Câu chuyện Toán học

-387

Platon

-300

Euclid

phụ lục

chú thích cuối trang

người giới thiệu


Play button

3000 BCE - 2023

Câu chuyện Toán học



Lịch sử toán học đề cập đến nguồn gốc của những khám phá về toán học cũng như các phương pháp và ký hiệu toán học trong quá khứ.Trước thời đại hiện đại và sự lan rộng của kiến ​​thức trên toàn thế giới, những ví dụ bằng văn bản về những phát triển toán học mới chỉ được đưa ra ánh sáng ở một số địa phương.Từ năm 3000 trước Công nguyên, các quốc gia Lưỡng Hà như Sumer, Akkad và Assyria, theo sát làAi Cập cổ đại và quốc gia Levantine của Ebla đã bắt đầu sử dụng số học, đại số và hình học cho các mục đích đánh thuế, thương mại, buôn bán và cả trong các mô hình trong tự nhiên, lĩnh vực thiên văn học và ghi lại thời gian và xây dựng lịch.Các văn bản toán học sớm nhất hiện có là từ Lưỡng Hà và Ai Cập – Plimpton 322 (Babylon khoảng 2000 – 1900 BCE), [1] Giấy cói toán học Rhind (Ai Cập khoảng 1800 BCE) [2] và Giấy cói toán học Moscow (Ai Cập khoảng 1890) TCN).Tất cả các văn bản này đều đề cập đến cái gọi là bộ ba Pythagore, do đó, theo suy luận, định lý Pythagore dường như là sự phát triển toán học cổ xưa và phổ biến nhất sau số học cơ bản và hình học.Việc nghiên cứu toán học như một "bộ môn chứng minh" bắt đầu vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên với những người theo trường phái Pythagoras, những người đã đặt ra thuật ngữ "toán học" từ tiếng Hy Lạp cổ μάθημα (toán học), có nghĩa là "môn học giảng dạy".[3] Toán học Hy Lạp đã cải tiến rất nhiều các phương pháp (đặc biệt thông qua việc áp dụng lý luận suy diễn và tính chặt chẽ của toán học trong chứng minh) và mở rộng chủ đề của toán học.[4] Mặc dù họ hầu như không có đóng góp gì cho toán học lý thuyết, nhưng người La Mã cổ đại đã sử dụng toán học ứng dụng trong khảo sát, kỹ thuật kết cấu, cơ khí, kế toán, tạo ra lịch mặt trăng và mặt trời, và thậm chí cả nghệ thuật và thủ công.Toán họcTrung Quốc đã có những đóng góp sớm, bao gồm hệ thống giá trị theo vị trí và việc sử dụng số âm đầu tiên.[5] Hệ thống chữ số Hindu–Ả Rập và các quy tắc sử dụng các phép tính của nó, được sử dụng trên toàn thế giới ngày nay đã phát triển trong suốt thiên niên kỷ thứ nhất CN ởẤn Độ và được truyền sang thế giới phương Tây thông qua toán học Hồi giáo thông qua công trình của Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī.[6] Toán học Hồi giáo lại phát triển và mở rộng nền toán học được biết đến ở các nền văn minh này.[7] Cùng thời nhưng độc lập với những truyền thống này là toán học được phát triển bởi nền văn minh Maya ở Mexico và Trung Mỹ, nơi khái niệm số 0 được coi là ký hiệu tiêu chuẩn trong chữ số Maya.Nhiều văn bản toán học tiếng Hy Lạp và Ả Rập đã được dịch sang tiếng Latinh từ thế kỷ 12 trở đi, dẫn đến sự phát triển hơn nữa của toán học ở Châu Âu thời Trung cổ.Từ thời cổ đại đến thời Trung cổ, các giai đoạn khám phá toán học thường kéo theo nhiều thế kỷ trì trệ.[8] Bắt đầu ởÝ thời Phục hưng vào thế kỷ 15, những phát triển toán học mới, tương tác với những khám phá khoa học mới, đã được thực hiện với tốc độ ngày càng tăng và tiếp tục cho đến ngày nay.Điều này bao gồm công trình mang tính đột phá của cả Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz trong việc phát triển phép tính vi phân trong suốt thế kỷ 17.
HistoryMaps Shop

Thăm cửa hàng

Toán học Ai Cập cổ đại
Đơn vị đo lường cubit của Ai Cập ©HistoryMaps
3000 BCE Jan 1 - 300 BCE

Toán học Ai Cập cổ đại

Egypt
Toán họcAi Cập cổ đại được phát triển và sử dụng ở Ai Cập cổ đại c.3000 đến c.300 BCE, từ Vương quốc Ai Cập cổ cho đến thời kỳ đầu của Ai Cập Hy Lạp hóa.Người Ai Cập cổ đại đã sử dụng hệ thống số để đếm và giải các bài toán viết, thường liên quan đến phép nhân và phân số.Bằng chứng về toán học Ai Cập chỉ giới hạn ở số lượng hiếm hoi các nguồn còn sót lại được viết trên giấy cói.Từ những văn bản này, người ta biết rằng người Ai Cập cổ đại đã hiểu các khái niệm về hình học, chẳng hạn như xác định diện tích bề mặt và thể tích của các hình ba chiều hữu ích cho kỹ thuật kiến ​​trúc và đại số, chẳng hạn như phương pháp vị trí sai và phương trình bậc hai.Bằng chứng bằng văn bản về việc sử dụng toán học có niên đại ít nhất là 3200 năm trước Công nguyên với các nhãn ngà voi được tìm thấy trong Lăng mộ Uj ở Abydos.Những nhãn này dường như đã được sử dụng làm thẻ cho hàng hóa mộ và một số được khắc số.[18] Bằng chứng sâu hơn về việc sử dụng hệ thống số cơ sở 10 có thể được tìm thấy trên Đầu chùy Narmer, mô tả lễ vật gồm 400.000 con bò, 1.422.000 con dê và 120.000 tù nhân.[19] Bằng chứng khảo cổ học cho thấy hệ thống đếm của người Ai Cập cổ đại có nguồn gốc từ châu Phi cận Sahara.[20] Ngoài ra, các thiết kế hình học fractal phổ biến trong các nền văn hóa châu Phi cận Sahara cũng được tìm thấy trong kiến ​​trúc Ai Cập và các dấu hiệu vũ trụ.[20]Các tài liệu toán học thực sự sớm nhất có niên đại từ Vương triều thứ 12 (khoảng 1990–1800 TCN).Giấy cói toán học Moscow, Cuộn da toán học Ai Cập, Giấy cói toán học Lahun là một phần của bộ sưu tập lớn hơn nhiều về Giấy cói Kahun và Giấy cói Berlin 6619 đều có niên đại vào thời kỳ này.Giấy cói toán học Rhind có niên đại vào Thời kỳ Chuyển tiếp thứ hai (khoảng năm 1650 trước Công nguyên) được cho là dựa trên một văn bản toán học cũ hơn từ vương triều thứ 12.[22]
▲
●
Toán học Sumer
Sumer cổ đại ©Anonymous
3000 BCE Jan 1 - 2000 BCE

Toán học Sumer

Iraq
Người Sumer cổ đại ở Lưỡng Hà đã phát triển một hệ thống đo lường phức tạp từ năm 3000 trước Công nguyên.Từ năm 2600 TCN trở đi, người Sumer đã viết bảng cửu chương trên bảng đất sét và giải các bài tập hình học cũng như các bài toán chia.Dấu vết sớm nhất của chữ số Babylon cũng có từ thời kỳ này.[9]
▲
●
bàn tính
Julius Caesar khi còn là một cậu bé, học cách đếm bằng bàn tính. ©Peter Jackson
2700 BCE Jan 1 - 2300 BCE

bàn tính

Mesopotamia, Iraq
Bàn tính (bàn tính số nhiều hoặc bàn tính), còn được gọi là khung đếm, là một công cụ tính toán đã được sử dụng từ thời cổ đại.Nó được sử dụng ở vùng Cận Đông, Châu Âu,Trung Quốc và Nga cổ đại, hàng thiên niên kỷ trước khi hệ thống chữ số Hindu-Ả Rập được áp dụng.[127] Nguồn gốc chính xác của bàn tính vẫn chưa được xác định.Nó bao gồm các hàng hạt có thể di chuyển được hoặc các vật thể tương tự, xâu chuỗi trên một sợi dây.Chúng đại diện cho các chữ số.Một trong hai số được thiết lập và các hạt được thao tác để thực hiện một thao tác như phép cộng hoặc thậm chí là căn bậc hai hoặc bậc ba.Bàn tính Sumer xuất hiện vào khoảng năm 2700 đến 2300 trước Công nguyên.Nó chứa một bảng gồm các cột liên tiếp phân định các bậc độ lớn liên tiếp của hệ thống số lục thập phân (cơ sở 60).[128]
▲
●
Toán học Babylon cổ đại
Lưỡng Hà cổ đại ©Anonymous
2000 BCE Jan 1 - 1600 BCE

Toán học Babylon cổ đại

Babylon, Iraq
Toán học Babylon được viết bằng hệ thống số lục thập phân (cơ số 60).[12] Từ đó dẫn đến cách sử dụng hiện đại là 60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6) độ trong một vòng tròn, cũng như việc sử dụng giây và phút của cung để biểu thị phân số. của một mức độ.Có khả năng hệ thập lục phân được chọn vì 60 có thể được chia đều cho 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 và 30. [12] Ngoài ra, không giống nhưngười Ai Cập , Hy Lạp và La Mã, Người Babylon có hệ thống giá trị theo vị trí, trong đó các chữ số được viết ở cột bên trái biểu thị các giá trị lớn hơn, giống như trong hệ thập phân.[13] Sức mạnh của hệ thống ký hiệu Babylon nằm ở chỗ nó có thể được sử dụng để biểu diễn phân số dễ dàng như số nguyên;do đó nhân hai số chứa phân số không khác gì nhân các số nguyên, tương tự như ký hiệu hiện đại.[13] Hệ thống ký hiệu của người Babylon là hệ thống tốt nhất trong bất kỳ nền văn minh nào cho đến thời Phục hưng, [14] và sức mạnh của nó cho phép nó đạt được độ chính xác tính toán vượt trội;ví dụ: tấm bảng Babylon YBC 7289 cho kết quả xấp xỉ √2 chính xác đến năm chữ số thập phân.[14] Tuy nhiên, người Babylon thiếu dấu thập phân tương đương và do đó giá trị vị trí của một ký hiệu thường phải được suy ra từ ngữ cảnh.[13] Đến thời kỳ Seleucid , người Babylon đã phát triển ký hiệu số 0 làm vật giữ chỗ cho các vị trí trống;tuy nhiên nó chỉ được sử dụng cho các vị trí trung gian.[13] Ký hiệu số 0 này không xuất hiện ở các vị trí cuối cùng, do đó người Babylon đã tiến gần đến nhưng không phát triển được hệ thống giá trị vị trí thực sự.[13]Các chủ đề khác được đề cập trong toán học Babylon bao gồm phân số, đại số, phương trình bậc hai và bậc ba, cách tính các số thông thường và các cặp nghịch đảo của chúng.[15] Các máy tính bảng này còn bao gồm các bảng nhân và phương pháp giải các phương trình tuyến tính, bậc hai và phương trình bậc ba, một thành tựu đáng chú ý vào thời điểm đó.[16] Các tấm bảng từ thời Babylon cổ cũng chứa đựng tuyên bố sớm nhất được biết đến về định lý Pythagore.[17] Tuy nhiên, giống như toán học Ai Cập, toán học Babylon cho thấy không nhận thức được sự khác biệt giữa lời giải chính xác và lời giải gần đúng, hoặc khả năng giải được một bài toán, và quan trọng nhất là không có tuyên bố rõ ràng nào về sự cần thiết phải chứng minh hoặc nguyên tắc logic.[13]Họ cũng sử dụng một dạng phân tích Fourier để tính toán lịch thiên văn (bảng vị trí thiên văn), được phát hiện vào những năm 1950 bởi Otto Neugebauer.[11] Để tính toán chuyển động của các thiên thể, người Babylon đã sử dụng số học cơ bản và hệ tọa độ dựa trên hoàng đạo, phần bầu trời mà mặt trời và các hành tinh đi qua.
▲
●
Định lý Thales
©Gabriel Nagypal
600 BCE Jan 1

