数学的故事

-2700

算盘

1614

对数

1670

结石

1736

图论

1800

群论

附录

脚注

参考


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3000 BCE - 2023

数学的故事



数学史涉及数学发现的起源以及过去的数学方法和符号。在现代和知识在世界范围内传播之前，新数学发展的书面例子仅在少数地区出现。从公元前 3000 年开始，美索不达米亚的苏美尔、阿卡德和亚述国家，紧随其后的是古埃及和黎凡特的埃布拉国家，开始使用算术、代数和几何来进行税收、商业、贸易以及自然、自然领域的模式。天文学并记录时间和制定日历。最早的数学文本来自 美索不达米亚和埃及 – Plimpton 322（巴比伦，约公元前 2000 年至 1900 年）， [1]莱茵德数学纸莎草纸（埃及，约公元前 1800 年） [2]和莫斯科数学纸莎草纸（埃及，约公元前 1890 年）公元前）。所有这些文本都提到了所谓的毕达哥拉斯三元组，因此，推断毕达哥拉斯定理似乎是继基本算术和几何之后最古老和最广泛的数学发展。数学作为一门“示范性学科”的研究始于公元前 6 世纪的毕达哥拉斯学派，他们从古希腊语μάθημα（数学）中创造了“数学”一词，意思是“教学科目”。[3]希腊数学极大地完善了方法（特别是通过在证明中引入演绎推理和数学严谨性）并扩展了数学的主题。[4]尽管古罗马人对理论数学几乎没有做出任何贡献，但他们将应用数学应用于测量、结构工程、机械工程、簿记、阴历和阳历的创建，甚至艺术和手工艺。中国数学做出了早期贡献，包括位值系统和负数的首次使用。[5]当今世界各地使用的印度-阿拉伯数字系统及其运算使用规则是在印度的公元第一个千年的过程中演变的，并通过伊斯兰数学通过伊斯兰数学传播到西方世界。穆罕默德·本·穆萨·花剌子米。[6]反过来， 伊斯兰数学发展并扩展了这些文明已知的数学。[7]与这些传统同时存在但独立于这些传统的是墨西哥和中美洲玛雅文明发展的数学，其中零的概念在玛雅数字中被赋予了标准符号。从 12 世纪起，许多希腊和阿拉伯数学文献被翻译成拉丁文，促进了中世纪欧洲数学的进一步发展。从古代到中世纪，数学发现的时期往往伴随着几个世纪的停滞。[8]从 15 世纪意大利文艺复兴时期开始，新的数学发展与新的科学发现相互作用，以越来越快的速度取得，并一直持续到今天。这包括艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在 17 世纪发展微积分方面的开创性工作。
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古埃及数学
埃及测量单位：肘。 ©HistoryMaps
3000 BCE Jan 1 - 300 BCE

古埃及数学

Egypt
古埃及数学是在古埃及c.3000 至 c。公元前 300 年，从埃及古王国到希腊化埃及的大致开始。古埃及人利用数字系统来计算和解决书面数学问题，通常涉及乘法和分数。埃及数学的证据仅限于写在纸莎草纸上的少量现存资料。从这些文本中可以看出，古埃及人理解几何概念，例如确定对建筑工程有用的三维形状的表面积和体积，以及代数概念，例如假位置法和二次方程。使用数学的书面证据至少可以追溯到公元前 3200 年，在阿比多斯的乌吉墓中发现了象牙标签。这些标签似乎被用作陪葬品的标签，有些还刻有数字。[18]使用以 10 为基数的数字系统的进一步证据可以在纳尔默 Macehead 上找到，它描绘了 400,000 头牛、1,422,000 只山羊和 120,000 名囚犯的祭品。[19]考古证据表明古埃及计数系统起源于撒哈拉以南非洲。[20]此外，在撒哈拉以南非洲文化中广泛传播的分形几何设计也出现在埃及建筑和宇宙学符号中。[20]最早的真正数学文献可以追溯到第十二王朝（约公元前 1990 年至 1800 年）。莫斯科数学纸莎草纸、埃及数学纸莎草纸、拉洪数学纸莎草纸（属于规模大得多的卡洪纸莎草纸收藏的一部分）和柏林纸莎草纸 6619 都可以追溯到这一时期。据说，莱茵德数学纸莎草纸的历史可以追溯到第二中间时期（约公元前 1650 年），它是基于第 12 王朝的较古老的数学文本。[22]
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苏美尔数学
古代苏美尔 ©Anonymous
3000 BCE Jan 1 - 2000 BCE

苏美尔数学

Iraq
美索不达米亚的古代 苏美尔人从公元前 3000 年起就发展出了一套复杂的计量系统。从公元前 2600 年起，苏美尔人在泥板上写乘法表并处理几何练习和除法问题。巴比伦数字的最早踪迹也可以追溯到这个时期。[9]
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算盘
尤利乌斯·凯撒小时候学习用算盘计数。 ©Peter Jackson
2700 BCE Jan 1 - 2300 BCE

算盘

Mesopotamia, Iraq
算盘（复数 abaci 或 abacuses），又称算盘，是自古以来就使用的一种计算工具。它在古代近东、欧洲、中国和俄罗斯使用，比印度-阿拉伯数字系统采用早了几千年。[127]算盘的确切起源尚未出现。它由一排串在电线上的可移动珠子或类似物体组成。它们代表数字。设置两个数字之一，然后操纵珠子执行加法、甚至平方根或立方根等运算。苏美尔算盘出现于公元前 2700 年至 2300 年之间。它包含一个连续列的表格，该表格界定了六十进制（以 60 为基数）数字系统的连续数量级。[128]
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古巴比伦数学
古代美索不达米亚 ©Anonymous
2000 BCE Jan 1 - 1600 BCE

