เรื่องของคณิตศาสตร์

ภาคผนวก

เชิงอรรถ

การอ้างอิง


Play button

3000 BCE - 2023

เรื่องของคณิตศาสตร์



ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับต้นกำเนิดของการค้นพบทางคณิตศาสตร์ วิธีการทางคณิตศาสตร์และสัญลักษณ์ในอดีตก่อนยุคสมัยใหม่และการเผยแพร่ความรู้ไปทั่วโลก ตัวอย่างที่เป็นลายลักษณ์อักษรเกี่ยวกับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ปรากฏให้เห็นเฉพาะในบางพื้นที่เท่านั้นตั้งแต่ 3,000 ปีก่อนคริสตศักราช รัฐเมโสโปเตเมีย ได้แก่ สุเมเรียน อักกัด และอัสซีเรีย ตามมาด้วยอียิปต์โบราณ และรัฐเอบลาในเลแวนไทน์ เริ่มใช้เลขคณิต พีชคณิต และเรขาคณิต เพื่อวัตถุประสงค์ด้านภาษี การพาณิชย์ การค้า และในรูปแบบในธรรมชาติด้วย ดาราศาสตร์และบันทึกเวลาและจัดทำปฏิทินตำราทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่มีคือจาก เมโสโปเตเมีย และอียิปต์ - Plimpton 322 (ชาวบาบิโลนประมาณปี 2000 – 1900 ปีก่อนคริสตศักราช), [1] กระดาษปาปิรัสคณิตศาสตร์ Rhind (อียิปต์ประมาณปี 1800 ก่อนคริสตศักราช) [2] และกระดาษปาปิรัสคณิตศาสตร์มอสโก (อียิปต์ประมาณปี 1890) ก่อนคริสตศักราช)ตำราทั้งหมดนี้กล่าวถึงสิ่งที่เรียกว่าสามเท่าของพีทาโกรัส ดังนั้น จากการอนุมาน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงดูเหมือนจะเป็นการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และแพร่หลายที่สุดรองจากเลขคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานการศึกษาคณิตศาสตร์ในฐานะ "วินัยเชิงสาธิต" เริ่มต้นขึ้นในศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตศักราช โดยมีชาวพีทาโกรัสเป็นผู้บัญญัติคำว่า "คณิตศาสตร์" จากภาษา กรีก โบราณ μάθημα (คณิตศาสตร์) ซึ่งแปลว่า "วิชาของการสอน"[3] คณิตศาสตร์กรีกได้ขัดเกลาวิธีการต่างๆ อย่างมาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านทางการใช้เหตุผลแบบนิรนัยและความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์) และขยายเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ออกไป[4] แม้ว่าพวกเขาไม่ได้มีส่วนร่วมในคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีเลย แต่ชาวโรมันโบราณก็ใช้คณิตศาสตร์ประยุกต์ในการสำรวจ วิศวกรรมโครงสร้าง วิศวกรรมเครื่องกล การทำบัญชี การสร้างปฏิทินจันทรคติและสุริยคติ และแม้แต่ศิลปะและงานฝีมือคณิตศาสตร์จีน มีส่วนช่วยในช่วงแรกๆ ซึ่งรวมถึงระบบค่าสถานที่และการใช้จำนวนลบเป็นครั้งแรก[5] ระบบเลขฮินดู–อารบิกและกฎเกณฑ์ต่างๆ สำหรับการใช้งานของระบบที่ใช้กันทั่วโลกในปัจจุบันได้รับการพัฒนาในช่วงสหัสวรรษสากลศักราชแรกในอินเดีย และได้รับการถ่ายทอดไปยังโลกตะวันตกผ่านทางคณิตศาสตร์อิสลามผ่านการทำงานของ มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-คอวาริซมี.[6] ในทางกลับกัน คณิตศาสตร์ อิสลาม ได้พัฒนาและขยายคณิตศาสตร์ที่รู้จักในอารยธรรมเหล่านี้[7] คณิตศาสตร์ที่พัฒนาโดยอารยธรรมมายาใน เม็กซิโก และอเมริกากลางซึ่งร่วมสมัยแต่เป็นอิสระจากประเพณีเหล่านี้ โดยที่แนวคิดเรื่องศูนย์ได้รับสัญลักษณ์มาตรฐานเป็นตัวเลขมายาข้อความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในภาษากรีกและอารบิกจำนวนมากได้รับการแปลเป็นภาษาละตินตั้งแต่ศตวรรษที่ 12 เป็นต้นมา ซึ่งนำไปสู่การพัฒนาคณิตศาสตร์เพิ่มเติมในยุโรปยุคกลางตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงยุคกลาง ช่วงเวลาของการค้นพบทางคณิตศาสตร์มักตามมาด้วยความซบเซามานานหลายศตวรรษ[8] เริ่มต้นในยุคเรอเนซองส์ของอิตาลี ในศตวรรษที่ 15 การพัฒนาทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ซึ่งมีปฏิสัมพันธ์กับการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ใหม่ๆ เกิดขึ้นอย่างรวดเร็วต่อเนื่องมาจนถึงปัจจุบันซึ่งรวมถึงผลงานอันก้าวล้ำของทั้งไอแซก นิวตัน และกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ในการพัฒนาแคลคูลัสขนาดเล็กในช่วงศตวรรษที่ 17
HistoryMaps Shop