Định lý Thales

Babylon, Iraq
Toán học Hy Lạp được cho là bắt đầu từ Thales xứ Miletus (khoảng 624–548 TCN).Người ta biết rất ít về cuộc đời của ông, mặc dù người ta thường đồng ý rằng ông là một trong Bảy nhà thông thái của Hy Lạp.Theo Proclus, ông đã đến Babylon để học toán và các môn học khác, từ đó ông đã chứng minh được cái mà ngày nay được gọi là Định lý Thales.[23]Thales đã sử dụng hình học để giải các bài toán như tính chiều cao của kim tự tháp và khoảng cách từ tàu tới bờ.Ông được ghi nhận là người đầu tiên sử dụng lý luận suy diễn áp dụng cho hình học, bằng cách suy ra bốn hệ quả của Định lý Thales.Kết quả là ông được ca ngợi là nhà toán học đích thực đầu tiên và là cá nhân đầu tiên được biết đến có một khám phá toán học.[30]
▲
●
Pythagoras
Chi tiết về Pythagoras với một bảng tỷ lệ, từ Trường học Athens của Raphael.Cung điện Vatican, Rome, 1509. ©Raphael Santi
580 BCE Jan 1

Pythagoras

Samos, Greece
Một nhân vật bí ẩn không kém là Pythagoras xứ Samos (khoảng 580–500 BCE), người được cho là đã đến thămAi Cập và Babylon , [24] và cuối cùng định cư ở Croton, Magna Graecia, nơi ông bắt đầu hình thành tình anh em.Những người theo Pythagore được cho là tin rằng "tất cả đều là số" và rất quan tâm đến việc tìm kiếm các mối quan hệ toán học giữa các con số và sự vật.[25] Bản thân Pythagoras đã được ghi nhận vì nhiều khám phá sau này, bao gồm cả việc xây dựng năm khối rắn thông thường.Gần một nửa tài liệu trong Cơ sở của Euclid thường được cho là của Pythagore, bao gồm cả việc khám phá ra các số vô tỷ, được cho là của Hippasus (khoảng 530–450 BCE) và Theodorus (khoảng 450 BCE).[26] Chính những người theo trường phái Pythagore đã đặt ra thuật ngữ "toán học" và là người bắt đầu nghiên cứu toán học vì chính nó.Tuy nhiên, nhà toán học vĩ đại nhất liên kết với nhóm này có thể là Archytas (khoảng 435-360 TCN), người đã giải được bài toán nhân đôi khối lập phương, xác định giá trị trung bình điều hòa và có thể đóng góp cho quang học và cơ học.[26] Các nhà toán học khác hoạt động trong thời kỳ này, không liên kết hoàn toàn với bất kỳ trường phái nào, bao gồm Hippocrates of Chios (c. 470–410 BCE), Theaetetus (c. 417–369 BCE), và Eudoxus (c. 408–355 BCE) .
▲
●
Khám phá số vô tỷ
Bài thánh ca Mặt trời mọc của Pythagore. ©Fyodor Bronnikov
400 BCE Jan 1

Khám phá số vô tỷ

Metapontum, Province of Matera
Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của số vô tỉ thường được cho là của một môn đồ Pythagore (có thể là Hippasus của Metapontum), [39] người có lẽ đã phát hiện ra chúng khi xác định các cạnh của ngôi sao năm cánh.[40] Phương pháp Pythagore hiện hành lúc bấy giờ có thể khẳng định rằng phải có một số đơn vị đủ nhỏ, không thể phân chia được có thể vừa khít với một trong những độ dài này cũng như độ dài kia.Tuy nhiên, Hippasus, vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, đã có thể suy luận rằng trên thực tế không có đơn vị đo lường chung nào và rằng khẳng định về sự tồn tại như vậy trên thực tế là mâu thuẫn.Các nhà toán học Hy Lạp gọi tỷ lệ này là những đại lượng không thể đo được là alogos, hay không thể diễn tả được.Tuy nhiên, Hippasus không được ca ngợi vì những nỗ lực của mình: theo một truyền thuyết, ông đã khám phá ra khi đang ở ngoài biển, và sau đó bị những người theo trường phái Pythagoras ném xuống biển 'vì đã tạo ra một nguyên tố trong vũ trụ phủ nhận... học thuyết rằng mọi hiện tượng trong vũ trụ đều có thể quy về các số nguyên và tỷ lệ của chúng.'[41] Bất kể hậu quả đối với bản thân Hippasus là gì, khám phá của ông đã đặt ra một vấn đề rất nghiêm trọng đối với toán học Pythagore, vì nó phá vỡ giả định rằng số và hình học là không thể tách rời – nền tảng của lý thuyết của họ.
▲
●
Platon
Tranh khảm Học viện của Plato – từ Biệt thự của T. Siminius Stephanus ở Pompeii. ©Anonymous
387 BCE Jan 1

Platon

Athens, Greece
Plato đóng vai trò quan trọng trong lịch sử toán học vì đã truyền cảm hứng và hướng dẫn người khác.[31] Học viện Platonic của ông, ở Athens, đã trở thành trung tâm toán học của thế giới vào thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên, và chính từ ngôi trường này đã sản sinh ra các nhà toán học hàng đầu thời đó, chẳng hạn như Eudoxus của Cnidus.[32] Plato cũng thảo luận về nền tảng của toán học, [33] làm rõ một số định nghĩa (ví dụ: định nghĩa về một đường thẳng là "chiều dài không có chiều rộng"), và sắp xếp lại các giả định.[34] Phương pháp giải tích được gán cho Plato, trong khi công thức tính bộ ba Pythagore mang tên ông.[32]
▲
●
hình học trung quốc
©HistoryMaps
330 BCE Jan 1

hình học trung quốc

China
Công trình lâu đời nhất về hình học ởTrung Quốc xuất phát từ kinh điển triết học Mohist c.330 TCN, được biên soạn bởi những người theo Mặc Tử (470–390 TCN).Mặc Kinh mô tả nhiều khía cạnh khác nhau của nhiều lĩnh vực liên quan đến khoa học vật lý và cũng cung cấp một số ít định lý hình học.[77] Nó cũng định nghĩa các khái niệm về chu vi, đường kính, bán kính và thể tích.[78]
▲
●
Hệ thống thập phân của Trung Quốc
©Anonymous
305 BCE Jan 1

Hệ thống thập phân của Trung Quốc

Hunan, China
Phiếu tre Thanh Hoa, chứa bảng nhân thập phân sớm nhất được biết đến (mặc dù người Babylon cổ đại có bảng có cơ số 60), có niên đại khoảng năm 305 trước Công nguyên và có lẽ là văn bản toán học lâu đời nhất còn tồn tại củaTrung Quốc .[68] Đặc biệt lưu ý là việc sử dụng hệ thống ký hiệu vị trí thập phân trong toán học Trung Quốc, cái gọi là "chữ số thanh" trong đó các mật mã riêng biệt được sử dụng cho các số từ 1 đến 10, và các mật mã bổ sung cho lũy thừa mười.[69] Do đó, số 123 sẽ được viết bằng ký hiệu "1", tiếp theo là ký hiệu "100", sau đó là ký hiệu "2", tiếp theo là ký hiệu "10", tiếp theo là ký hiệu " 3".Đây là hệ thống số tiên tiến nhất trên thế giới vào thời điểm đó, dường như đã được sử dụng vài thế kỷ trước Công nguyên và trước sự phát triển của hệ thống chữ sốẤn Độ .[76] Chữ số dạng que cho phép biểu diễn các số lớn như mong muốn và cho phép thực hiện các phép tính trên bàn tính Trung Quốc.Người ta cho rằng các quan chức đã sử dụng bảng cửu chương để tính diện tích bề mặt đất, sản lượng cây trồng và số thuế phải nộp.[68]
▲
●
Toán học Hy Lạp cổ đại
©Aleksandr Svedomskiy
300 BCE Jan 1

Toán học Hy Lạp cổ đại

Greece
Thời kỳ Hy Lạp hóa bắt đầu vào cuối thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên, sau cuộc chinh phục của Alexander Đại đế ở Đông Địa Trung Hải,Ai Cập , Lưỡng Hà , cao nguyên Iran , Trung Á và một phầnẤn Độ , dẫn đến sự truyền bá ngôn ngữ và văn hóa Hy Lạp khắp các khu vực này. .Tiếng Hy Lạp đã trở thành ngôn ngữ chung của giới học thuật trên khắp thế giới Hy Lạp hóa, và toán học thời kỳ Cổ điển đã hợp nhất với toán học Ai Cập và Babylon để tạo ra toán học Hy Lạp hóa.[27]Toán học và thiên văn học Hy Lạp đạt đến đỉnh cao trong thời kỳ Hy Lạp hóa và đầu La Mã, và phần lớn công trình được đại diện bởi các tác giả như Euclid (khoảng 300 TCN), Archimedes (khoảng 287–212 TCN), Apollonius (khoảng 240–190 TCN). TCN), Hipparchus (khoảng 190–120 TCN) và Ptolemy (khoảng 100–170 CN) ở trình độ rất cao và hiếm khi thành thạo bên ngoài một vòng tròn nhỏ.Một số trung tâm học tập xuất hiện trong thời kỳ Hy Lạp hóa, trong đó quan trọng nhất là Mouseion ở Alexandria, Ai Cập, nơi thu hút các học giả từ khắp thế giới Hy Lạp hóa (hầu hết là người Hy Lạp, nhưng cũng có người Ai Cập, Do Thái, Ba Tư, cùng nhiều quốc gia khác).[28] Mặc dù có số lượng ít nhưng các nhà toán học Hy Lạp đã tích cực liên lạc với nhau;việc xuất bản bao gồm việc chuyển và sao chép tác phẩm của ai đó giữa các đồng nghiệp.[29]
▲
●
Euclid
Chi tiết ấn tượng của Raphael về Euclid, dạy học sinh ở Trường Athens (1509–1511) ©Raffaello Santi
300 BCE Jan 1