古巴比伦数学

Babylon, Iraq
巴比伦数学是使用六十进制（以 60 为底）的数字系统编写的。[12]由此衍生出现代用法：一分钟 60 秒、一小时 60 分钟、一圈 360 (60 × 6) 度，以及使用弧秒和弧分来表示分数一个学位。选择六十进制很可能是因为 60 可以被 2、3、4、5、6、10、12、15、20 和 30 整除。 [12]此外，与埃及人、 希腊人和罗马人不同，巴比伦人有一个位值系统，左栏中写的数字代表更大的值，就像十进制系统一样。[13]巴比伦记数法的强大之处在于它可以像整数一样容易地用来表示分数。因此，两个包含分数的数字相乘与整数相乘没有什么不同，类似于现代符号。[13]巴比伦人的符号系统是文艺复兴之前所有文明中最好的， [14]其强大的功能使其能够实现卓越的计算精度；例如，巴比伦平板电脑 YBC 7289 给出了 √2 的近似值，精确到小数点后五位。[14]然而，巴比伦人缺乏与小数点相当的形式，因此符号的位值通常必须从上下文中推断出来。[13]到了 塞琉古时期，巴比伦人已经开发出零符号作为空位的占位符；但它仅用于中间位置。[13]这个零号不会出现在终端位置，因此巴比伦人很接近，但没有发展出真正的位值系统。[13]巴比伦数学涵盖的其他主题包括分数、代数、二次和三次方程以及正则数及其倒数对的计算。[15]这些平板电脑还包括乘法表以及求解线性、二次方程和三次方程的方法，这在当时是一项了不起的成就。[16]古巴比伦时期的石板还包含已知最早的毕达哥拉斯定理陈述。[17]然而，与埃及数学一样，巴比伦数学没有意识到精确解和近似解之间的差异，或者问题的可解决性，最重要的是，没有明确声明需要证明或逻辑原理。[13]他们还使用傅立叶分析的一种形式来计算星历（天文位置表），该星历由 Otto Neugebauer 在 20 世纪 50 年代发现。[11]为了计算天体的运动，巴比伦人使用了基本算术和基于黄道的坐标系，黄道是太阳和行星穿过的天空的一部分。
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泰勒斯定理
©Gabriel Nagypal
600 BCE Jan 1

泰勒斯定理

Babylon, Iraq
据称，希腊数学始于米利都的泰勒斯（约公元前 624-548 年）。尽管人们普遍认为他是希腊七智者之一，但人们对他的生平知之甚少。根据普罗克洛斯的说法，他前往巴比伦学习数学和其他学科，并证明了现在所谓的泰勒斯定理。[23]泰勒斯利用几何学来解决诸如计算金字塔的高度和船只距海岸的距离等问题。他被认为是首次将演绎推理应用于几何，推导出泰勒斯定理的四个推论。因此，他被誉为第一位真正的数学家和第一个数学发现的已知个人。[30]
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毕达哥拉斯
毕达哥拉斯的细节和比例板，来自拉斐尔的《雅典学院》。梵蒂冈宫，罗马，1509 年。 ©Raphael Santi
580 BCE Jan 1

毕达哥拉斯

Samos, Greece
同样神秘的人物是萨摩斯岛的毕达哥拉斯（约公元前 580-500 年），据说他访问过埃及和 巴比伦， [24]并最终定居在大希腊的克罗顿，在那里他建立了一种兄弟情谊。毕达哥拉斯学派相信“一切都是数字”，并热衷于寻找数字与事物之间的数学关系。[25]毕达哥拉斯本人因后来的许多发现而受到赞誉，包括构建五种正多面体。欧几里得《几何原本》中几乎一半的内容通常归因于毕达哥拉斯学派，其中包括希帕索斯（Hippasus，约公元前 530-450 年）和狄奥多罗斯（Theodorus，约公元前 450 年）发现的无理数。[26]毕达哥拉斯学派创造了“数学”这个术语，数学研究也是从他们开始的。然而，与该群体相关的最伟大的数学家可能是阿基塔斯（Archytas，约公元前 435-360 年），他解决了立方体加倍的问题，确定了调和平均值，并可能对光学和力学做出了贡献。[26]活跃于这一时期的其他数学家，不完全隶属于任何学派，包括希俄斯的希波克拉底（约公元前 470-410 年）、泰阿泰德（约公元前 417-369 年）和欧多克索斯（约公元前 408-355 年） 。
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无理数的发现
毕达哥拉斯学派的旭日赞歌。 ©Fyodor Bronnikov
400 BCE Jan 1

无理数的发现

Metapontum, Province of Matera
无理数存在的第一个证明通常归因于毕达哥拉斯主义者（可能是梅塔蓬图姆的希帕索斯）， [39]他可能在识别五角星的边时发现了无理数。[40]当时流行的毕达哥拉斯方法声称必须有一些足够小的、不可分割的单位可以均匀地适合这些长度之一以及另一个长度。然而，公元前 5 世纪的希帕索斯 (Hippasus) 能够推断出实际上不存在通用的计量单位，并且这种存在的断言实际上是矛盾的。希腊数学家将这种不可通约量级的比率称为“alogos”或“不可表达的”。然而，希帕索斯并没有因其努力而受到赞扬：根据一个传说，他在海上发现了这一发现，随后被他的毕达哥拉斯学派同胞扔到了海里，因为“在宇宙中产生了一种元素，该元素否认了……学说”。宇宙中的所有现象都可以归结为整数及其比率。[41]无论对希帕索斯本人造成什么后果，他的发现给毕达哥拉斯数学带来了一个非常严重的问题，因为它打破了数字和几何密不可分的假设——这是他们理论的基础。
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柏拉图
柏拉图学院的马赛克 – 来自庞贝城的 T. Siminius Stephanus 别墅。 ©Anonymous
387 BCE Jan 1

柏拉图

Athens, Greece
柏拉图在数学史上对于启发和指导他人具有重要意义。[31]他在雅典的柏拉图学院成为公元前 4 世纪世界的数学中心，当时的顶尖数学家，如尼多斯的欧多克索斯，就出自这所学校。[32]柏拉图还讨论了数学的基础， [33]澄清了一些定义（例如，线的定义为“无宽度的长度”），并重新组织了假设。[34]解析方法归功于柏拉图，而获得毕达哥拉斯三元组的公式则以他的名字命名。[32]
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中国几何
©HistoryMaps
330 BCE Jan 1

中国几何

China
中国现存最古老的几何著作来自哲学墨家经典。公元前 330 年，由墨子（公元前 470-390 年）的追随者编撰。《墨经》描述了与物理科学相关的许多领域的各个方面，并提供了少量的几何定理。[77]它还定义了周长、直径、半径和体积的概念。[78]
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中文十进制
©Anonymous
305 BCE Jan 1