เยี่ยมชมร้านค้า

คณิตศาสตร์อียิปต์โบราณ
หน่วยวัดอียิปต์เป็นศอก ©HistoryMaps
3000 BCE Jan 1 - 300 BCE

คณิตศาสตร์อียิปต์โบราณ

Egypt
คณิตศาสตร์อียิปต์ โบราณได้รับการพัฒนาและใช้ในอียิปต์โบราณค.3000 ถึงค.300 ปีก่อนคริสตศักราช ตั้งแต่อาณาจักรอียิปต์เก่า จนถึงจุดเริ่มต้นของอียิปต์ขนมผสมน้ำยาชาวอียิปต์โบราณใช้ระบบตัวเลขในการนับและแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เป็นลายลักษณ์อักษร ซึ่งมักเกี่ยวข้องกับการคูณและเศษส่วนหลักฐานทางคณิตศาสตร์ของอียิปต์จำกัดอยู่เพียงแหล่งข้อมูลที่ยังหลงเหลืออยู่จำนวนหนึ่งซึ่งเขียนด้วยกระดาษปาปิรัสจากข้อความเหล่านี้ เป็นที่ทราบกันว่าชาวอียิปต์โบราณเข้าใจแนวคิดเกี่ยวกับเรขาคณิต เช่น การกำหนดพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงสามมิติที่มีประโยชน์สำหรับวิศวกรรมสถาปัตยกรรม และพีชคณิต เช่น วิธีตำแหน่งเท็จและสมการกำลังสองหลักฐานที่เป็นลายลักษณ์อักษรเกี่ยวกับการใช้คณิตศาสตร์มีอายุย้อนกลับไปอย่างน้อย 3,200 ปีก่อนคริสตศักราช โดยมีฉลากงาช้างที่พบใน Tomb Uj ที่ Abydosดูเหมือนว่าป้ายเหล่านี้ถูกใช้เป็นป้ายสำหรับสินค้าที่ฝังศพ และบางป้ายก็มีตัวเลขกำกับไว้ด้วย[หลักฐาน] เพิ่มเติมเกี่ยวกับการใช้ระบบเลขฐาน 10 สามารถพบได้บน Narmer Macehead ซึ่งแสดงให้เห็นการถวายวัว 400,000 ตัว แพะ 1,422,000 ตัว และนักโทษ 120,000 ตัว[19] หลักฐานทางโบราณคดีชี้ให้เห็นว่าระบบการนับของอียิปต์โบราณมีต้นกำเนิดในแอฟริกาตอนใต้ทะเลทรายซาฮารา[20] นอกจากนี้ การออกแบบเรขาคณิตแฟร็กทัลซึ่งแพร่หลายในหมู่วัฒนธรรมแอฟริกันตอนใต้ทะเลทรายซาฮาราก็พบได้ในสถาปัตยกรรมอียิปต์และสัญลักษณ์ทางจักรวาลวิทยาด้วย[20]เอกสารทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงที่เก่าแก่ที่สุดมีอายุถึงราชวงศ์ที่ 12 (ประมาณปี 1990–1800 ก่อนคริสตศักราช)กระดาษปาปิรุสคณิตศาสตร์มอสโก กระดาษม้วนหนังคณิตศาสตร์อียิปต์ กระดาษปาปิรัสคณิตศาสตร์ลาฮุน ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคอลเล็กชั่น Kahun Papyri และกระดาษปาปิรัสเบอร์ลิน 6619 ที่ใหญ่กว่ามากทั้งหมดจนถึงปัจจุบันกระดาษปาปิรัสคณิตศาสตร์ Rhind ซึ่งมีอายุถึงช่วงกลางที่สอง (ประมาณ 1650 ปีก่อนคริสตศักราช) กล่าวกันว่ามีพื้นฐานมาจากข้อความทางคณิตศาสตร์เก่าจากราชวงศ์ที่ 12[22]
▲
●
สุเมเรียนคณิตศาสตร์
สุเมเรียนโบราณ ©Anonymous
3000 BCE Jan 1 - 2000 BCE