Euclid

Alexandria, Egypt
Vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, trung tâm giáo dục và nghiên cứu toán học hàng đầu là Bảo tàng Alexandria.[36] Chính tại đó, Euclid (khoảng năm 300 trước Công nguyên) đã giảng dạy và viết cuốn Cơ bản, được nhiều người coi là cuốn sách giáo khoa thành công và có ảnh hưởng nhất mọi thời đại.[35]Được coi là "cha đẻ của hình học", Euclid chủ yếu được biết đến với chuyên luận Cơ bản, trong đó thiết lập nền tảng của hình học đã thống trị lĩnh vực này cho đến đầu thế kỷ 19.Hệ thống của ông, hiện được gọi là hình học Euclide, bao gồm những cải tiến mới kết hợp với sự tổng hợp các lý thuyết từ các nhà toán học Hy Lạp trước đó, bao gồm Eudoxus của Cnidus, Hippocrates của Chios, Thales và Theaetetus.Cùng với Archimedes và Apollonius xứ Perga, Euclid thường được coi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thời cổ đại và là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng nhất trong lịch sử toán học.Cuốn Elements giới thiệu tính chính xác của toán học thông qua phương pháp tiên đề và là ví dụ sớm nhất về định dạng vẫn được sử dụng trong toán học ngày nay, đó là định nghĩa, tiên đề, định lý và chứng minh.Mặc dù hầu hết nội dung của Cơ bản đều đã được biết đến nhưng Euclid đã sắp xếp chúng thành một khuôn khổ logic mạch lạc, duy nhất.[37] Ngoài các định lý quen thuộc của hình học Euclide, Elements còn được dùng làm sách giáo khoa giới thiệu cho tất cả các môn toán vào thời đó, chẳng hạn như lý thuyết số, đại số và hình học khối, [37] bao gồm các chứng minh rằng căn bậc hai của hai là vô tỉ và có vô số số nguyên tố.Euclid cũng viết nhiều về các chủ đề khác, chẳng hạn như mặt cắt hình nón, quang học, hình học cầu và cơ học, nhưng chỉ một nửa số tác phẩm của ông còn tồn tại.[38]Thuật toán Euclide là một trong những thuật toán lâu đời nhất được sử dụng phổ biến.[93] Nó xuất hiện trong cuốn Cơ bản của Euclid (khoảng năm 300 TCN), cụ thể là trong Quyển 7 (Định đề 1–2) và Quyển 10 (Định đề 2–3).Trong Quyển 7, thuật toán được xây dựng cho các số nguyên, trong khi ở Quyển 10, thuật toán được xây dựng cho độ dài của các đoạn thẳng.Nhiều thế kỷ sau, thuật toán Euclid được phát hiện độc lập ở cả Ấn Độ và Trung Quốc, [94] chủ yếu để giải các phương trình Diophantine nảy sinh trong thiên văn học và tạo ra các lịch chính xác.
▲
●
Archimedes
©Anonymous
287 BCE Jan 1

Archimedes

Syracuse, Free municipal conso
Archimedes of Syracuse được coi là một trong những nhà khoa học hàng đầu về thời cổ đại.Được coi là nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử cổ đại, và là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, [42] Archimedes đã dự đoán phép tính và giải tích hiện đại bằng cách áp dụng khái niệm về cái vô cùng nhỏ và phương pháp vét cạn để rút ra và chứng minh một cách chặt chẽ một loạt các định lý hình học.[43] Chúng bao gồm diện tích hình tròn, diện tích bề mặt và thể tích của hình cầu, diện tích hình elip, diện tích bên dưới hình parabol, thể tích của một đoạn paraboloid xoay, thể tích của một đoạn của một hyperboloid của cuộc cách mạng, và khu vực của một hình xoắn ốc.[44]Các thành tựu toán học khác của Archimedes bao gồm tính gần đúng số pi, định nghĩa và nghiên cứu đường xoắn ốc Archimedes, và phát minh ra một hệ thống sử dụng phép lũy thừa để biểu diễn các số rất lớn.Ông cũng là một trong những người đầu tiên áp dụng toán học vào các hiện tượng vật lý, nghiên cứu về tĩnh học và thủy tĩnh học.Những thành tựu của Archimedes trong lĩnh vực này bao gồm bằng chứng về định luật đòn bẩy, [45] việc sử dụng rộng rãi khái niệm trọng tâm, [46] và sự phát biểu của định luật nổi hoặc nguyên lý Archimedes.Archimedes chết trong cuộcbao vây Syracuse , khi ông bị giết bởi một người lính La Mã bất chấp mệnh lệnh không được làm hại ông.
▲
●
Dụ ngôn của Apollonius
©Domenico Fetti
262 BCE Jan 1

Dụ ngôn của Apollonius

Aksu/Antalya, Türkiye
Apollonius của Perga (khoảng 262–190 TCN) đã có những tiến bộ đáng kể trong việc nghiên cứu các mặt cắt hình nón, cho thấy rằng người ta có thể thu được cả ba dạng mặt cắt hình nón bằng cách thay đổi góc của mặt phẳng cắt một hình nón có hai cạnh.[47] Ông cũng đặt ra thuật ngữ được sử dụng ngày nay cho các đường conic, cụ thể là parabola ("vị trí bên cạnh" hoặc "so sánh"), "hình elip" ("thiếu sót") và "hyperbola" ("vượt quá").[48] ​​Công trình Conic của ông là một trong những công trình toán học nổi tiếng và được bảo tồn tốt nhất từ ​​thời cổ đại, và trong đó ông rút ra nhiều định lý liên quan đến đường cô-nic mà sẽ chứng tỏ là vô giá đối với các nhà toán học và thiên văn học sau này nghiên cứu chuyển động hành tinh, chẳng hạn như Isaac Newton.[49] Trong khi cả Apollonius lẫn bất kỳ nhà toán học Hy Lạp nào khác đều không thực hiện được bước nhảy vọt trong lĩnh vực hình học tọa độ, cách xử lý các đường cong của Apollonius về mặt nào đó tương tự như cách xử lý hiện đại, và một số công trình của ông dường như dự đoán sự phát triển của hình học giải tích của Descartes vào khoảng năm 1800. Nhiều năm sau.[50]
▲
●
Chín chương về nghệ thuật toán học
©Luo Genxing
200 BCE Jan 1

Chín chương về nghệ thuật toán học

China
Vào năm 212 trước Công nguyên, Hoàng đế Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách ở Đế quốc Tần , ngoại trừ những cuốn sách được chính thức phê chuẩn.Sắc lệnh này không được mọi người tuân theo, nhưng do hậu quả của mệnh lệnh này, người ta biết rất ít về toán họcTrung Quốc cổ đại trước thời điểm này.Sau vụ đốt sách vào năm 212 TCN, triều đại nhà Hán (202 TCN–220 CN) đã tạo ra các công trình toán học có lẽ đã được mở rộng trên các công trình hiện đã bị thất lạc.Sau vụ đốt sách vào năm 212 TCN, triều đại nhà Hán (202 TCN–220 CN) đã tạo ra các công trình toán học có lẽ đã được mở rộng trên các công trình hiện đã bị thất lạc.Điều quan trọng nhất trong số này là Chín chương về nghệ thuật toán học, tựa đầy đủ của nó xuất hiện vào năm 179 CN, nhưng một phần đã tồn tại trước đó dưới những tựa khác.Nó bao gồm 246 bài toán đố liên quan đến nông nghiệp, kinh doanh, sử dụng hình học để tính chiều cao và tỷ lệ kích thước của các tháp chùa, kỹ thuật, khảo sát của Trung Quốc và bao gồm tài liệu về các hình tam giác vuông.[79] Nó tạo ra bằng chứng toán học cho định lý Pythagore, [81] và một công thức toán học để loại bỏ Gaussian.[80] Chuyên luận này cũng cung cấp các giá trị của π, [79] mà các nhà toán học Trung Quốc ban đầu ước tính gần đúng là 3 cho đến khi Liu Xin (mất năm 23 CN) đưa ra con số 3,1457 và sau đó Zhang Heng (78–139) xấp xỉ pi là 3,1724, [ 82] cũng như 3.162 bằng cách lấy căn bậc hai của 10. [83]Số âm xuất hiện lần đầu tiên trong lịch sử trong Cửu Chương Nghệ thuật Toán học nhưng có thể chứa nhiều tài liệu cũ hơn nhiều.[84] Nhà toán học Liu Hui (khoảng thế kỷ thứ 3) đã thiết lập các quy tắc cộng và trừ các số âm.
▲
●
Hipparchus & lượng giác
“Hipparchus trong đài quan sát của Alexandria.”Lịch sử thế giới của Ridpath.1894. ©John Clark Ridpath
190 BCE Jan 1

Hipparchus & lượng giác

İznik, Bursa, Türkiye
Thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên thường được coi là "Thời kỳ hoàng kim" của toán học Hy Lạp, với những tiến bộ trong toán học thuần túy từ đó trở đi tương đối suy giảm.[51] Tuy nhiên, trong những thế kỷ tiếp theo, những tiến bộ đáng kể đã được thực hiện trong toán học ứng dụng, đáng chú ý nhất là lượng giác, phần lớn nhằm đáp ứng nhu cầu của các nhà thiên văn học.[51] Hipparchus xứ Nicaea (khoảng 190–120 TCN) được coi là người sáng lập ra lượng giác để biên soạn bảng lượng giác đầu tiên được biết đến, và đối với ông cũng là do việc sử dụng vòng tròn 360 độ một cách có hệ thống.[52]
▲
●
Almagest của Ptolemy
©Anonymous
100 Jan 1

Almagest của Ptolemy

Alexandria, Egypt
Vào thế kỷ thứ 2 CN, nhà thiên văn học Hy Lạp-Ai Cập Ptolemy (đến từ Alexandria, Ai Cập) đã xây dựng các bảng lượng giác chi tiết (bảng hợp âm của Ptolemy) trong Quyển 1, chương 11 cuốn Almagest của ông.Ptolemy đã sử dụng độ dài dây cung để xác định các hàm lượng giác của mình, một khác biệt nhỏ so với quy ước sin mà chúng ta sử dụng ngày nay.Nhiều thế kỷ trôi qua trước khi các bảng chi tiết hơn được tạo ra, và luận thuyết của Ptolemy vẫn được sử dụng để thực hiện các phép tính lượng giác trong thiên văn học trong suốt 1200 năm tiếp theo ở các thế giới Byzantine, Hồi giáo và Tây Âu thời trung cổ.Ptolemy cũng được ghi nhận là người có định lý Ptolemy trong việc tìm ra các đại lượng lượng giác và giá trị chính xác nhất của số π bên ngoài Trung Quốc cho đến thời kỳ trung cổ, 3.1416.[63]
▲
●
Định lý phần dư của Trung Quốc
©张文新
200 Jan 1

Định lý phần dư của Trung Quốc

China
Trong toán học, định lý phần dư của Trung Quốc phát biểu rằng nếu biết số dư của phép chia Euclidean của một số nguyên n cho một số số nguyên, thì người ta có thể xác định duy nhất phần còn lại của phép chia n cho tích của các số nguyên này, với điều kiện là các ước số là nguyên tố cùng nhau theo cặp (không có hai ước số nào chia sẻ một thừa số chung khác 1).Phát biểu sớm nhất được biết đến của định lý là của nhà toán học Trung Quốc Sun-tzu trong Sun-tzu Suan-ching vào thế kỷ thứ 3 CN.
▲
●
Phân tích Diophantine
©Tom Lovell
200 Jan 1