中文十进制

Hunan, China
清华简简包含已知最早的十进制乘法表（尽管古巴比伦人有以 60 为基数的乘法表），其日期可追溯到公元前 305 年左右，可能是中国现存最古老的数学文本。[68]特别值得注意的是中国数学中十进制位置记数系统的使用，即所谓的“棒数字”，其中不同的密码用于 1 到 10 之间的数字，以及用于 10 的幂的附加密码。[69]因此，数字 123 将使用“1”符号书写，后跟“100”符号，然后是“2”符号，后跟“10”符号，最后是“100”符号。 3”。这是当时世界上最先进的数字系统，显然比公元纪元早几个世纪就已经使用，并且远远早于印度数字系统的发展。[76]杆式数字可以表示任意大的数字，并可以在算盘或中国算盘上进行计算。据推测，官员们使用乘法表来计算土地面积、农作物产量和所欠税款。[68]
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希腊化希腊数学
©Aleksandr Svedomskiy
300 BCE Jan 1

希腊化希腊数学

Greece
希腊化时代始于公元前4世纪末， 亚历山大大帝征服了东地中海、埃及、 美索不达米亚 、伊朗高原、中亚和印度部分地区，导致希腊语言和文化在这些地区传播。希腊语成为整个希腊化世界学术的通用语言，古典时期的数学与埃及和巴比伦数学融合，产生了希腊化数学。[27]希腊数学和天文学在希腊化时期和早期罗马时期达到了顶峰，大部分著作的代表作者包括欧几里得（公元前 300 年）、阿基米德（约公元前 287-212 年）、阿波罗尼乌斯（约公元前 240-190 年）公元前）、喜帕恰斯（约公元前 190-120 年）和托勒密（约公元 100-170 年）都具有非常高的水平，并且很少在小圈子之外掌握。希腊化时期出现了多个学习中心，其中最重要的一个是位于埃及亚历山大的 Mouseion，它吸引了来自希腊化世界各地的学者（主要是希腊人，但也有埃及人、犹太人、波斯人等）。[28]希腊化时期的数学家虽然数量不多，但相互交流活跃。出版包括在同事之间传递和复制某人的作品。[29]
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欧几里得
拉斐尔在雅典学院教学生时对欧几里得的印象细节（1509-1511） ©Raffaello Santi
300 BCE Jan 1

欧几里得

Alexandria, Egypt
公元前 3 世纪，数学教育和研究的首要中心是亚历山大博物馆。[36]正是在那里，欧几里得（约公元前 300 年）教授并撰写了《几何原本》，该书被广泛认为是有史以来最成功、最有影响力的教科书。[35]欧几里得被认为是“几何学之父”，他主要以《几何原本》的论文而闻名，该论文奠定了几何学的基础，直到 19 世纪初，几何学在很大程度上主导了该领域。他的体系现在被称为欧几里得几何，涉及新的创新，并综合了早期希腊数学家的理论，包括尼多斯的欧多克索斯、希俄斯的希波克拉底、泰勒斯和泰阿泰德。欧几里得与阿基米德和佩尔加的阿波罗尼乌斯一起被普遍认为是古代最伟大的数学家之一，也是数学史上最有影响力的数学家之一。《几何原本》通过公理化方法引入了数学的严谨性，是当今数学中仍在使用的格式（定义、公理、定理和证明）的最早例子。尽管《几何原本》的大部分内容都是已知的，但欧几里得将它们排列成一个单一的、连贯的逻辑框架。[37]除了熟悉的欧几里得几何定理之外，《几何原本》还被认为是当时所有数学学科的入门教科书，例如数论、代数和立体几何， [37]包括证明两个数的平方根是无理数，并且素数有无穷多个。欧几里得还撰写了大量关于其他学科的著作，例如圆锥曲线、光学、球面几何和力学，但他的著作只有一半留存下来。[38]欧几里得算法是最古老的常用算法之一。[93]它出现在欧几里得的《几何原本》（约公元前 300 年）中，特别是在第 7 册（命题 1-2）和第 10 册（命题 2-3）中。在第 7 册中，该算法是针对整数制定的，而在第 10 册中，该算法是针对线段的长度制定的。几个世纪后，欧几里得算法在印度和中国被独立发现， [94]主要是为了解决天文学中出现的丢番图方程并制定精确的日历。
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阿基米德
©Anonymous
287 BCE Jan 1

阿基米德

Syracuse, Free municipal conso
锡拉丘兹的阿基米德被认为是古典时期最重要的科学家之一。阿基米德被认为是古代历史上最伟大的数学家，也是有史以来最伟大的数学家之一， [42]阿基米德通过应用无限小概念和穷举法来推导出并严格证明一系列几何定理，从而预见了现代微积分和分析。[43]这些包括圆的面积、球体的表面积和体积、椭圆的面积、抛物线下的面积、旋转抛物面的线段的体积、旋转抛物面的线段的体积旋转双曲面和螺旋面积。[44]阿基米德的其他数学成就包括推导 pi 的近似值、定义和研究阿基米德螺线，以及设计一个使用指数表示非常大的数字的系统。他也是最早将数学应用于物理现象的人之一，致力于静力学和流体静力学的研究。阿基米德在这一领域的成就包括杠杆定律的证明、 [45]重心概念的广泛使用、 [46]以及浮力定律或阿基米德原理的阐述。阿基米德在锡拉丘兹围攻期间去世，一名罗马士兵不顾他的命令不许伤害他，仍将他杀害。
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阿波罗尼乌斯的寓言
©Domenico Fetti
262 BCE Jan 1

阿波罗尼乌斯的寓言

Aksu/Antalya, Türkiye
佩尔加的阿波罗尼乌斯（Apollonius of Perga，约公元前 262-190 年）在圆锥曲线的研究方面取得了重大进展，表明人们可以通过改变切割双毛锥的平面的角度来获得所有三种圆锥曲线。[47]他还创造了今天使用的圆锥曲线术语，即抛物线（“放置在旁边”或“比较”）、“椭圆”（“不足”）和“双曲线”（“超越”）。[48]他的著作《圆锥曲线》是古代最著名和保存最完好的数学著作之一，在其中他推导出了许多有关圆锥曲线的定理，这些定理对于后来研究行星运动的数学家和天文学家（例如艾萨克·牛顿）来说是无价的。[49]虽然阿波罗尼乌斯和任何其他希腊数学家都没有飞跃到坐标几何，但阿波罗尼乌斯对曲线的处理在某些方面与现代处理相似，而且他的一些工作似乎预示了笛卡尔在 1800 年左右对解析几何的发展多年后。[50]
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数学艺术九章
©Luo Genxing
200 BCE Jan 1