สุเมเรียนคณิตศาสตร์

Iraq
ชาวสุเมเรียน โบราณแห่งเมโสโปเตเมียได้พัฒนาระบบมาตรวิทยาที่ซับซ้อนตั้งแต่ 3,000 ปีก่อนคริสตศักราชตั้งแต่ 2,600 ปีก่อนคริสตศักราชเป็นต้นไป ชาวสุเมเรียนได้เขียนตารางสูตรคูณบนแผ่นดินเหนียว และจัดการกับแบบฝึกหัดเรขาคณิตและปัญหาการหารร่องรอยที่เก่าแก่ที่สุดของเลขบาบิโลนก็มีมาตั้งแต่สมัยนี้เช่นกัน[9]
▲
●
ลูกคิด
Julius Caesar เป็นเด็กชาย เรียนรู้ที่จะนับโดยใช้ลูกคิด ©Peter Jackson
2700 BCE Jan 1 - 2300 BCE

ลูกคิด

Mesopotamia, Iraq
ลูกคิด (พหูพจน์ abaci หรือ ลูกคิด) หรือที่เรียกว่ากรอบการนับ เป็นเครื่องมือคำนวณที่ใช้กันมาตั้งแต่สมัยโบราณถูกใช้ในตะวันออกใกล้โบราณ ยุโรปจีน และรัสเซีย นับพันปี ก่อนที่จะมีการใช้ระบบตัวเลขฮินดู-อารบิก[127] ต้นกำเนิดที่แท้จริงของลูกคิดยังไม่ปรากฏประกอบด้วยแถวของลูกปัดที่สามารถเคลื่อนย้ายได้หรือวัตถุที่คล้ายกันร้อยอยู่บนลวดพวกเขาเป็นตัวแทนของตัวเลขหนึ่งในตัวเลขสองตัวถูกตั้งค่าไว้ และเม็ดบีดถูกจัดการให้ทำการดำเนินการ เช่น การบวก หรือแม้แต่รากที่สองหรือลูกบาศก์รูทลูกคิด สุเม เรียนปรากฏขึ้นระหว่าง 2,700 ถึง 2,300 ปีก่อนคริสตศักราชมีตารางคอลัมน์ต่อเนื่องกันซึ่งคั่นลำดับขนาดตามลำดับของระบบเลขฐานหกสิบ (ฐาน 60)[128]
▲
●
คณิตศาสตร์บาบิโลนเก่า
เมโสโปเตเมียโบราณ ©Anonymous
2000 BCE Jan 1 - 1600 BCE

