), "Bayes' Theorem", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2020-01-17.
  123. Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology
  124. Lyon, A. (2014). Why are Normal Distributions Normal?, The British
  125. Journal for the Philosophy of Science.
  126. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. Wiley. ISBN 978-0-471-58495-7.(1994, p. 85)
  127. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics (2nd ed.). JohnWiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8, pp. 252-253.
  128. Ifrah, Georges (2001). The Universal History of Computing: From the Abacus to theQuantum Computer. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-39671-0., p. 11

References



References

  • Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004), Pi: A Source Book, New York: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7
  • Boyer, C.B. (1991) [1989], A History of Mathematics (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-54397-8
  • Cuomo, Serafina (2001), Ancient Mathematics, London: Routledge, ISBN 978-0-415-16495-5
  • Goodman, Michael, K.J. (2016), An introduction of the Early Development of Mathematics, Hoboken: Wiley, ISBN 978-1-119-10497-1
  • Gullberg, Jan (1997), Mathematics: From the Birth of Numbers, New York: W.W. Norton and Company, ISBN 978-0-393-04002-9
  • Joyce, Hetty (July 1979), "Form, Function and Technique in the Pavements of Delos and Pompeii", American Journal of Archaeology, 83 (3): 253–63, doi:10.2307/505056, JSTOR 505056, S2CID 191394716.
  • Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-01618-8
  • Katz, Victor J. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
  • Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959], Science and Civilization in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, vol. 3, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05801-8
  • Needham, Joseph; Wang, Ling (2000) [1965], Science and Civilization in China: Physics and Physical Technology: Mechanical Engineering, vol. 4 (reprint ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05803-2
  • Sleeswyk, Andre (October 1981), "Vitruvius' odometer", Scientific American, 252 (4): 188–200, Bibcode:1981SciAm.245d.188S, doi:10.1038/scientificamerican1081-188.
  • Straffin, Philip D. (1998), "Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics", Mathematics Magazine, 71 (3): 163–81, doi:10.1080/0025570X.1998.11996627
  • Tang, Birgit (2005), Delos, Carthage, Ampurias: the Housing of Three Mediterranean Trading Centres, Rome: L'Erma di Bretschneider (Accademia di Danimarca), ISBN 978-88-8265-305-7.
  • Volkov, Alexei (2009), "Mathematics and Mathematics Education in Traditional Vietnam", in Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.), The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, pp. 153–76, ISBN 978-0-19-921312-2


Further Reading

  • Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House.
  • Bell, E.T. (1937). Men of Mathematics. Simon and Schuster.
  • Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.
  • Corry, Leo (2015), A Brief History of Numbers, Oxford University Press, ISBN 978-0198702597
  • Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA: MIT Press.
  • Grattan-Guinness, Ivor (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-7397-3.
  • Heath, Sir Thomas (1981). A History of Greek Mathematics. Dover. ISBN 978-0-486-24073-2.
  • Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion. ISBN 0-7868-6362-5.
  • Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.
  • Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 978-0-262-13040-0.
  • Stigler, Stephen M. (1990). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press. ISBN 978-0-674-40341-3.
  • Struik, D.J. (1987). A Concise History of Mathematics, fourth revised edition. Dover Publications, New York.
  • van der Waerden, B.L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.