数学艺术九章

China
公元前212年，秦始皇下令烧毁秦帝国除官方认可的书籍之外的所有书籍。这一法令并未得到普遍遵守，但由于这一法令，在此之前人们对中国古代数学知之甚少。公元前 212 年焚书之后，汉朝（公元前 202 年至公元 220 年）创作了数学著作，这些著作大概是对现已失传的著作进行了扩展。公元前 212 年焚书之后，汉朝（公元前 202 年至公元 220 年）创作了数学著作，这些著作大概是对现已失传的著作进行了扩展。其中最重要的是《数学艺术九章》，其完整标题出现于公元 179 年，但部分内容之前已存在于其他标题下。它包含 246 道应用题，涉及农业、商业、几何图形应用、中国宝塔的高度跨度和尺寸比例、工程、测量，并包括直角三角形材料。[79]它为毕达哥拉斯定理创建了数学证明， [81]并为高斯消元法创建了数学公式。[80]该论文还提供了 π 的值， [79]中国数学家最初将其近似为 3，直到刘欣（公元 23 年去世）提供了 3.1457 的数字，随后张衡（78-139）将 pi 近似为 3.1724， [ 82]以及 10 的平方根得到 3.162 [。 83]负数在历史上首次出现在《数学艺术九章》中，但很可能包含更古老的材料。[84]数学家刘徽（约公元3世纪）建立了负数加减法的规则。
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喜帕恰斯与三角学
“亚历山大天文台的喜帕恰斯。”里德帕斯的世界史。1894年。 ©John Clark Ridpath
190 BCE Jan 1

喜帕恰斯与三角学

İznik, Bursa, Türkiye
公元前3世纪通常被认为是希腊数学的“黄金时代”，此后纯数学的进步相对衰落。[51]然而，在接下来的几个世纪里，应用数学（尤其是三角学）取得了重大进展，主要是为了满足天文学家的需求。[51]尼西亚的喜帕恰斯（Hipparchus of Nicaea，约公元前 190-120 年）被认为是三角学的创始人，他编制了第一个已知的三角函数表，并且系统地使用了 360 度圆。[52]
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托勒密天文学大成
©Anonymous
100 Jan 1

托勒密天文学大成

Alexandria, Egypt
公元 2 世纪，希腊-埃及天文学家托勒密（来自埃及亚历山大）在他的《天文学大成》第一卷第 11 章中构建了详细的三角表（托勒密的和弦表）。托勒密使用弦长来定义他的三角函数，这与我们今天使用的正弦惯例略有不同。几个世纪过去了，更详细的表格被制作出来，在接下来的 1200 年里，托勒密的论文在中世纪的拜占庭、伊斯兰以及后来的西欧世界中一直用于天文学中的三角计算。托勒密还被认为是导出三角量的托勒密定理，也是中世纪之前中国以外最准确的 π 值 3.1416。[63]
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中国剩余定理
©张文新
200 Jan 1

中国剩余定理

China
在数学中，中国余数定理指出，如果知道一个整数n除以几个整数的欧几里得除法的余数，那么就可以唯一地确定n除以这些整数的乘积的余数，条件是：除数是成对互质的（没有两个除数有除 1 之外的公因数）。已知最早对该定理的表述是由中国数学家孙子于公元 3 世纪在《孙子算经》中提出的。
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丢番图分析
©Tom Lovell
200 Jan 1

丢番图分析

Alexandria, Egypt
在托勒密之后的一段停滞期之后，公元 250 年至 350 年之间的时期有时被称为希腊数学的“白银时代”。[53]在此期间，丢番图在代数方面取得了重大进展，特别是不定分析，也称为“丢番图分析”。[54]丢番图方程和丢番图近似的研究至今仍是一个重要的研究领域。他的主要著作是《算术》（Arithmetica），该书收录了 150 个代数问题，涉及确定和不定方程的精确解。[55] 《算术》对后来的数学家产生了重大影响，例如皮埃尔·德·费马，他在试图概括他在《算术》中读到的一个问题（将一个正方形分成两个正方形）后得出了著名的大定理。[56]丢番图在符号方面也取得了重大进展，《算术》是代数符号和切分音的第一个实例。[55]
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零的故事
©HistoryMaps
224 Jan 1

零的故事

India
古埃及数字以 10 为基数。他们使用象形文字来表示数字，并且没有位置性。到公元前 2 个千年中期，巴比伦数学已经有了一套复杂的以 60 为基数的位置数字系统。缺少位置值（或零）由六十进制数字之间的空格表示。墨西哥中南部和中美洲开发的中美洲长计数日历要求在二十进制（以 20 为底）位置数字系统中使用零作为占位符。零作为小数位数值表示法中的书面数字的概念是在印度发展起来的。[65]零的符号，一个大点，可能是仍然流行的空心符号的前身，在巴赫沙利手稿中使用，这是一本实用的商人算术手册。[66] 2017年，放射性碳测年显示手稿中的三个样本来自三个不同的世纪：公元224-383年、公元680-779年和公元885-993年，使其成为南亚最古老的使用零的记录。象征。目前尚不清楚构成手稿的不同世纪的桦树皮碎片是如何包装在一起的。[67]管理零使用的规则出现在 Brahmagupta 的 Brahmasputha Siddhanta（七世纪）中，其中指出零与其自身之和为零，并且错误地被零除为：正数或负数除以零就是以零为分母的分数。零除以负数或正数要么为零，要么表示为以零为分子、有限量为分母的分数。零除以零就是零。
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希帕夏
©Julius Kronberg
350 Jan 1