คณิตศาสตร์บาบิโลนเก่า

Babylon, Iraq
คณิตศาสตร์ ของชาวบาบิโลน เขียนโดยใช้ระบบเลขฐานหกสิบ (ฐาน 60)[12] จากสิ่งนี้จึงได้มาจากการใช้ในปัจจุบันคือ 60 วินาทีในหนึ่งนาที, 60 นาทีในหนึ่งชั่วโมง และ 360 (60 × 6) องศาในวงกลม เช่นเดียวกับการใช้ส่วนโค้งวินาทีและนาทีเพื่อแสดงเศษส่วน ในระดับหนึ่งอาจเป็นไปได้ว่าเลือกระบบเลขฐานสิบหกเนื่องจาก 60 สามารถหารเท่าๆ กันด้วย 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 และ 30 [12] นอกจากนี้ ไม่เหมือนกับชาวอียิปต์ กรีก และโรมัน ตรงที่ ชาวบาบิโลนมีระบบสถานที่-ค่า ซึ่งตัวเลขที่เขียนในคอลัมน์ด้านซ้ายแสดงถึงค่าที่มากกว่า มากเท่ากับในระบบทศนิยม[13] พลังของระบบสัญกรณ์บาบิโลนอยู่ที่ว่าสามารถใช้แทนเศษส่วนได้ง่ายพอๆ กับจำนวนเต็มดังนั้นการคูณตัวเลขสองตัวที่มีเศษส่วนจึงไม่ต่างจากการคูณจำนวนเต็ม คล้ายกับสัญกรณ์สมัยใหม่[13] ระบบสัญลักษณ์ของชาวบาบิโลนเป็นระบบที่ดีที่สุดในบรรดาอารยธรรมใดๆ จนกระทั่งถึงยุคเรอเนซองส์ [14] และพลังของมันทำให้สามารถบรรลุความแม่นยำในการคำนวณที่น่าทึ่ง;ตัวอย่างเช่น แท็บเล็ตของชาวบาบิโลน YBC 7289 ให้ค่าประมาณ √2 ที่แม่นยำถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง[14] อย่างไรก็ตาม ชาวบาบิโลนยังขาดจุดทศนิยมที่เทียบเท่ากัน ดังนั้นค่าประจำตำแหน่งของสัญลักษณ์จึงมักต้องอนุมานจากบริบท[13] เมื่อถึงยุค เซลิวซิ ด ชาวบาบิโลนได้พัฒนาสัญลักษณ์ศูนย์เพื่อใช้แทนตำแหน่งว่างอย่างไรก็ตาม มันถูกใช้สำหรับตำแหน่งระดับกลางเท่านั้น[13] เครื่องหมายศูนย์นี้ไม่ปรากฏในตำแหน่งปลาย ดังนั้น ชาวบาบิโลนจึงเข้ามาใกล้แต่ไม่ได้พัฒนาระบบค่าสถานที่ที่แท้จริง[13]หัวข้ออื่นๆ ที่ครอบคลุมโดยคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลน ได้แก่ เศษส่วน พีชคณิต สมการกำลังสองและลูกบาศก์ การคำนวณจำนวนปกติ และคู่ซึ่งกันและกัน[15] แท็บเล็ตยังรวมถึงตารางสูตรคูณและวิธีการแก้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง และสมการลูกบาศก์ ซึ่งเป็นความสำเร็จที่น่าทึ่งในขณะนั้น[16] แผ่นจารึกจากสมัยบาบิโลนเก่ายังมีข้อความที่เก่าแก่ที่สุดที่ทราบเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย[17] อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับคณิตศาสตร์อียิปต์ คณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนไม่แสดงการรับรู้ถึงความแตกต่างระหว่างคำตอบที่แน่นอนและคำตอบโดยประมาณ หรือความสามารถในการแก้ปัญหา และที่สำคัญที่สุด ไม่มีการระบุอย่างชัดเจนถึงความจำเป็นในการพิสูจน์หรือหลักการเชิงตรรกะ[13]พวกเขายังใช้รูปแบบของการวิเคราะห์ฟูริเยร์เพื่อคำนวณ ephemeris (ตารางตำแหน่งทางดาราศาสตร์) ซึ่งถูกค้นพบในปี 1950 โดย Otto Neugebauer[11] เพื่อคำนวณการเคลื่อนที่ของเทห์ฟากฟ้า ชาวบาบิโลนใช้เลขคณิตพื้นฐานและระบบพิกัดตามสุริยุปราคา ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสวรรค์ที่ดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์เดินทางผ่าน
▲
●
ทฤษฎีบทของธาเลส
©Gabriel Nagypal
600 BCE Jan 1