Phân tích Diophantine

Alexandria, Egypt
Sau một thời kỳ trì trệ sau Ptolemy, khoảng thời gian giữa năm 250 và 350 CN đôi khi được gọi là "Thời kỳ Bạc" của toán học Hy Lạp.[53] Trong thời gian này, Diophantus đã có những tiến bộ đáng kể trong đại số, đặc biệt là giải tích vô định, còn được gọi là "phân tích Diophantine".[54] Việc nghiên cứu các phương trình Diophantine và các phép tính gần đúng Diophantine là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng cho đến ngày nay.Tác phẩm chính của ông là Arithmetica, một tập hợp gồm 150 bài toán đại số giải quyết các nghiệm chính xác cho các phương trình xác định và không xác định.[55] Arithmetica có ảnh hưởng đáng kể đến các nhà toán học sau này, chẳng hạn như Pierre de Fermat, người đã đi đến Định lý cuối cùng nổi tiếng của mình sau khi cố gắng khái quát hóa một vấn đề mà ông đã đọc trong Arithmetica (vấn đề chia một hình vuông thành hai hình vuông).[56] Diophantus cũng có những tiến bộ đáng kể trong ký hiệu, Arithmetica là ví dụ đầu tiên về ký hiệu đại số và đảo lộn.[55]
▲
●
Câu chuyện về số không
©HistoryMaps
224 Jan 1

Câu chuyện về số không

India
Chữ sốAi Cập cổ đại có cơ số 10. Họ sử dụng chữ tượng hình cho các chữ số và không có vị trí.Vào giữa thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên, toán học Babylon đã có hệ thống chữ số vị trí cơ số 60 phức tạp.Việc thiếu giá trị vị trí (hoặc số 0) được biểu thị bằng khoảng cách giữa các chữ số thập lục phân.Lịch Đếm dài Mesoamerican được phát triển ở trung nam Mexico và Trung Mỹ yêu cầu sử dụng số 0 làm phần giữ chỗ trong hệ thống chữ số vị trí vigesimal (cơ số 20).Khái niệm số 0 là chữ số được viết theo ký hiệu giá trị vị trí thập phân được phát triển ở Ấn Độ.[65] Ký hiệu cho số 0, một dấu chấm lớn có thể là tiền thân của ký hiệu rỗng vẫn còn tồn tại, được sử dụng xuyên suốt bản thảo Bakhshali, một cẩm nang thực hành về số học dành cho thương nhân.[66] Vào năm 2017, ba mẫu từ bản thảo đã được xác định niên đại bằng carbon phóng xạ có niên đại từ ba thế kỷ khác nhau: từ CE 224–383, CE 680–779 và CE 885–993, khiến nó trở thành mẫu sử dụng số 0 lâu đời nhất được ghi nhận ở Nam Á. biểu tượng.Người ta không biết làm thế nào mà những mảnh vỏ cây bạch dương từ các thế kỷ khác nhau tạo thành bản thảo lại được đóng gói lại với nhau.[67] Các quy tắc quản lý việc sử dụng số 0 xuất hiện trong Brahmasputha Siddhanta của Brahmagupta (thế kỷ thứ 7), trong đó nêu rõ tổng của số 0 với chính nó bằng 0 và chia không chính xác cho số 0 là:Số dương hoặc số âm khi chia cho 0 là một phân số có mẫu số là 0.Số 0 chia cho số âm hoặc số dương sẽ bằng 0 hoặc được biểu thị dưới dạng phân số có tử số bằng 0 và số hữu hạn là mẫu số.Số 0 chia cho số 0 bằng không.
▲
●
Hypatia
©Julius Kronberg
350 Jan 1

Hypatia

Alexandria, Egypt
Nhà toán học nữ đầu tiên được lịch sử ghi nhận là Hypatia xứ Alexandria (350–415 CN).Bà đã viết nhiều công trình về toán học ứng dụng.Vì một tranh chấp chính trị, cộng đồng Thiên chúa giáo ở Alexandria đã công khai lột quần áo cô và xử tử.Cái chết của bà đôi khi được coi là sự kết thúc kỷ nguyên của toán học Hy Lạp Alexandria, mặc dù công việc vẫn tiếp tục ở Athens trong một thế kỷ khác với những nhân vật như Proclus, Simplicius và Eutocius.[57] Mặc dù Proclus và Simplicius là những triết gia hơn là các nhà toán học, nhưng những bình luận của họ về các tác phẩm trước đó là những nguồn có giá trị về toán học Hy Lạp.Việc đóng cửa Học viện Platonic mới của Athens bởi hoàng đế Justinian vào năm 529 CN theo truyền thống được coi là đánh dấu sự kết thúc của kỷ nguyên toán học Hy Lạp, mặc dù truyền thống Hy Lạp vẫn tiếp tục không bị gián đoạn ở đế chế Byzantine với các nhà toán học như Anthemius of Tralles và Isidore của Miletus, kiến ​​trúc sư của Hagia Sophia.[58] Tuy nhiên, toán học Byzantine chủ yếu bao gồm các bài bình luận, với rất ít sự đổi mới, và các trung tâm đổi mới toán học đã được tìm thấy ở nơi khác vào thời điểm này.[59]
▲
●
Play button
505 Jan 1

lượng giác Ấn Độ

Patna, Bihar, India
Quy ước sin hiện đại lần đầu tiên được chứng thực trong Surya Siddhanta (cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ của văn hóa Hy Lạp) [64] , và các tính chất của nó đã được nhà toán học và thiên văn học Ấn Độ Aryabhata vào thế kỷ thứ 5 (CE) ghi lại.[60] Surya Siddhanta mô tả các quy tắc để tính toán chuyển động của các hành tinh và mặt trăng khác nhau so với các chòm sao khác nhau, đường kính của các hành tinh khác nhau và tính toán quỹ đạo của các thiên thể khác nhau.Văn bản này được biết đến với một số thảo luận được biết đến sớm nhất về phân số lục thập phân và hàm lượng giác.[61]
▲
●
Play button
510 Jan 1

Hệ thống thập phân của Ấn Độ

India
Khoảng năm 500 CN, Aryabhata viết Aryabhatiya, một cuốn sách mỏng, viết bằng thơ, nhằm mục đích bổ sung các quy tắc tính toán được sử dụng trong thiên văn học và đo lường toán học.[62] Mặc dù khoảng một nửa số mục nhập là sai, nhưng chính trong Aryabhatiya, hệ thống giá trị vị trí thập phân lần đầu tiên xuất hiện.
▲
●
Play button
780 Jan 1

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

Uzbekistan
Vào thế kỷ thứ 9, nhà toán học Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī đã viết một cuốn sách quan trọng về các chữ số Hindu-Ả Rập và một cuốn sách về các phương pháp giải phương trình.Cuốn sách của ông Về phép tính với các chữ số Ấn Độ giáo, được viết vào khoảng năm 825, cùng với công trình của Al-Kindi, là công cụ truyền bá toán học Ấn Độ và các chữ số Ấn Độ sang phương Tây.Thuật toán từ có nguồn gốc từ việc Latinh hóa tên của ông, Algoritmi, và từ đại số từ tiêu đề của một trong những tác phẩm của ông, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala (Cuốn sách tổng hợp về tính toán bằng Hoàn thành và Cân bằng).Ông đã đưa ra lời giải thích thấu đáo cho nghiệm đại số của phương trình bậc hai với nghiệm dương, [87] và ông là người đầu tiên dạy đại số ở dạng cơ bản và vì lợi ích của chính nó.[88] Ông cũng thảo luận về phương pháp cơ bản của "rút gọn" và "cân bằng", đề cập đến việc hoán vị các số hạng bị trừ sang vế bên kia của một phương trình, nghĩa là, việc loại bỏ các số hạng giống nhau ở các vế đối của phương trình.Đây là hoạt động mà al-Khwārizmī ban đầu được mô tả là al-jabr.[89] Môn đại số của ông cũng không còn liên quan đến "một loạt các bài toán cần giải quyết, mà là một sự giải thích bắt đầu bằng các thuật ngữ nguyên thủy, trong đó các tổ hợp phải đưa ra tất cả các nguyên mẫu khả dĩ cho các phương trình, từ đó trở đi cấu thành rõ ràng đối tượng nghiên cứu thực sự. "Ông cũng nghiên cứu một phương trình vì lợi ích của chính nó và "theo một cách chung chung, trong chừng mực nó không chỉ đơn giản xuất hiện trong quá trình giải một bài toán, mà được đặc biệt kêu gọi để xác định một loại bài toán vô hạn."[90]
▲
●
Abu Kamil
©Davood Diba
850 Jan 1

Abu Kamil

Egypt
Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam ibn Muḥammad Ibn Shujāʿ là một nhà toán học nổi tiếngngười Ai Cập trong Thời đại hoàng kim Hồi giáo.Ông được coi là nhà toán học đầu tiên sử dụng và chấp nhận một cách có hệ thống các số vô tỷ làm nghiệm và hệ số của phương trình.[91] Các kỹ thuật toán học của ông sau đó đã được Fibonacci áp dụng, do đó cho phép Abu Kamil đóng vai trò quan trọng trong việc giới thiệu đại số đến châu Âu.[92]
▲
●
Toán học Maya
©Louis S. Glanzman
900 Jan 1

Toán học Maya

Mexico
Ở châu Mỹ thời tiền Colombia, nền văn minh Maya phát triển mạnh mẽ ở Mexico và Trung Mỹ trong thiên niên kỷ thứ 1 CN đã phát triển một truyền thống toán học độc đáo, do sự cô lập về mặt địa lý, hoàn toàn độc lập với toán học châu Âu,Ai Cập và châu Á hiện có.[92] Các chữ số Maya sử dụng cơ số hai mươi, hệ vigesimal, thay vì cơ số mười tạo thành cơ sở của hệ thập phân được hầu hết các nền văn hóa hiện đại sử dụng.[92] Người Maya đã sử dụng toán học để tạo ra lịch Maya cũng như dự đoán các hiện tượng thiên văn trong thiên văn học Maya bản địa của họ.[92] Trong khi khái niệm số 0 phải được suy ra trong toán học của nhiều nền văn hóa đương đại, thì người Maya đã phát triển một ký hiệu tiêu chuẩn cho nó.[92]
▲
●
Al-Karaji
©Osman Hamdi Bey
953 Jan 1

Al-Karaji

Karaj, Alborz Province, Iran
Abū Bakr Muḥammad ibn al Ḥasan al-Karajī là một nhà toán học và kỹ sư người Ba Tư thế kỷ 10, người đã phát triển mạnh mẽ ở Baghdad.Anh sinh ra ở Karaj, một thành phố gần Tehran.Ba tác phẩm chính còn sót lại của ông là toán học: Al-Badi' fi'l-hisab (Tính toán tuyệt vời), Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala (Tuyệt vời về đại số), và Al-Kafi fi'l- hisab (Đủ tính toán).Al-Karaji viết về toán học và kỹ thuật.Một số người coi ông chỉ đơn thuần là làm lại ý tưởng của người khác (ông bị ảnh hưởng bởi Diophantus) nhưng hầu hết đều coi ông là người độc đáo hơn, đặc biệt là đối với sự khởi đầu của việc giải phóng đại số khỏi hình học.Trong số các nhà sử học, tác phẩm được nghiên cứu rộng rãi nhất của ông là cuốn sách đại số al-fakhri fi al-jabr wa al-muqabala, cuốn sách này vẫn tồn tại từ thời trung cổ với ít nhất bốn bản sao.Công trình của ông về đại số và đa thức đã đưa ra các quy tắc cho các phép tính số học để cộng, trừ và nhân các đa thức;mặc dù ông bị hạn chế trong việc chia đa thức cho đơn thức.
▲
●
đại số trung quốc
©Anonymous Chinese artist of the Song Dynasty
960 Jan 1 - 1279