希帕夏

Alexandria, Egypt
历史上记载的第一位女数学家是亚历山大的希帕蒂娅（Hypatia of Alexandria，公元 350-415 年）。她写了许多应用数学方面的著作。由于政治争端，亚历山大的基督教团体公开剥光她的衣服并处决。她的去世有时被认为是亚历山大希腊数学时代的结束，尽管普罗克洛斯、辛普利修斯和尤托西乌斯等人物在雅典的研究工作又持续了一个世纪。[57]尽管普罗克卢斯和辛普利修斯更像是哲学家而不是数学家，但他们对早期作品的评论是希腊数学的宝贵资源。查士丁尼皇帝于公元 529 年关闭了雅典新柏拉图学院，传统上被认为标志着希腊数学时代的结束，尽管希腊传统在拜占庭帝国中没有被打破，特拉勒斯的安提米乌斯 (Anthemius of Tralles) 和伊西多尔 (Isidore) 等数学家的存在圣索菲亚大教堂的建筑师米利都。[58]然而，拜占庭数学主要由评论组成，几乎没有创新，而此时数学创新的中心已经在其他地方找到了。[59]
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505 Jan 1

印度三角学

Patna, Bihar, India
现代正弦约定首先在 Surya Siddhanta（显示出强烈的希腊化影响）中得到证实[64] ，其特性由 5 世纪（CE）印度数学家和天文学家 Aryabhata 进一步记录。[60] 《Surya Siddhanta》描述了计算各种行星和月球相对于各种星座的运动、各种行星的直径以及计算各种天体的轨道的规则。该文本因一些已知最早的六十进制分数和三角函数的讨论而闻名。[61]
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510 Jan 1

印度十进制

India
公元 500 年左右，Aryabhata 写了《Aryabhatiya》，这是一本用诗体写成的薄卷，旨在补充天文学和数学测量中使用的计算规则。[62]虽然大约有一半的条目是错误的，但小数位系统是在 Aryabhatiya 中首次出现的。
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780 Jan 1

穆罕默德·本·穆萨·花剌子米

Uzbekistan
公元 9 世纪，数学家穆罕默德·本·穆萨·花拉子米 (Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) 写了一本关于印度-阿拉伯数字的重要著作和一本关于求解方程的方法的著作。他于 825 年写成的《论印度数字计算》一书，与 Al-Kindi 的著作一起，在向西方传播印度数学和印度数字方面发挥了重要作用。“算法”一词源自他的名字 Algoritmi 的拉丁化，而“代数”一词则源自他的一本著作的标题 Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala（《计算简明书》）完成和平衡）。他对正根二次方程的代数解给出了详尽的解释， [87] ，并且他是第一个以初等形式教授代数的人。[88]他还讨论了“约简”和“平衡”的基本方法，指将减掉的项转置到方程的另一边，即抵消方程两边的同类项。花剌子米最初将这一行动描述为 al-jabr。[89]他的代数也不再关注“一系列需要解决的问题，而是一种从原始术语开始的阐述，其中的组合必须给出方程的所有可能原型，从此明确地构成真正的研究对象。 ”他还为了方程本身而研究方程，并且“以一种通用的方式，因为它不仅仅是在解决问题的过程中出现，而是特别要求定义无限类问题”。[90]
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阿布·卡米尔
©Davood Diba
850 Jan 1

阿布·卡米尔

Egypt
阿布·卡米尔·舒贾·伊本·阿斯拉姆·本·穆罕默德·伊本·舒贾是伊斯兰黄金时代著名的埃及数学家。他被认为是第一位系统地使用和接受无理数作为方程的解和系数的数学家。[91]他的数学技巧后来被斐波那契采用，从而使阿布·卡米尔在将代数引入欧洲方面发挥了重要作用。[92]
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玛雅数学
©Louis S. Glanzman
900 Jan 1

玛雅数学

Mexico
在前哥伦布时代的美洲，公元一千年期间在墨西哥和中美洲蓬勃发展的玛雅文明发展了一种独特的数学传统，由于其地理隔离，完全独立于现有的欧洲、埃及和亚洲数学。[92]玛雅数字使用二十进制（二十进制），而不是大多数现代文化使用的十进制系统的十进制。[92]玛雅人使用数学来创建玛雅历法，并在他们的本土玛雅天文学中预测天文现象。[92]虽然零的概念必须在许多当代文化的数学中推断出来，但玛雅人为其开发了一个标准符号。[92]
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卡拉吉
©Osman Hamdi Bey
953 Jan 1

卡拉吉

Karaj, Alborz Province, Iran
阿布·巴克尔·穆罕默德·伊本·哈桑·卡拉吉 (Abū Bakr Muḥammad ibn al Ḥasan al-Karajī) 是一位 10 世纪的 波斯数学家和工程师，在巴格达崭露头角。他出生在德黑兰附近的城市卡拉季。他现存的三部主要著作都是数学著作：Al-Badi' fi'l-hisab（计算出色）、Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala（代数辉煌）和 Al-Kafi fi'l- hisab（计算足够）。卡拉吉撰写了有关数学和工程学的文章。有些人认为他只是改造了其他人的思想（他受到丢番图的影响），但大多数人认为他更具原创性，特别是在将代数从几何中解放出来方面。在历史学家中，他研究最广泛的著作是他的代数书《al-fakhri fi al-jabr wa al-muqabala》，该书从中世纪时期就流传下来，至少有四本。他在代数和多项式方面的工作给出了多项式加、减和乘的算术运算规则；尽管他仅限于将多项式除以单项式。
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汉语代数
©Anonymous Chinese artist of the Song Dynasty
960 Jan 1 - 1279

汉语代数

China
中国数学的顶峰出现在13世纪宋代后半叶（960-1279），伴随着中国代数的发展。这一时期最重要的著作是朱世杰（1249-1314）的《四行宝镜》，其中使用类似于霍纳方法的方法处理联立高阶代数方程的解。[70] 《宝镜》还包含一张帕斯卡三角形图，其系数为二项式展开至八次方，尽管两者早在 1100 年就出现在中国著作中[。 71]中国人还使用了称为“八次方”的复杂组合图。幻方和幻阵，在古代就有描述，并由杨辉（CE 1238-1298）完善。[71]日本数学、韩国数学和越南数学传统上被视为源于中国数学，属于以儒家为基础的东亚文化圈。[72]韩国和日本数学深受中国宋代代数著作的影响，而越南数学则深受中国明朝（1368-1644）流行著作的影响。[73]例如，尽管越南数学论文是用中文或越南本土的Chữ Nôm文字写成的，但它们都遵循中文格式，即提出一系列问题以及解决这些问题的算法，然后给出数字答案。[74]越南和韩国的数学大多与数学家和天文学家的专业法庭官僚机构有关，而在日本，它在私立学校领域更为普遍。[75]
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印度-阿拉伯数字
学者们 ©Ludwig Deutsch
974 Jan 1