ทฤษฎีบทของธาเลส

Babylon, Iraq
คณิตศาสตร์กรีกถูกกล่าวหาว่าเริ่มต้นด้วย Thales of Miletus (ประมาณ 624–548 คริสตศักราช)ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับชีวิตของเขา แม้ว่าโดยทั่วไปจะตกลงกันว่าเขาเป็นหนึ่งในเจ็ดนักปราชญ์แห่งกรีซตามคำกล่าวของ Proclus เขาเดินทางไปยังบาบิโลนจากที่ที่เขาเรียนคณิตศาสตร์และวิชาอื่นๆ ขึ้นมาพร้อมกับการพิสูจน์สิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทของทาลีสในปัจจุบัน[23]ทาลีสใช้เรขาคณิตในการแก้ปัญหา เช่น การคำนวณความสูงของปิรามิดและระยะห่างของเรือจากฝั่งเขาได้รับเครดิตจากการใช้เหตุผลเชิงนิรนัยเป็นครั้งแรกที่ใช้กับเรขาคณิต โดยได้รับข้อพิสูจน์สี่ข้อจากทฤษฎีบทของทาลีสเป็นผลให้เขาได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ตัวจริงคนแรกและเป็นบุคคลแรกที่รู้จักซึ่งมีสาเหตุมาจากการค้นพบทางคณิตศาสตร์[30]
▲
●
พีทาโกรัส
รายละเอียดของพีทาโกรัสพร้อมแผ่นอัตราส่วน จาก The School of Athens โดย Raphaelพระราชวังวาติกัน กรุงโรม ปี 1509 ©Raphael Santi
580 BCE Jan 1

พีทาโกรัส

Samos, Greece
บุคคลที่ลึกลับพอๆ กันคือพีธากอรัสแห่งซามอส (ประมาณ 580–500 ปีก่อนคริสตศักราช) ซึ่งคาดว่าจะไปเยือนอียิปต์ และ บาบิโลน [24] และท้ายที่สุดก็ตั้งรกรากอยู่ที่เมืองโครตอน แม็กนาเกรเซีย ซึ่งเขาเริ่มต้นความเป็นพี่น้องกันชาวพีทาโกรัสเชื่อว่า "ทุกสิ่งคือตัวเลข" และกระตือรือร้นที่จะมองหาความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างตัวเลขกับสิ่งต่างๆ[พี] ทาโกรัสเองก็ได้รับเครดิตจากการค้นพบมากมายในเวลาต่อมา รวมถึงการสร้างของแข็งปกติทั้งห้าด้วยเกือบครึ่งหนึ่งของเนื้อหาใน Euclid's Elements มีสาเหตุมาจากชาวพีทาโกรัส ซึ่งรวมถึงการค้นพบความไม่มีเหตุผลซึ่งมีสาเหตุมาจากฮิปปาซัส (ประมาณ 530–450 ปีก่อนคริสตศักราช) และธีโอโดรัส (ชั้น 450 ปีก่อนคริสตศักราช)[26] ชาวพีทาโกรัสเป็นคนบัญญัติคำว่า "คณิตศาสตร์" และเริ่มการศึกษาคณิตศาสตร์เพื่อประโยชน์ของตัวมันเองอย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มนี้อาจเป็นอาร์คีตัส (ประมาณ 435-360 ปีก่อนคริสตศักราช) ซึ่งเป็นผู้ที่แก้ปัญหาเรื่องการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า ระบุค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก และอาจมีส่วนช่วยในด้านทัศนศาสตร์และกลศาสตร์[26] นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ที่มีบทบาทในช่วงนี้ ซึ่งไม่ได้เกี่ยวข้องกับโรงเรียนใดๆ เลย ได้แก่ Hippocrates of Chios (ประมาณ 470–410 ปีก่อนคริสตศักราช), Theaetetus (ประมาณ 417–369 ปีก่อนคริสตศักราช) และ Eudoxus (ประมาณ 408–355 ปีก่อนคริสตศักราช) .
▲
●
การค้นพบจำนวนอตรรกยะ
เพลงสวดของ Pythagorean ถึงดวงอาทิตย์ขึ้น ©Fyodor Bronnikov
400 BCE Jan 1