đại số trung quốc

China
Đỉnh cao của toán họcTrung Quốc xảy ra vào thế kỷ 13 trong nửa sau triều đại nhà Tống (960–1279), với sự phát triển của đại số Trung Quốc.Văn bản quan trọng nhất trong thời kỳ đó là Tấm gương quý giá của tứ đại của Zhu Shijie (1249–1314), đề cập đến việc giải các phương trình đại số bậc cao đồng thời bằng phương pháp tương tự như phương pháp của Horner.[70] Chiếc gương quý cũng chứa một sơ đồ tam giác Pascal với các hệ số khai triển nhị thức thông qua lũy thừa tám, mặc dù cả hai đều xuất hiện trong các tác phẩm của Trung Quốc ngay từ năm 1100. [71] Người Trung Quốc cũng đã sử dụng sơ đồ tổ hợp phức tạp được gọi là sơ đồ tổ hợp phức tạp. hình vuông ma thuật và vòng tròn ma thuật, được mô tả từ thời cổ đại và được hoàn thiện bởi Yang Hui (CE 1238–1298).[71]Toán họcNhật Bản , toán họcHàn Quốc và toán học Việt Nam theo truyền thống được coi là bắt nguồn từ toán học Trung Quốc và thuộc về lĩnh vực văn hóa Đông Á dựa trên Nho giáo.[72] Toán học Hàn Quốc và Nhật Bản bị ảnh hưởng nặng nề bởi các công trình đại số được sản xuất dưới thời nhà Tống của Trung Quốc, trong khi toán học Việt Nam chịu ảnh hưởng nặng nề từ các công trình phổ biến của triều đại nhà Minh của Trung Quốc (1368–1644).[73] Ví dụ, mặc dù các chuyên luận toán học của Việt Nam được viết bằng chữ Hán hoặc chữ Nôm bản địa của Việt Nam, nhưng tất cả chúng đều tuân theo hình thức Trung Quốc là trình bày một tập hợp các bài toán có thuật toán để giải chúng, sau đó là các câu trả lời bằng số.[74] Toán học ở Việt Nam và Hàn Quốc hầu hết gắn liền với bộ máy tòa án chuyên nghiệp của các nhà toán học và thiên văn học, trong khi ở Nhật Bản nó phổ biến hơn ở các trường tư.[75]
▲
●
Chữ số Hindu-Ả Rập
các học giả ©Ludwig Deutsch
974 Jan 1

Chữ số Hindu-Ả Rập

Toledo, Spain
Người châu Âu biết đến chữ số Ả Rập vào khoảng thế kỷ thứ 10, mặc dù sự lan truyền của chúng là một quá trình dần dần.Hai thế kỷ sau, tại thành phố Béjaïa của Algérie, học giả người Ý Fibonacci lần đầu tiên bắt gặp những con số;công việc của anh ấy rất quan trọng trong việc làm cho chúng được biết đến trên khắp châu Âu.Thương mại châu Âu, sách và chủ nghĩa thực dân đã giúp phổ biến việc áp dụng các chữ số Ả Rập trên khắp thế giới.Các chữ số đã được sử dụng trên toàn thế giới vượt xa sự phổ biến đương đại của bảng chữ cái Latinh và đã trở nên phổ biến trong các hệ thống chữ viết nơi các hệ thống chữ số khác đã tồn tại trước đó, chẳng hạn như chữ số Trung Quốc và Nhật Bản.Những đề cập đầu tiên về các chữ số từ 1 đến 9 ở phương Tây được tìm thấy trong Codex Vigilanus năm 976, một bộ sưu tập minh họa các tài liệu lịch sử khác nhau bao gồm một giai đoạn từ thời cổ đại đến thế kỷ thứ 10 ở Hispania.[68]
▲
●
Leonardo Fibonacci
Chân dung người đàn ông Ý thời trung cổ ©Vittore Carpaccio
1202 Jan 1

Leonardo Fibonacci

Pisa, Italy
Vào thế kỷ 12, các học giả châu Âu đã đến Tây Ban Nha và Sicily để tìm kiếm các văn bản khoa học bằng tiếng Ả Rập, bao gồm Cuốn sách tổng hợp về tính toán bằng cách hoàn thành và cân bằng của al-Khwārizmī, được dịch sang tiếng Latinh bởi Robert of Chester, và toàn văn cuốn Cơ sở của Euclid, được dịch sang nhiều ngôn ngữ khác nhau. các phiên bản của Adelard of Bath, Herman of Carinthia và Gerard of Cremona.[95] Những nguồn này và những nguồn mới khác đã châm ngòi cho một sự đổi mới của toán học.Leonardo of Pisa, hiện được gọi là Fibonacci, đã tình cờ biết về các chữ số Hindu-Ả Rập trong một chuyến đi đến Béjaïa, Algérie ngày nay cùng với cha là thương gia của mình.(Châu Âu vẫn đang sử dụng các chữ số La Mã.) Ở đó, ông đã quan sát thấy một hệ thống số học (cụ thể là thuật toán) mà do ký hiệu vị trí của các chữ số Hindu-Ả Rập hiệu quả hơn nhiều và tạo điều kiện thuận lợi cho thương mại.Ông sớm nhận ra nhiều ưu điểm của hệ thống Hindu-Ả Rập, không giống như các chữ số La Mã được sử dụng vào thời điểm đó, cho phép tính toán dễ dàng bằng cách sử dụng hệ thống giá trị theo vị trí.Leonardo đã viết Liber Abaci vào năm 1202 (cập nhật năm 1254) giới thiệu kỹ thuật này đến châu Âu và bắt đầu một thời gian dài phổ biến nó.Cuốn sách cũng mang đến châu Âu cái mà ngày nay được gọi là dãy Fibonacci (được các nhà toán học Ấn Độ biết đến hàng trăm năm trước đó) [96] mà Fibonacci đã sử dụng như một ví dụ không mấy nổi bật.
▲
●
Chuỗi vô tận
©Veloso Salgado
1350 Jan 1

Chuỗi vô tận

Kerala, India
Nhà toán học Hy Lạp Archimedes đã đưa ra phép tính tổng đầu tiên được biết đến của một chuỗi vô hạn bằng một phương pháp vẫn được sử dụng trong lĩnh vực giải tích ngày nay.Ông đã sử dụng phương pháp vét cạn để tính diện tích dưới cung của một parabol có tổng là một chuỗi vô hạn, và đưa ra một xấp xỉ chính xác đáng kinh ngạc của π.[86] Trường phái Kerala đã có một số đóng góp cho lĩnh vực chuỗi vô hạn và giải tích.
▲
●
Lý thuyết xác suất
Jerome Cardano ©R. Cooper
1564 Jan 1

Lý thuyết xác suất

Europe
Lý thuyết toán học hiện đại về xác suất bắt nguồn từ nỗ lực phân tích các trò chơi may rủi của Gerolamo Cardano vào thế kỷ XVI, và bởi Pierre de Fermat và Blaise Pascal vào thế kỷ XVII (ví dụ như "bài toán về điểm").[105] Christiaan Huygens đã xuất bản một cuốn sách về chủ đề này vào năm 1657. [106] Vào thế kỷ 19, cái được coi là định nghĩa cổ điển về xác suất đã được hoàn thành bởi Pierre Laplace.[107]Ban đầu, lý thuyết xác suất chủ yếu xem xét các sự kiện rời rạc và các phương pháp của nó chủ yếu là tổ hợp.Cuối cùng, những cân nhắc mang tính phân tích đã buộc phải đưa các biến liên tục vào lý thuyết.Điều này lên đến đỉnh điểm trong lý thuyết xác suất hiện đại, trên nền tảng do Andrey Nikolaevich Kolmogorov đặt ra.Kolmogorov đã kết hợp khái niệm không gian mẫu do Richard von Mises giới thiệu với lý thuyết độ đo và trình bày hệ tiên đề của ông cho lý thuyết xác suất vào năm 1933. Điều này trở thành cơ sở tiên đề hầu như không thể tranh cãi cho lý thuyết xác suất hiện đại;nhưng vẫn tồn tại những lựa chọn thay thế, chẳng hạn như việc Bruno de Finetti áp dụng tính cộng hữu hạn thay vì tính cộng được.[108]
▲
●
logarit
Johannes Kepler ©August Köhler
1614 Jan 1

logarit

Europe
Thế kỷ 17 chứng kiến ​​sự gia tăng chưa từng có của các ý tưởng toán học và khoa học trên khắp châu Âu.Galileo đã quan sát các vệ tinh của Sao Mộc trên quỹ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn vọng của Hans Lipperhey.Tycho Brahe đã thu thập một lượng lớn dữ liệu toán học mô tả vị trí của các hành tinh trên bầu trời.Với cương vị là trợ lý của Brahe, Johannes Kepler lần đầu tiên tiếp xúc và tiếp xúc nghiêm túc với chủ đề chuyển động của các hành tinh.Các tính toán của Kepler đã trở nên đơn giản hơn nhờ phát minh logarit đương thời của John Napier và Jost Bürgi.Kepler đã thành công trong việc xây dựng các định luật toán học về chuyển động của các hành tinh.Hình học giải tích do René Descartes (1596–1650) phát triển cho phép vẽ các quỹ đạo đó trên một đồ thị, theo hệ tọa độ Descartes.
▲
●
Hệ tọa độ Descartes
Nhọ quá đi ©Frans Hals
1637 Jan 1

Hệ tọa độ Descartes

Netherlands
Đề-các đề cập đến nhà toán học và triết học người Pháp René Descartes, người đã công bố ý tưởng này vào năm 1637 khi ông đang cư trú tại Hà Lan.Nó được phát hiện độc lập bởi Pierre de Fermat, người cũng làm việc trong không gian ba chiều, mặc dù Fermat không công bố phát hiện này.[109] Giáo sĩ người Pháp Nicole Oresme đã sử dụng các cấu trúc tương tự như hệ tọa độ Descartes trước thời của Descartes và Fermat.[110]Cả Descartes và Fermat đều sử dụng một trục duy nhất trong các phương pháp xử lý của họ và có chiều dài thay đổi được đo dựa trên trục này.Khái niệm sử dụng một cặp trục được giới thiệu sau đó, sau khi tác phẩm La Géométrie của Descartes được dịch sang tiếng Latinh vào năm 1649 bởi Frans van Schooten và các sinh viên của ông.Những nhà bình luận này đã giới thiệu một số khái niệm trong khi cố gắng làm rõ những ý tưởng có trong tác phẩm của Descartes.[111]Sự phát triển của hệ tọa độ Descartes sẽ đóng một vai trò cơ bản trong sự phát triển phép tính của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz.[112] Mô tả hai tọa độ của mặt phẳng sau đó được tổng quát hóa thành khái niệm không gian vectơ.[113]Nhiều hệ tọa độ khác đã được phát triển kể từ Descartes, chẳng hạn như tọa độ cực cho mặt phẳng, tọa độ hình cầu và hình trụ cho không gian ba chiều.
▲
●
Play button
1670 Jan 1