印度-阿拉伯数字

Toledo, Spain
欧洲人大约在十世纪就知道了阿拉伯数字，尽管它们的传播是一个渐进的过程。两个世纪后，在阿尔及利亚城市贝贾亚，意大利学者斐波那契第一次遇到了数字；他的工作对于让他们在整个欧洲广为人知至关重要。欧洲贸易、书籍和殖民主义推动了阿拉伯数字在世界各地的普及。这些数字在全球范围内的使用远远超出了拉丁字母的当代传播范围，并且在以前存在其他数字系统的书写系统中变得很常见，例如中文和日文数字。在西方，第一次提到 1 到 9 的数字是在 976 年的 Codex Vigilanus 中发现的，这是一本包含从古代到 10 世纪西班牙各种历史文献的插图集。[68]
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列奥纳多·斐波那契
中世纪意大利人的肖像 ©Vittore Carpaccio
1202 Jan 1

列奥纳多·斐波那契

Pisa, Italy
12 世纪，欧洲学者前往西班牙和西西里岛寻找科学的阿拉伯文献，其中包括花剌子米的《完成与平衡计算简述》（由切斯特的罗伯特翻译成拉丁文），以及欧几里得《几何原本》的完整文本（以各种语言翻译）。巴斯的阿德拉德、卡林西亚的赫尔曼和克雷莫纳的杰拉德的版本。[95]这些和其他新的来源引发了数学的更新。比萨的列奥纳多（现在被称为斐波那契）在与他的商人父亲前往现在的阿尔及利亚贝贾亚旅行时偶然了解到了印度教-阿拉伯数字。（欧洲仍在使用罗马数字。）在那里，他观察到一种算术系统（特别是算法），由于印度教-阿拉伯数字的位置表示法，该系统效率更高，并且极大地促进了商业。他很快意识到印度-阿拉伯系统的许多优点，与当时使用的罗马数字不同，它可以使用位值系统轻松计算。列奥纳多于 1202 年撰写了《珠算书》（1254 年更新），将这项技术引入了欧洲，并开始了长期的普及。这本书还将现在所谓的斐波那契数列（印度数学家早在数百年前就已知晓） [96]带到了欧洲，斐波那契将其用作一个不起眼的例子。
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无限系列
©Veloso Salgado
1350 Jan 1

无限系列

Kerala, India
希腊数学家阿基米德提出了第一个已知的无穷级数求和，其方法至今仍在微积分领域使用。他用穷举法计算了无穷级数求和的抛物线弧下面积，并给出了 π 的非常精确的近似值。[86]喀拉拉邦学派在无穷级数和微积分领域做出了许多贡献。
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概率论
杰罗姆·卡尔达诺 ©R. Cooper
1564 Jan 1

概率论

Europe
现代概率数学理论的根源在于十六世纪杰罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano）以及十七世纪皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）和布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）对机会游戏的分析尝试（例如“点问题”）。[105]克里斯蒂安·惠更斯 (Christiaan Huygens) 于 1657 年出版了一本关于该主题的书。 [106]在 19 世纪，被认为是概率的经典定义是由皮埃尔·拉普拉斯 (Pierre Laplace) 完成的。[107]最初，概率论主要考虑离散事件，其方法主要是组合的。最终，分析考虑迫使将连续变量纳入理论中。这在安德烈·尼古拉耶维奇·科尔莫哥洛夫奠定的基础上最终形成了现代概率论。科尔莫哥洛夫将理查德·冯·米塞斯引入的样本空间概念与测度论相结合，并于 1933 年提出了他的概率论公理系统。这成为现代概率论最无可争议的公理基础；但是，替代方案是存在的，例如布鲁诺·德菲内蒂（Bruno de Finetti）采用有限而不是可数可加性。[108]
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对数
约翰内斯·开普勒 ©August Köhler
1614 Jan 1

对数

Europe
17 世纪，整个欧洲的数学和科学思想空前增长。伽利略使用汉斯·利珀希的望远镜观察了围绕木星运行的卫星。第谷·布拉赫收集了大量描述天空中行星位置的数学数据。作为布拉赫的助手，约翰内斯·开普勒第一次接触到行星运动的话题并与之进行了认真的互动。由于约翰·纳皮尔和约斯特·布尔吉同时发明了对数，开普勒的计算变得更加简单。开普勒成功地制定了行星运动的数学定律。勒内·笛卡尔（René Descartes，1596-1650）发展的解析几何允许将这些轨道以笛卡尔坐标绘制在图表上。
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笛卡尔坐标系
勒内·笛卡尔 ©Frans Hals
1637 Jan 1

笛卡尔坐标系

Netherlands
笛卡儿指的是法国数学家和哲学家笛卡尔，他于 1637 年在荷兰居住时发表了这个想法。它是由皮埃尔·德·费马独立发现的，他也从事三维研究，但费马没有发表这一发现。[109]早在笛卡尔和费马时代之前，法国牧师 Nicole Oresme 就使用了类似于笛卡尔坐标的结构。[110]笛卡尔和费马在他们的处理中都使用单轴，并且具有参考该轴测量的可变长度。使用一对轴的概念是在笛卡尔的《几何学》于 1649 年由 Frans van Schooten 和他的学生翻译成拉丁文后引入的。这些评论家在试图澄清笛卡尔著作中包含的思想的同时引入了几个概念。[111]笛卡尔坐标系的发展对艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨微积分的发展起到了基础性的作用。[112]平面的二坐标描述后来被推广到向量空间的概念。[113]自笛卡尔以来，还开发了许多其他坐标系，例如平面的极坐标以及三维空间的球坐标和柱坐标。
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1670 Jan 1