การค้นพบจำนวนอตรรกยะ

Metapontum, Province of Matera
การพิสูจน์ครั้งแรกของการมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะมักมาจากพีทาโกรัส (อาจเป็นฮิปปาซัสของเมตาปอนตัม) [39] ซึ่งอาจค้นพบตัวเลขเหล่านี้ขณะระบุด้านของรูปดาวห้าแฉก[40] วิธีพีทาโกรัสที่ใช้อยู่ในปัจจุบันอ้างว่าต้องมีหน่วยที่เล็กและแบ่งแยกไม่ได้ซึ่งสามารถใส่ความยาวด้านใดด้านหนึ่งและอีกด้านได้เท่าๆ กันอย่างไรก็ตาม ฮิปปาซัสในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสตศักราชสามารถอนุมานได้ว่าแท้จริงแล้วไม่มีหน่วยวัดที่เหมือนกัน และการยืนยันถึงการดำรงอยู่นั้นแท้จริงแล้วขัดแย้งกันนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเรียกว่าอัตราส่วนของขนาดอะโลโกที่เทียบไม่ได้หรือไม่สามารถอธิบายได้อย่างไรก็ตาม ฮิปปาซัสไม่ได้รับการยกย่องในความพยายามของเขา ตามตำนานหนึ่ง เขาค้นพบในขณะที่ออกทะเล และต่อมาถูกเพื่อนชาวพีทาโกรัสโยนลงทะเล 'เนื่องจากได้สร้างองค์ประกอบในจักรวาลซึ่งปฏิเสธ... หลักคำสอน ปรากฏการณ์ทั้งหมดในจักรวาลสามารถลดลงเป็นจำนวนเต็มและอัตราส่วนได้[ไม่] ว่าฮิปปาซัสจะส่งผลอะไรตามมาก็ตาม การค้นพบของเขาก่อให้เกิดปัญหาร้ายแรงต่อคณิตศาสตร์พีทาโกรัส เนื่องจากมันทำลายสมมติฐานที่ว่าตัวเลขและเรขาคณิตแยกจากกันไม่ได้ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีของพวกเขา
▲
●
เพลโต
ภาพโมเสค Academy ของ Plato - จาก Villa of T. Siminius Stephanus ในเมืองปอมเปอี ©Anonymous
387 BCE Jan 1

เพลโต

Athens, Greece
เพลโตมีความสำคัญในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในการสร้างแรงบันดาลใจและชี้แนะผู้อื่นPlatonic Academy ของเขาในกรุงเอเธนส์ กลายเป็นศูนย์กลางทางคณิตศาสตร์ของโลกในศตวรรษ [ที่] 4 ก่อนคริสตศักราช และจากโรงเรียนแห่งนี้เองที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ชั้นนำในยุคนั้น เช่น Eudoxus of Cnidus เข้ามา[32] เพลโตยังกล่าวถึงรากฐานของคณิตศาสตร์ [33] ชี้แจงคำจำกัดความบางส่วน (เช่น นิยามของเส้นตรงว่า "ยาวกว้าง") และจัดระเบียบสมมติฐานใหม่[34] วิธีการวิเคราะห์ถูกกำหนดให้เป็นของเพลโต ในขณะที่สูตรในการได้รับเลขสามเท่าของพีทาโกรัสมีชื่อของเขา[32]
▲
●
เรขาคณิตจีน
©HistoryMaps
330 BCE Jan 1