giải tích

Europe
Giải tích là nghiên cứu toán học về sự thay đổi liên tục, giống như hình học là nghiên cứu về hình dạng và đại số là nghiên cứu về tổng quát hóa các phép toán số học.Nó có hai nhánh chính, phép tính vi phân và phép tính tích phân;cái trước liên quan đến tốc độ thay đổi tức thời và độ dốc của các đường cong, trong khi cái sau liên quan đến sự tích lũy các đại lượng và diện tích bên dưới hoặc giữa các đường cong.Hai nhánh này có liên quan với nhau theo định lý cơ bản của giải tích và chúng sử dụng các khái niệm cơ bản về sự hội tụ của các chuỗi vô hạn và chuỗi vô hạn tới một giới hạn được xác định rõ.[97]Phép tính vi phân được phát triển độc lập vào cuối thế kỷ 17 bởi Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz.[98] Công việc sau này, bao gồm cả việc hệ thống hóa ý tưởng về giới hạn, đã đặt những phát triển này trên một nền tảng khái niệm vững chắc hơn.Ngày nay, giải tích được sử dụng rộng rãi trong khoa học, kỹ thuật và khoa học xã hội.Isaac Newton đã phát triển việc sử dụng phép tính trong các định luật về chuyển động và lực hấp dẫn của vũ trụ.Những ý tưởng này đã được Gottfried Wilhelm Leibniz, người ban đầu bị Newton buộc tội đạo văn, sắp xếp thành một phép tính vô hạn thực sự.Ông hiện được coi là một nhà phát minh độc lập và đóng góp cho giải tích.Đóng góp của ông là cung cấp một bộ quy tắc rõ ràng để làm việc với các đại lượng vô cùng nhỏ, cho phép tính toán các đạo hàm bậc hai và cao hơn, đồng thời cung cấp quy tắc tích và quy tắc chuỗi, ở dạng vi phân và tích phân của chúng.Không giống như Newton, Leibniz đã nỗ lực hết sức để lựa chọn ký hiệu của mình.[99]Newton là người đầu tiên áp dụng giải tích vào vật lý phổ thông và Leibniz đã phát triển phần lớn ký hiệu được sử dụng trong giải tích ngày nay.[100] Những hiểu biết cơ bản mà cả Newton và Leibniz cung cấp là các định luật về vi phân và tích phân, nhấn mạnh rằng vi phân và tích phân là các quá trình nghịch đảo, đạo hàm bậc hai và cao hơn, và khái niệm về một chuỗi đa thức xấp xỉ.
▲
●
Play button
1736 Jan 1

Lý thuyết đồ thị

Europe
Trong toán học, lý thuyết đồ thị là nghiên cứu về đồ thị, là cấu trúc toán học được sử dụng để mô hình hóa các mối quan hệ theo cặp giữa các đối tượng.Một biểu đồ trong ngữ cảnh này được tạo thành từ các đỉnh (còn được gọi là nút hoặc điểm) được kết nối bởi các cạnh (còn được gọi là liên kết hoặc đường).Cần phân biệt giữa đồ thị vô hướng, trong đó các cạnh liên kết hai đỉnh đối xứng và đồ thị có hướng, trong đó các cạnh liên kết hai đỉnh không đối xứng.Đồ thị là một trong những đối tượng nghiên cứu chính của toán học rời rạc.Bài viết của Leonhard Euler về Bảy cây cầu của Königsberg và xuất bản năm 1736 được coi là bài báo đầu tiên trong lịch sử lý thuyết đồ thị.[114] Bài báo này, cũng như bài viết của Vandermonde về bài toán hiệp sĩ, tiếp tục với vị trí phân tích do Leibniz khởi xướng.Công thức Euler liên quan đến số cạnh, đỉnh và mặt của một khối đa diện lồi đã được Cauchy [115] và L'Huilier, [116] nghiên cứu và tổng quát hóa, đồng thời đại diện cho sự khởi đầu của ngành toán học gọi là tô pô.
▲
●
Play button
1738 Jan 1

Phân phối bình thường

France
Trong thống kê, phân phối chuẩn hoặc phân phối Gaussian là một loại phân phối xác suất liên tục cho một biến ngẫu nhiên có giá trị thực.Phân phối chuẩn rất quan trọng trong thống kê và thường được sử dụng trong khoa học tự nhiên và xã hội để biểu diễn các biến ngẫu nhiên có giá trị thực mà phân phối của chúng chưa được biết.[124] Tầm quan trọng của chúng một phần là do định lý giới hạn trung tâm.Nó nói rằng, trong một số điều kiện, trung bình của nhiều mẫu (quan sát) của một biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình và phương sai hữu hạn chính nó là một biến ngẫu nhiên—có phân phối hội tụ thành phân phối chuẩn khi số lượng mẫu tăng lên.Do đó, các đại lượng vật lý được kỳ vọng là tổng của nhiều quá trình độc lập, chẳng hạn như sai số đo lường, thường có phân bố gần như chuẩn.[125] Một số tác giả [126] gán công lao cho việc khám phá ra phân phối chuẩn cho de Moivre, người vào năm 1738 đã xuất bản trong ấn bản thứ hai của cuốn "Học thuyết về cơ hội" nghiên cứu về các hệ số trong khai triển nhị thức của (a + b)n.
▲
●
Play button
1740 Jan 1

Công thức của Euler

Berlin, Germany
Công thức Euler, được đặt theo tên của Leonhard Euler, là một công thức toán học trong giải tích phức, thiết lập mối quan hệ cơ bản giữa các hàm lượng giác và hàm mũ phức.Công thức Euler phổ biến trong toán học, vật lý, hóa học và kỹ thuật.Nhà vật lý Richard Feynman gọi phương trình là "viên ngọc quý của chúng ta" và là "công thức đáng chú ý nhất trong toán học".Khi x = π, công thức của Euler có thể được viết lại thành eiπ + 1 = 0 hoặc eiπ = -1, được gọi là đơn vị của Euler.
▲
●
Play button
1763 Jan 1

Định lý Bayes

England, UK
Trong lý thuyết xác suất và thống kê, định lý Bayes (còn gọi là định luật Bayes hoặc quy tắc Bayes), được đặt theo tên của Thomas Bayes, mô tả xác suất của một sự kiện, dựa trên kiến ​​thức trước đây về các điều kiện có thể liên quan đến sự kiện đó.[122] Ví dụ, nếu rủi ro phát triển các vấn đề sức khỏe được biết là tăng theo tuổi tác, thì định lý Bayes cho phép đánh giá rủi ro đối với một cá nhân ở một độ tuổi đã biết chính xác hơn bằng cách điều chỉnh nó theo tuổi của họ, thay vì chỉ đơn giản là giả định rằng cá nhân là điển hình của toàn bộ dân số.Trong lý thuyết xác suất và thống kê, định lý Bayes (còn gọi là định luật Bayes hoặc quy tắc Bayes), được đặt theo tên của Thomas Bayes, mô tả xác suất của một sự kiện, dựa trên kiến ​​thức trước đây về các điều kiện có thể liên quan đến sự kiện đó.[122] Ví dụ, nếu rủi ro phát triển các vấn đề sức khỏe được biết là tăng theo tuổi tác, thì định lý Bayes cho phép đánh giá rủi ro đối với một cá nhân ở một độ tuổi đã biết chính xác hơn bằng cách điều chỉnh nó theo tuổi của họ, thay vì chỉ đơn giản là giả định rằng cá nhân là điển hình của toàn bộ dân số.
▲
●
Định luật Gauss
Carl Friedrich Gauss ©Christian Albrecht Jensen
1773 Jan 1

Định luật Gauss

France
Trong vật lý và điện từ học, định luật Gauss, còn được gọi là định lý từ thông Gauss, (hoặc đôi khi được gọi đơn giản là định lý Gauss) là một định luật liên quan đến sự phân bố điện tích với điện trường tạo thành.Ở dạng tích phân, nó phát biểu rằng dòng điện trường ra khỏi một bề mặt kín tùy ý tỷ lệ với điện tích bao quanh bởi bề mặt đó, bất kể điện tích đó được phân bố như thế nào.Mặc dù chỉ riêng định luật là không đủ để xác định điện trường trên một bề mặt bao quanh bất kỳ sự phân bố điện tích nào, nhưng điều này có thể khả thi trong trường hợp tính đối xứng yêu cầu tính đồng nhất của trường.Khi không tồn tại sự đối xứng như vậy, định luật Gauss có thể được sử dụng ở dạng vi phân của nó, định luật này phát biểu rằng sự phân kỳ của điện trường tỷ lệ thuận với mật độ điện tích cục bộ.Định luật được Joseph-Louis Lagrange xây dựng lần đầu tiên [101] vào năm 1773, [102] tiếp theo là Carl Friedrich Gauss vào năm 1835, [103] cả trong bối cảnh lực hút của các ellipsoid.Nó là một trong những phương trình Maxwell, là cơ sở của điện động lực học cổ điển.Định luật Gauss có thể được sử dụng để rút ra định luật Coulomb, [104] và ngược lại.
▲
●
Play button
1800 Jan 1

Lý thuyết nhóm

Europe
Trong đại số trừu tượng, lý thuyết nhóm nghiên cứu các cấu trúc đại số được gọi là nhóm.Khái niệm nhóm là trung tâm của đại số trừu tượng: các cấu trúc đại số nổi tiếng khác, chẳng hạn như vành, trường và không gian vectơ, đều có thể được coi là nhóm được ưu đãi với các phép toán và tiên đề bổ sung.Các nhóm lặp đi lặp lại trong toán học và các phương pháp của lý thuyết nhóm đã ảnh hưởng đến nhiều phần của đại số.Nhóm đại số tuyến tính và nhóm Lie là hai nhánh của lý thuyết nhóm đã trải qua những tiến bộ và đã trở thành lĩnh vực chủ đề theo đúng nghĩa của chúng.Lịch sử ban đầu của lý thuyết nhóm bắt đầu từ thế kỷ 19.Một trong những thành tựu toán học quan trọng nhất của thế kỷ 20 là nỗ lực hợp tác, chiếm hơn 10.000 trang tạp chí và hầu hết được xuất bản từ năm 1960 đến 2004, mà đỉnh cao là sự phân loại đầy đủ các nhóm đơn hữu hạn.
▲
●
Play button
1807 Jan 1