结石

Europe
微积分是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，代数是对算术运算的推广的研究一样。它有两个主要分支，微分学和积分学；前者涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而后者涉及数量的累积以及曲线下方或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互关联，并且它们利用了无限序列和无限级数收敛到明确定义的极限的基本概念。[97]无穷小微积分是由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨于 17 世纪末独立发展的。[98]后来的工作，包括对限制概念的编纂，将这些发展置于更坚实的概念基础上。如今，微积分在科学、工程和社会科学中有着广泛的用途。艾萨克·牛顿在他的运动定律和万有引力定律中发展了微积分的应用。这些想法被戈特弗里德·威廉·莱布尼茨整理成真正的无穷小微积分，他最初被牛顿指控抄袭。他现在被认为是微积分的独立发明者和贡献者。他的贡献是提供了一套清晰的规则来处理无穷小量，允许计算二阶和高阶导数，并提供微分和积分形式的乘积规则和链式规则。与牛顿不同，莱布尼茨在符号的选择上下了很大的功夫。[99]牛顿是第一个将微积分应用于普通物理学的人，莱布尼茨发展了当今微积分中使用的许多符号。[100]牛顿和莱布尼茨提供的基本见解是微分和积分定律，强调微分和积分是逆过程、二阶和高阶导数以及近似多项式级数的概念。
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1736 Jan 1

图论

Europe
在数学中，图论是对图的研究，图是用于建模对象之间的成对关系的数学结构。在这种情况下，图由顶点（也称为节点或点）组成，这些顶点通过边（也称为链接或线）连接。无向图和有向图之间存在区别，无向图的边对称地连接两个顶点，而有向图的边不对称地连接两个顶点。图是离散数学研究的主要对象之一。莱昂哈德·欧拉于 1736 年发表的关于柯尼斯堡七桥的论文被认为是图论史上的第一篇论文。[114]这篇论文以及范德蒙德撰写的关于骑士问题的论文，继续了莱布尼茨发起的分析情境。柯西[115]和 L'Huilier [116]研究并推广了与凸多面体的边、顶点和面数相关的欧拉公式，它代表了拓扑学这一数学分支的开端。
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1738 Jan 1

正态分布

France
在统计学中，正态分布或高斯分布是实值随机变量的一种连续概率分布。正态分布在统计学中很重要，并且经常在自然科学和社会科学中用于表示分布未知的实值随机变量。[124]它们的重要性部分归因于中心极限定理。它指出，在某些条件下，具有有限均值和方差的随机变量的许多样本（观测值）的平均值本身就是一个随机变量，随着样本数量的增加，其分布收敛于正态分布。因此，预计是许多独立过程之和的物理量（例如测量误差）通常具有接近正态的分布。[125]一些作者[126]将正态分布的发现归功于 de Moivre，他于 1738 年在他的《机会论》第二版中发表了对二项式展开系数的研究（a + b)n。
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1740 Jan 1

欧拉公式

Berlin, Germany
欧拉公式以莱昂哈德·欧拉的名字命名，是复分析中的一个数学公式，它建立了三角函数和复指数函数之间的基本关系。欧拉公式在数学、物理、化学和工程学中无处不在。物理学家理查德·费曼将该方程称为“我们的宝石”和“数学中最引人注目的公式”。当 x = π 时，欧拉公式可重写为 eiπ + 1 = 0 或 eiπ = -1，这称为欧拉恒等式。
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1763 Jan 1

贝叶斯定理

England, UK
在概率论和统计学中，贝叶斯定理（也称为贝叶斯定律或贝叶斯规则）以托马斯·贝叶斯命名，基于可能与事件相关的条件的先验知识来描述事件的概率。[122]例如，如果已知出现健康问题的风险随着年龄的增长而增加，则贝叶斯定理允许通过相对于年龄的条件来更准确地评估已知年龄的个体的风险，而不是简单地假设该个人是整个人口的典型。在概率论和统计学中，贝叶斯定理（也称为贝叶斯定律或贝叶斯规则）以托马斯·贝叶斯命名，基于可能与事件相关的条件的先验知识来描述事件的概率。[122]例如，如果已知出现健康问题的风险随着年龄的增长而增加，则贝叶斯定理允许通过相对于年龄的条件来更准确地评估已知年龄的个体的风险，而不是简单地假设该个人是整个人口的典型。
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高斯定律
卡尔·弗里德里希·高斯 ©Christian Albrecht Jensen
1773 Jan 1

高斯定律

France
在物理学和电磁学中，高斯定律，也称为高斯通量定理，（或有时简称为高斯定理）是一种将电荷分布与产生的电场联系起来的定律。在其积分形式中，它指出从任意闭合表面出来的电场通量与该表面封闭的电荷成正比，而不管该电荷如何分布。尽管该定律本身不足以确定包含任何电荷分布的表面上的电场，但在对称性要求场均匀性的情况下，这可能是可能的。在不存在这种对称性的情况下，可以以其微分形式使用高斯定律，该定律指出电场的发散与电荷的局部密度成正比。该定律首先由约瑟夫·路易斯·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange) 在 1773 年提出[101] ， [102]随后由卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 在 1835 年提出， [103]两者都是在椭球体吸引力的背景下提出的。它是麦克斯韦方程组之一，构成了经典电动力学的基础。高斯定律可用于推导库仑定律， [104] ，反之亦然。
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1800 Jan 1

群论

Europe
在抽象代数中，群论研究称为群的代数结构。群的概念是抽象代数的核心：其他众所周知的代数结构，例如环、域和向量空间，都可以被视为具有附加运算和公理的群。群在数学中反复出现，群论的方法影响了代数的许多部分。线性代数群和李群是群论的两个分支，它们已经取得了长足的进步，并以其自身的优势成为了学科领域。群论的早期历史可以追溯到 19 世纪。20 世纪最重要的数学成就之一是协作努力，占据了超过 10,000 个期刊页面，大部分在 1960 年至 2004 年间出版，最终形成了有限简单群的完整分类。
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1807 Jan 1

傅里叶分析

Auxerre, France
在数学中，傅里叶分析是研究一般函数可以用更简单的三角函数之和来表示或近似的方式。傅里叶分析源于对傅里叶级数的研究，并以约瑟夫·傅里叶的名字命名，他表明将函数表示为三角函数的和大大简化了传热的研究。傅里叶分析的主题涵盖了广泛的数学领域。在科学和工程中，将函数分解为振荡分量的过程通常称为傅里叶分析，而从这些部分重建函数的操作称为傅里叶合成。例如，确定音符中存在哪些分量频率将涉及计算采样音符的傅里叶变换。然后，人们可以通过包含傅立叶分析中显示的频率分量来重新合成相同的声音。在数学中，术语“傅里叶分析”通常指对这两种运算的研究。分解过程本身称为傅里叶变换。它的输出，即傅里叶变换，通常有一个更具体的名称，这取决于被变换函数的域和其他属性。此外，傅里叶分析的原始概念随着时间的推移已经扩展到应用到越来越抽象和一般的情况，并且一般领域通常被称为调和分析。用于分析的每个变换（参见傅立叶相关变换列表）都有一个相应的可用于合成的逆变换。
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1850 Jan 1 - 1870