เรขาคณิตจีน

China
งานเรขาคณิตที่เก่าแก่ที่สุดที่มีอยู่ในประเทศจีน มาจากหลักปรัชญา Mohist canon c.330 ปีก่อนคริสตศักราช รวบรวมโดยสาวกของโมซี (470–390 ปีก่อนคริสตศักราช)โมจิงบรรยายแง่มุมต่างๆ ของหลายๆ สาขาวิชาที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์กายภาพ และจัดเตรียมทฤษฎีบทเรขาคณิตจำนวนเล็กน้อยด้วยเช่นกัน[77] นอกจากนี้ยังกำหนดแนวคิดเรื่องเส้นรอบวง เส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี และปริมาตรด้วย[78]
▲
●
ระบบทศนิยมจีน
©Anonymous
305 BCE Jan 1

ระบบทศนิยมจีน

Hunan, China
แผ่นไผ่ชิงหัวซึ่งมีตารางการคูณทศนิยมที่เก่าแก่ที่สุด (แม้ว่าชาวบาบิโลนโบราณจะมีฐานเป็น 60) มีอายุประมาณ 305 ปีก่อนคริสตศักราช และอาจเป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ของจีน[68] สิ่งที่น่าสังเกตเป็นพิเศษคือการใช้ระบบสัญลักษณ์แสดงตำแหน่งทศนิยมในคณิตศาสตร์จีน หรือที่เรียกว่า "ตัวเลขแบบแท่ง" ซึ่งใช้รหัสเฉพาะสำหรับตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 10 และรหัสเพิ่มเติมสำหรับเลขยกกำลังสิบ[69] ดังนั้น จึงให้เขียนเลข 123 โดยใช้สัญลักษณ์ "1" ตามด้วยสัญลักษณ์ "100" ตามด้วยสัญลักษณ์ "2" ตามด้วยสัญลักษณ์ "10" ตามด้วยสัญลักษณ์ " 3".นี่เป็นระบบตัวเลขที่ทันสมัยที่สุดในโลกในขณะนั้น เห็นได้ชัดว่ามีการใช้กันหลายศตวรรษก่อนยุคทั่วไป และก่อนที่จะมีการพัฒนาระบบตัวเลขของอินเดีย[76] เลขร็อดช่วยให้แสดงตัวเลขได้มากเท่าที่ต้องการ และอนุญาตให้คำนวณบนสวนกระทะหรือลูกคิดจีนได้สันนิษฐานว่าเจ้าหน้าที่ใช้ตารางสูตรคูณในการคำนวณพื้นที่ผิวดิน ผลผลิตพืชผล และจำนวนภาษีที่ค้างชำระ[68]
▲
●
คณิตศาสตร์กรีกกรีก
©Aleksandr Svedomskiy
300 BCE Jan 1

คณิตศาสตร์กรีกกรีก

Greece
ยุคขนมผสมน้ำยาเริ่มขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตศักราช หลังจากที่ อเล็กซานเดอร์มหาราช พิชิตทะเลเมดิเตอร์เรเนียนตะวันออกอียิปต์ เมโสโปเตเมีย ที่ราบสูง อิหร่าน เอเชียกลาง และบางส่วนของอินเดีย ซึ่งนำไปสู่การเผยแพร่ภาษาและวัฒนธรรมกรีกทั่วภูมิภาคเหล่านี้ .กรีกกลายเป็นภาษากลางของทุนการศึกษาทั่วโลกขนมผสมน้ำยา และคณิตศาสตร์ของยุคคลาสสิกได้รวมเข้ากับคณิตศาสตร์ของอียิปต์และบาบิโลนเพื่อก่อให้เกิดคณิตศาสตร์ขนมผสมน้ำยา[27]คณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ของกรีกถึงจุดสุดยอดในช่วงยุคขนมผสมน้ำยาและยุคโรมันตอนต้น และงานส่วนใหญ่ที่นำเสนอโดยนักเขียน เช่น Euclid (ชั้น 300 ปีก่อนคริสตศักราช), Archimedes (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสตศักราช), Apollonius (ประมาณ 240–190 คริสตศักราช), ฮิปปาร์คัส (ประมาณ 190–120 ปีก่อนคริสตศักราช) และปโตเลมี (ประมาณ 100–170 คริสตศักราช) อยู่ในระดับที่ก้าวหน้ามากและไม่ค่อยเชี่ยวชาญนอกวงกลมเล็ก ๆศูนย์การเรียนรู้หลายแห่งปรากฏขึ้นในช่วงยุคขนมผสมน้ำยา ซึ่งศูนย์ที่สำคัญที่สุดคือ Mouseion ในเมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอียิปต์ ซึ่งดึงดูดนักวิชาการจากทั่วโลกขนมผสมน้ำยา (ส่วนใหญ่เป็นชาวกรีก แต่ยังรวมถึงอียิปต์ ยิว เปอร์เซีย และอื่นๆ อีกมากมาย)[28] แม้ว่าจะมีจำนวนไม่มากนัก แต่นักคณิตศาสตร์ขนมผสมน้ำยาก็สื่อสารกันอย่างแข็งขันสิ่งพิมพ์ประกอบด้วยการส่งต่อและคัดลอกงานของใครบางคนในหมู่เพื่อนร่วมงาน[29]
▲
●
ยูคลิด
รายละเอียดความประทับใจของราฟาเอลที่มีต่อยุคลิด สอนนักเรียนในโรงเรียนแห่งเอเธนส์ (ค.ศ. 1509–1511) ©Raffaello Santi
300 BCE Jan 1