Phân tích Fourier

Auxerre, France
Trong toán học, phân tích Fourier là nghiên cứu về cách các hàm tổng quát có thể được biểu diễn hoặc xấp xỉ bằng tổng của các hàm lượng giác đơn giản hơn.Phân tích Fourier phát triển từ nghiên cứu về chuỗi Fourier, và được đặt theo tên của Joseph Fourier, người đã chỉ ra rằng việc biểu diễn một hàm dưới dạng tổng của các hàm lượng giác giúp đơn giản hóa đáng kể việc nghiên cứu sự truyền nhiệt.Chủ đề của phân tích Fourier bao gồm một phạm vi rộng lớn của toán học.Trong khoa học và kỹ thuật, quá trình phân rã một hàm thành các thành phần dao động thường được gọi là phân tích Fourier, trong khi hoạt động xây dựng lại hàm từ các phần này được gọi là tổng hợp Fourier.Ví dụ: việc xác định tần số thành phần nào có trong một nốt nhạc sẽ liên quan đến việc tính toán biến đổi Fourier của một nốt nhạc được lấy mẫu.Sau đó, người ta có thể tổng hợp lại âm thanh tương tự bằng cách bao gồm các thành phần tần số như được tiết lộ trong phân tích Fourier.Trong toán học, thuật ngữ phân tích Fourier thường đề cập đến việc nghiên cứu cả hai hoạt động.Bản thân quá trình phân tách được gọi là phép biến đổi Fourier.Đầu ra của nó, biến đổi Fourier, thường được đặt một tên cụ thể hơn, tên này phụ thuộc vào miền và các thuộc tính khác của hàm được biến đổi.Hơn nữa, khái niệm ban đầu về phân tích Fourier đã được mở rộng theo thời gian để áp dụng cho các tình huống tổng quát và trừu tượng hơn, và lĩnh vực chung thường được gọi là phân tích điều hòa.Mỗi biến đổi được sử dụng để phân tích (xem danh sách các biến đổi liên quan đến Fourier) có một biến đổi nghịch đảo tương ứng có thể được sử dụng để tổng hợp.
▲
●
Play button
1850 Jan 1 - 1870

phương trình Maxwell

Cambridge University, Trinity
Các phương trình Maxwell, hay các phương trình Maxwell–Heaviside, là một tập hợp các phương trình vi phân từng phần được ghép nối, cùng với định luật lực Lorentz, tạo thành nền tảng của điện từ cổ điển, quang học cổ điển và mạch điện.Các phương trình cung cấp một mô hình toán học cho các công nghệ điện, quang học và vô tuyến, chẳng hạn như phát điện, động cơ điện, liên lạc không dây, thấu kính, radar, v.v. Chúng mô tả cách điện trường và từ trường được tạo ra bởi điện tích, dòng điện và sự thay đổi của lĩnh vực.Các phương trình được đặt theo tên của nhà vật lý và toán học James Clerk Maxwell, người, vào năm 1861 và 1862, đã công bố một dạng ban đầu của các phương trình bao gồm định luật lực Lorentz.Lần đầu tiên Maxwell sử dụng các phương trình để đề xuất rằng ánh sáng là một hiện tượng điện từ.Hình thức hiện đại của các phương trình trong công thức phổ biến nhất của chúng được cho là của Oliver Heaviside.Các phương trình có hai biến thể chính.Các phương trình vi mô có khả năng ứng dụng phổ biến nhưng khó sử dụng đối với các tính toán thông thường.Chúng liên hệ điện trường và từ trường với tổng điện tích và tổng dòng điện, bao gồm các điện tích và dòng điện phức tạp trong vật liệu ở quy mô nguyên tử.Các phương trình vĩ mô xác định hai trường phụ trợ mới mô tả hành vi quy mô lớn của vật chất mà không cần phải xem xét các điện tích quy mô nguyên tử và các hiện tượng lượng tử như spin.Tuy nhiên, việc sử dụng chúng đòi hỏi các tham số được xác định bằng thực nghiệm để mô tả hiện tượng học về phản ứng điện từ của vật liệu.Thuật ngữ "phương trình Maxwell" cũng thường được sử dụng cho các công thức thay thế tương đương.Các phiên bản của phương trình Maxwell dựa trên thế vô hướng điện và từ được ưa thích hơn để giải phương trình một cách rõ ràng dưới dạng bài toán giá trị biên, cơ học giải tích hoặc để sử dụng trong cơ học lượng tử.Công thức hiệp biến (trên không thời gian chứ không phải không gian và thời gian riêng biệt) làm cho sự tương thích của các phương trình Maxwell với thuyết tương đối hẹp trở nên rõ ràng.Các phương trình Maxwell trong không thời gian cong, thường được sử dụng trong vật lý hấp dẫn và năng lượng cao, tương thích với thuyết tương đối rộng.Trên thực tế, Albert Einstein đã phát triển thuyết tương đối đặc biệt và rộng để phù hợp với tốc độ ánh sáng bất biến, một hệ quả của các phương trình Maxwell, với nguyên tắc chỉ chuyển động tương đối mới có những hệ quả vật lý.Việc công bố các phương trình đánh dấu sự thống nhất của một lý thuyết cho các hiện tượng được mô tả riêng biệt trước đây: từ tính, điện, ánh sáng và bức xạ liên quan.Từ giữa thế kỷ 20, người ta đã hiểu rằng các phương trình Maxwell không đưa ra một mô tả chính xác về các hiện tượng điện từ, mà thay vào đó là một giới hạn cổ điển của lý thuyết chính xác hơn về điện động lực học lượng tử.
▲
●
Play button
1870 Jan 1

Lý thuyết tập hợp

Germany
Lý thuyết tập hợp là một nhánh của logic toán học nghiên cứu các tập hợp, có thể được mô tả một cách không chính thức là tập hợp các đối tượng.Mặc dù các đối tượng thuộc bất kỳ loại nào cũng có thể được tập hợp thành một tập hợp, nhưng lý thuyết tập hợp, với tư cách là một nhánh của toán học, chủ yếu quan tâm đến những đối tượng có liên quan đến toàn bộ toán học.Nghiên cứu hiện đại về lý thuyết tập hợp được khởi xướng bởi các nhà toán học người Đức Richard Dedekind và Georg Cantor vào những năm 1870.Đặc biệt, Georg Cantor thường được coi là người sáng lập lý thuyết tập hợp.Các hệ thống phi chính thức được nghiên cứu trong giai đoạn đầu này được gọi là lý thuyết tập hợp ngây thơ.Sau khi phát hiện ra các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp ngây thơ (chẳng hạn như nghịch lý của Russell, nghịch lý của Cantor và nghịch lý Burali-Forti), nhiều hệ tiên đề khác nhau đã được đề xuất vào đầu thế kỷ XX, trong đó lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel (có hoặc không có tiên đề của lựa chọn) vẫn được biết đến nhiều nhất và được nghiên cứu nhiều nhất.Lý thuyết tập hợp thường được sử dụng như một hệ thống nền tảng cho toàn bộ toán học, đặc biệt dưới dạng lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel với tiên đề lựa chọn.Bên cạnh vai trò nền tảng, lý thuyết tập hợp còn cung cấp khuôn khổ để phát triển lý thuyết toán học về vô hạn và có nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa học máy tính (chẳng hạn như trong lý thuyết đại số quan hệ), triết học và ngữ nghĩa hình thức.Sự hấp dẫn nền tảng của nó, cùng với những nghịch lý của nó, những hàm ý của nó đối với khái niệm vô hạn và nhiều ứng dụng của nó, đã khiến lý thuyết tập hợp trở thành một lĩnh vực được các nhà logic học và triết gia toán học quan tâm.Nghiên cứu đương đại về lý thuyết tập hợp bao gồm rất nhiều chủ đề, từ cấu trúc của trục số thực đến nghiên cứu về tính nhất quán của các hồng y lớn.
▲
●
Lý thuyết trò chơi
John von Neumann ©Anonymous
1927 Jan 1

Lý thuyết trò chơi

Budapest, Hungary
Lý thuyết trò chơi là nghiên cứu về các mô hình toán học về tương tác chiến lược giữa các tác nhân hợp lý.[117] Nó có ứng dụng trong mọi lĩnh vực khoa học xã hội, cũng như logic, khoa học hệ thống và khoa học máy tính.Các khái niệm về lý thuyết trò chơi cũng được sử dụng rộng rãi trong kinh tế học.[118] Các phương pháp truyền thống của lý thuyết trò chơi giải quyết các trò chơi có tổng bằng 0 giữa hai người, trong đó lợi nhuận hoặc thua lỗ của mỗi người tham gia được cân bằng chính xác với thua lỗ và lợi ích của những người tham gia khác.Trong thế kỷ 21, các lý thuyết trò chơi tiên tiến được áp dụng cho nhiều loại quan hệ hành vi hơn;bây giờ nó là một thuật ngữ chung cho khoa học về việc ra quyết định hợp lý ở người, động vật cũng như máy tính.Lý thuyết trò chơi không tồn tại như một lĩnh vực duy nhất cho đến khi John von Neumann xuất bản bài báo Về lý thuyết trò chơi chiến lược vào năm 1928. [119] Chứng minh ban đầu của Von Neumann đã sử dụng định lý điểm bất động của Brouwer về các ánh xạ liên tục vào các tập lồi compact, trở thành một phương pháp tiêu chuẩn trong lý thuyết trò chơi và kinh tế toán học.Tiếp theo bài báo của ông là cuốn sách năm 1944 Lý thuyết trò chơi và hành vi kinh tế đồng tác giả với Oskar Morgenstern.[120] Ấn bản thứ hai của cuốn sách này cung cấp một lý thuyết tiên đề về tiện ích, lý thuyết này tái sinh lý thuyết cũ của Daniel Bernoulli về tiện ích (về tiền) như một môn học độc lập.Đỉnh cao của Von Neumann trong lý thuyết trò chơi là cuốn sách xuất bản năm 1944 này.Công trình nền tảng này bao gồm phương pháp tìm kiếm các giải pháp nhất quán cho các trò chơi có tổng bằng không giữa hai người.Công việc tiếp theo tập trung chủ yếu vào lý thuyết trò chơi hợp tác, phân tích các chiến lược tối ưu cho các nhóm cá nhân, giả định rằng họ có thể thực thi các thỏa thuận giữa họ về các chiến lược phù hợp.[121]
▲
●