麦克斯韦方程组

Cambridge University, Trinity
麦克斯韦方程组或麦克斯韦-亥维赛方程组是一组耦合偏微分方程，与洛伦兹力定律一起构成了经典电磁学、经典光学和电路的基础。这些方程为电力、光学和无线电技术（如发电、电动机、无线通信、镜头、雷达等）提供了数学模型。它们描述了电荷、电流和物体的变化如何产生电场和磁场。字段。这些方程以物理学家和数学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 的名字命名，他于 1861 年和 1862 年发表了包含洛伦兹力定律的方程的早期形式。麦克斯韦首先使用这些方程提出光是一种电磁现象。最常见的方程式的现代形式归功于奥利弗·亥维赛 (Oliver Heaviside)。这些方程有两个主要变体。微观方程具有普遍适用性，但对于普通计算来说却很笨拙。他们将电场和磁场与总电荷和总电流联系起来，包括原子尺度材料中的复杂电荷和电流。宏观方程定义了两个新的辅助场，它们描述了物质的大规模行为，而无需考虑原子尺度的电荷和自旋等量子现象。然而，它们的使用需要通过实验确定参数来对材料的电磁响应进行现象学描述。术语“麦克斯韦方程组”通常也用于等效的替代公式。基于电和磁标量势的麦克斯韦方程版本更适合将方程显式求解为边值问题、分析力学或用于量子力学。协变公式（关于时空而不是单独的空间和时间）使得麦克斯韦方程组与狭义相对论的兼容性得到体现。弯曲时空中的麦克斯韦方程常用于高能和引力物理学，与广义相对论兼容。事实上，阿尔伯特·爱因斯坦发展了狭义相对论和广义相对论，以适应光速不变的情况，这是麦克斯韦方程组的结果，其原理是只有相对运动才会产生物理后果。这些方程的发布标志着先前单独描述的现象（磁、电、光和相关辐射）理论的统一。自 20 世纪中叶以来，人们认识到麦克斯韦方程组并没有给出电磁现象的精确描述，而是更精确的量子电动力学理论的经典极限。
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1870 Jan 1

集合论

Germany
集合论是研究集合的数理逻辑的一个分支，集合可以非正式地描述为对象的集合。尽管任何类型的对象都可以收集到一个集合中，但集合论作为数学的一个分支，主要关注与整个数学相关的对象。现代集合论研究是由德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）和乔治·康托（Georg Cantor）在 1870 年代发起的。特别是，乔治·康托尔通常被认为是集合论的创始人。在这个早期阶段研究的非形式化系统被称为朴素集合论。在发现朴素集合论中的悖论（如罗素悖论、康托尔悖论和布拉里-福蒂悖论）后，二十世纪初期提出了各种公理体系，其中泽梅洛-弗兰克尔集合论（带有或不带有公理）选择）仍然是最著名和研究最多的。集合论通常被用作整个数学的基础系统，特别是以具有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论的形式。除了其基础作用之外，集合论还提供了发展无穷大数学理论的框架，并在计算机科学（例如关系代数理论）、哲学和形式语义学中具有各种应用。它的基本吸引力，连同它的悖论、它对无穷大概念的含义及其多种应用，使集合论成为逻辑学家和数学哲学家主要感兴趣的领域。当代集合论的研究涵盖了广泛的主题，从实数轴的结构到大基数一致性的研究。
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博弈论
约翰·冯·诺依曼 ©Anonymous
1927 Jan 1

博弈论

Budapest, Hungary
博弈论是对理性主体之间战略互动的数学模型的研究。[117]它在社会科学的所有领域以及逻辑、系统科学和计算机科学中都有应用。博弈论的概念在经济学中也广泛使用。[118]传统的博弈论方法涉及两人零和博弈，其中每个参与者的收益或损失恰好与其他参与者的损失和收益相平衡。21世纪，先进的博弈论适用于更广泛的行为关系；它现在是人类、动物以及计算机逻辑决策科学的总称。直到 1928 年约翰·冯·诺依曼发表论文《论策略博弈论》之前，博弈论才作为一个独特的领域存在[。119]冯·诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凸集的布劳威尔不动点定理，该定理成为博弈论和数理经济学中的标准方法。在他发表论文之后，他于 1944 年与奥斯卡·摩根斯特恩 (Oskar Morgenstern) 合着了《博弈论和经济行为理论》一书。[120]本书的第二版提供了一种公理化的效用理论，它使丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）旧的效用（货币）理论转变成一门独立的学科。冯·诺依曼在博弈论方面的工作在这本 1944 年的书中达到了顶峰。这项基础工作包含寻找两人零和博弈相互一致解决方案的方法。随后的工作主要集中在合作博弈论，该理论分析个体群体的最佳策略，假设他们可以强制执行他们之间关于适当策略的协议。[121]
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Appendices



APPENDIX 1

The History of Mathematics and Its Applications


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APPENDIX 2

The Map of Mathematics


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Footnotes



  1. Friberg, J. "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277-318.
  2. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium. Vol. 9 (2 ed.). Dover Publications. pp. 1-191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71-96.
  3. Turnbull (1931). "A Manual of Greek Mathematics". Nature. 128 (3235): 5. Bibcode:1931Natur.128..739T. doi:10.1038/128739a0. S2CID 3994109.
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  7. Juschkewitsch, A. P. (1964). Geschichte der Mathematik im Mittelalter. Teubner, Leipzig.
  8. Eves, Howard (1990). History of Mathematics, 6th Edition, "After Pappus, Greek mathematics ceased to be a living study, ..." p. 185; "The Athenian school struggled on against growing opposition from Christians until the latter finally, in A.D. 529, obtained a decree from Emperor Justinian that closed the doors of the school forever." p. 186; "The period starting with the fall of the Roman Empire, in the middle of the fifth century, and extending into the eleventh century is known in Europe as the Dark Ages ... . Schooling became almost nonexistent." p. 258.
  9. Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
  10. Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.
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  19. Burton, David (2005). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-305189-5.
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