Appendices



APPENDIX 1

The History of Mathematics and Its Applications


Play button




APPENDIX 2

The Map of Mathematics


Play button

Footnotes



  1. Friberg, J. "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277-318.
  2. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium. Vol. 9 (2 ed.). Dover Publications. pp. 1-191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71-96.
  3. Turnbull (1931). "A Manual of Greek Mathematics". Nature. 128 (3235): 5. Bibcode:1931Natur.128..739T. doi:10.1038/128739a0. S2CID 3994109.
  4. Heath, Thomas L. (1963). A Manual of Greek Mathematics, Dover, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  5. Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books, London, pp. 140-48.
  6. Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Allen Lane/The Penguin Press, London.
  7. Juschkewitsch, A. P. (1964). Geschichte der Mathematik im Mittelalter. Teubner, Leipzig.
  8. Eves, Howard (1990). History of Mathematics, 6th Edition, "After Pappus, Greek mathematics ceased to be a living study, ..." p. 185; "The Athenian school struggled on against growing opposition from Christians until the latter finally, in A.D. 529, obtained a decree from Emperor Justinian that closed the doors of the school forever." p. 186; "The period starting with the fall of the Roman Empire, in the middle of the fifth century, and extending into the eleventh century is known in Europe as the Dark Ages ... . Schooling became almost nonexistent." p. 258.
  9. Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
  10. Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.
  11. Prestini, Elena (2004). The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4125-2., p. 62
  12. Boyer, C.B. (1991) [1989], A History of Mathematics (2nd ed.), New York: Wiley , ISBN 978-0-471-54397-8, p. 25.
  13. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 26.
  14. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 27.
  15. Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30-31.
  16. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 33.
  17. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 39.
  18. Imhausen, Annette (2006). "Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources". The Mathematical Intelligencer. 28 (1): 19-27. doi:10.1007/bf02986998. S2CID 122060653.
  19. Burton, David (2005). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-305189-5.
  20. Eglash, Ron (1999). African fractals : modern computing and indigenous design. New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press. pp. 89, 141. ISBN 0813526140.
  21. Eglash, R. (1995). "Fractal Geometry in African Material Culture". Symmetry: Culture and Science. 6-1: 174-177.
  22. Katz V, Imhasen A, Robson E, Dauben JW, Plofker K, Berggren JL (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
  23. Panchenko, D. V. (Dmitrii Vadimovich) (1993). "Thales and the Origin of Theoretical Reasoning". Configurations. 1 (3): 387-414. doi:10.1353/con.1993.0024. ISSN 1080-6520.
  24. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics (3rd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8, pp. 40-89.
  25. Boyer, Carl (1968). A History of Science. p. 45. ISBN 0471543977.
  26. Netz, Reviel (2014), Huffman, Carl A. (ed.), "The problem of Pythagorean mathematics", A History of Pythagoreanism, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 167-184, ISBN 978-1-107-01439-8, retrieved 2021-05-26
  27. Green, P. (1990). Alexander to Actium: The Historical Evolution of the Hellenistic Age (1 ed.). University of California Press. ISBN 978-0-520-08349-3. JSTOR 10.1525/j.ctt130jt89.
  28. Luce, J. V. (1988). "Greek Science in its Hellenistic Phase". Hermathena (145): 23-38. ISSN 0018-0750. JSTOR 23040930.
  29. Acerbi, F. (2018). Keyser, Paul T; Scarborough, John (eds.). "Hellenistic Mathematics". Oxford Handbook of Science and Medicine in the Classical World. pp. 268-292. doi:10.1093/oxfordhb/9780199734146.013.69. ISBN 978-0-19-973414-6. Retrieved 2021-05-26.
  30. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 43.
  31. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 86.
  32. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 88.
  33. Calian, George F. (2014). "One, Two, Three... A Discussion on the Generation of Numbers". New Europe College.
  34. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 87.
  35. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
  36. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 100.
  37. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104.
  38. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 102.
  39. Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.
  40. James R. Choike (1980). "The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number". The Two-Year College Mathematics Journal
  41. Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 1. New York: Oxford University Press (original work published 1972), p. 32.
  42. John M. Henshaw (10 September 2014). An Equation for Every Occasion: Fifty-Two Formulas and Why They Matter. JHU Press. p. 68.
  43. Powers, J (2020). "Did Archimedes do calculus?" (PDF).
  44. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews.
  45. Goe, G. (1972). "Archimedes' theory of the lever and Mach's critique". Studies in History and Philosophy of Science Part A. 2 (4): 329-345.
  46. Berggren, J. L. (1976). "Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes: Book I".
  47. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 145.
  48. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 146.
  49. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 152.
  50. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 156.
  51. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 175.
  52. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 162.
  53. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 178.
  54. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 180.
  55. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 181.
  56. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 183.
  57. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.190-94.
  58. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 193.
  59. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 194.
  60. Boyer 1991, p. 215.
  61. John Bowman (2000). Columbia Chronologies of Asian History and Culture. Columbia University Press. p. 596. ISBN 978-0-231-50004-3.
  62. Boyer 1991, "China and India" p. 210.
  63. Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 168.
  64. Boyer 1991, "China and India" p. 208.
  65. Bourbaki, Nicolas Elements of the History of Mathematics (1998), p. 46.
  66. Weiss, Ittay (20 September 2017). "Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics". The Conversation.
  67. Devlin, Hannah (13 September 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077.
  68. Qiu, Jane (7 January 2014). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". Nature. doi:10.1038/nature.2014.14482. S2CID 130132289. Retrieved 15 September 2014.
  69. Katz, Victor J. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9, pp. 194-99.
  70. Boyer 1991, "China and India" p. 202.
  71. Boyer 1991, "China and India" p. 205.
  72. Volkov, Alexei (2009), "Mathematics and Mathematics Education in Traditional Vietnam", in Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.), The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, pp. 153-76, ISBN 978-0-19-921312-2, p.153-56
  73. Volkov 2009, pp. 154-55
  74. Volkov 2009, pp. 156-57
  75. Volkov 2009, p. 155
  76. Boyer 1991, "China and India" p. 198.
  77. Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959], Science and Civilization in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, vol. 3, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05801-8, pp. 91-92
  78. Needham & Wang 1995, p. 94
  79. Boyer 1991, "China and India" p. 198.
  80. Straffin, Philip D. (1998), "Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics", Mathematics Magazine, 71 (3): 163-81, doi:10.1080/0025570X.1998.11996627, p. 164.
  81. Needham & Wang 1995, p. 22
  82. Needham & Wang 1995, p. 99-100
  83. Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004), Pi: A Source Book, New York: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7, p. 27
  84. Boyer 1991, "China and India" p. 202
  85. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 ed.). Jones & Bartlett Learning. p. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Extract of p. 27
  86. O'Connor, J.J. & Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews. Retrieved 2007-08-07.
  87. Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230
  88. Gandz and Saloman (1936), The sources of Khwarizmi's algebra, Osiris i, pp. 263-77
  89. Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229
  90. Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. pp. 11-12. ISBN 978-0-7923-2565-9. OCLC 29181926.
  91. Sesiano, Jacques (2000). "Islamic mathematics". In Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratàn (eds.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics. Springer. p. 148. ISBN 1-4020-0260-2.
  92. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Kamil", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  93. Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2, p. 318.
  94. Stillwell, J. (1997). Numbers and Geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98289-2, p. 31.
  95. Marie-Therese d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421-62 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
  96. Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229-44, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7
  97. DeBaggis, Henry F.; Miller, Kenneth S. (1966). Foundations of the Calculus. Philadelphia: Saunders. OCLC 527896.
  98. Boyer, Carl B. (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover. OCLC 643872
  99. Mazur, Joseph (2014). Enlightening Symbols / A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press. p. 166. ISBN 978-0-691-17337-5.
  100. Frautschi, Steven C.; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (2007). The Mechanical Universe: Mechanics and Heat (Advanced ed.). Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71590-4. OCLC 227002144.
  101. Duhem, Pierre (1891). Lecons sur l'electricite et le magnetisme (in French). Paris Gauthier-Villars. vol. 1, ch. 4, p. 22-23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.
  102. Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des spheroides elliptiques". Memoires de l'Academie de Berlin (in French): 125.
  103. Gauss, Carl Friedrich (1877). Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (in Latin). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1). Gauss mentions Newton's Principia proposition XCI regarding finding the force exerted by a sphere on a point anywhere along an axis passing through the sphere.
  104. Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. pp. 452-453.
  105. LIGHTNER, JAMES E. (1991). "A Brief Look at the History of Probability and Statistics". The Mathematics Teacher. 84 (8): 623-630. doi:10.5951/MT.84.8.0623. ISSN 0025-5769. JSTOR 27967334.
  106. Grinstead, Charles Miller; James Laurie Snell. "Introduction". Introduction to Probability. pp. vii.
  107. Daston, Lorraine J. (1980). "Probabilistic Expectation and Rationality in Classical Probability Theory". Historia Mathematica. 7 (3): 234-260. doi:10.1016/0315-0860(80)90025-7.
  108. ""The origins and legacy of Kolmogorov's Grundbegriffe", by Glenn Shafer and Vladimir Vovk" (PDF). Retrieved 2012-02-12.
  109. Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopedia Britannica. Retrieved 6 August 2017.
  110. Kent, Alexander J.; Vujakovic, Peter (4 October 2017). The Routledge Handbook of Mapping and Cartography. Routledge. ISBN 9781317568216.
  111. Burton, David M. (2011), The History of Mathematics/An Introduction (7th ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6, p. 374.
  112. Berlinski, David. A Tour of the Calculus.
  113. Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right - Springer. Undergraduate Texts in Mathematics. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0.
  114. Biggs, N.; Lloyd, E.; Wilson, R. (1986), Graph Theory, 1736-1936, Oxford University Press
  115. Cauchy, A. L. (1813), "Recherche sur les polyedres - premier memoire", Journal de l'ecole Polytechnique, 9 (Cahier 16): 66-86.
  116. L'Huillier, S.-A.-J. (1812-1813), "Memoire sur la polyedrometrie", Annales de Mathematiques, 3: 169-189.
  117. Myerson, Roger B. (1991). Game Theory: Analysis of Conflict. Harvard University Press.ISBN 9780674341166.
  118. Shapley, Lloyd S.; Shubik, Martin (1 January 1971). "Game Theory in Economics: Chapter1, Introduction, The Use of Models". Archived from the original on 23 April 2023.Retrieved 23 April 2023.
  119. von Neumann, John (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele" [On the Theory of Gamesof Strategy]. Mathematische Annalen [Mathematical Annals] (in German). 100 (1): 295-320.doi:10.1007/BF01448847. S2CID 122961988.
  120. Mirowski, Philip (1992). "What Were von Neumann and Morgenstern Trying to Accomplish?".In Weintraub, E. Roy (ed.). Toward a History of Game Theory. Durham: Duke UniversityPress. pp. 113-147. ISBN 978-0-8223-1253-6.
  121. Leonard, Robert (2010), Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory, New York: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511778278, ISBN 978-0-521-56266-9
  122. Joyce, James (2003), "Bayes' Theorem", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2020-01-17.
  123. Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology
  124. Lyon, A. (2014). Why are Normal Distributions Normal?, The British
  125. Journal for the Philosophy of Science.
  126. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. Wiley. ISBN 978-0-471-58495-7.(1994, p. 85)
  127. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics (2nd ed.). JohnWiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8, pp. 252-253.
  128. Ifrah, Georges (2001). The Universal History of Computing: From the Abacus to theQuantum Computer. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-39671-0., p. 11

References



References

  • Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004), Pi: A Source Book, New York: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7
  • Boyer, C.B. (1991) [1989], A History of Mathematics (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-54397-8
  • Cuomo, Serafina (2001), Ancient Mathematics, London: Routledge, ISBN 978-0-415-16495-5
  • Goodman, Michael, K.J. (2016), An introduction of the Early Development of Mathematics, Hoboken: Wiley, ISBN 978-1-119-10497-1
  • Gullberg, Jan (1997), Mathematics: From the Birth of Numbers, New York: W.W. Norton and Company, ISBN 978-0-393-04002-9
  • Joyce, Hetty (July 1979), "Form, Function and Technique in the Pavements of Delos and Pompeii", American Journal of Archaeology, 83 (3): 253–63, doi:10.2307/505056, JSTOR 505056, S2CID 191394716.
  • Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-01618-8
  • Katz, Victor J. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
  • Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959], Science and Civilization in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, vol. 3, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05801-8
  • Needham, Joseph; Wang, Ling (2000) [1965], Science and Civilization in China: Physics and Physical Technology: Mechanical Engineering, vol. 4 (reprint ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05803-2
  • Sleeswyk, Andre (October 1981), "Vitruvius' odometer", Scientific American, 252 (4): 188–200, Bibcode:1981SciAm.245d.188S, doi:10.1038/scientificamerican1081-188.
  • Straffin, Philip D. (1998), "Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics", Mathematics Magazine, 71 (3): 163–81, doi:10.1080/0025570X.1998.11996627
  • Tang, Birgit (2005), Delos, Carthage, Ampurias: the Housing of Three Mediterranean Trading Centres, Rome: L'Erma di Bretschneider (Accademia di Danimarca), ISBN 978-88-8265-305-7.
  • Volkov, Alexei (2009), "Mathematics and Mathematics Education in Traditional Vietnam", in Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.), The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, pp. 153–76, ISBN 978-0-19-921312-2


Further Reading

  • Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House.
  • Bell, E.T. (1937). Men of Mathematics. Simon and Schuster.
  • Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.
  • Corry, Leo (2015), A Brief History of Numbers, Oxford University Press, ISBN 978-0198702597
  • Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA: MIT Press.
  • Grattan-Guinness, Ivor (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-7397-3.
  • Heath, Sir Thomas (1981). A History of Greek Mathematics. Dover. ISBN 978-0-486-24073-2.
  • Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion. ISBN 0-7868-6362-5.
  • Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.
  • Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 978-0-262-13040-0.
  • Stigler, Stephen M. (1990). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press. ISBN 978-0-674-40341-3.
  • Struik, D.J. (1987). A Concise History of Mathematics, fourth revised edition. Dover Publications, New York.
  • van der Waerden, B.L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.