ยูคลิด

Alexandria, Egypt
ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตศักราช ศูนย์กลางการศึกษาและการวิจัยคณิตศาสตร์ชั้นนำคือพิพิธภัณฑ์อเล็กซานเดรีย[(36)] ที่นั่น Euclid (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตศักราช) สอนและเขียนเรื่อง Elements ซึ่งถือเป็นตำราเรียนที่ประสบความสำเร็จและมีอิทธิพลมากที่สุดตลอดกาล[35]ยุคลิดได้รับการยกย่องให้เป็น "บิดาแห่งเรขาคณิต" โดยส่วนใหญ่เป็นที่รู้จักจากบทความเกี่ยวกับองค์ประกอบ ซึ่งวางรากฐานของเรขาคณิตซึ่งครอบงำสาขาวิชานี้มาจนถึงต้นศตวรรษที่ 19ระบบของเขาซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดนั้นเกี่ยวข้องกับนวัตกรรมใหม่ๆ ร่วมกับการสังเคราะห์ทฤษฎีจากนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกรุ่นก่อนๆ รวมถึง Eudoxus of Cnidus, Hippocrates of Chios, Thales และ Theaetetusด้วยอาร์คิมิดีสและอพอลโลเนียสแห่งเปอร์กา โดยทั่วไปยุคลิดถือเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในยุคโบราณ และเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์องค์ประกอบต่างๆ นำเสนอความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ผ่านวิธีสัจพจน์ และเป็นตัวอย่างแรกสุดของรูปแบบที่ยังคงใช้ในคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ได้แก่ คำจำกัดความ สัจพจน์ ทฤษฎีบท และการพิสูจน์แม้ว่าเนื้อหาส่วนใหญ่ขององค์ประกอบต่างๆ จะเป็นที่รู้จักอยู่แล้ว แต่ Euclid ได้จัดองค์ประกอบเหล่านั้นให้เป็นกรอบตรรกะเดียวและสอดคล้องกัน[37] นอกเหนือจากทฤษฎีบทที่คุ้นเคยของเรขาคณิตแบบยุคลิดแล้ว องค์ประกอบต่างๆ ยังหมายถึงเป็นหนังสือเรียนเบื้องต้นสำหรับวิชาทางคณิตศาสตร์ทุกวิชาในสมัยนั้น เช่น ทฤษฎีจำนวน พีชคณิต และเรขาคณิตทึบ [37] รวมถึงการพิสูจน์ว่ารากที่สองของทั้งสอง ไม่มีเหตุผลและมีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์ยุคลิดยังเขียนหัวข้ออื่นๆ อย่างกว้างขวาง เช่น ภาคตัดกรวย เลนส์ เรขาคณิตทรงกลม และกลศาสตร์ แต่งานเขียนของเขาเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่รอดชีวิต[38]อัลกอริธึมแบบยุคลิดเป็นหนึ่งในอัลกอริธึมที่เก่าแก่ที่สุดที่ใช้กันทั่วไป[93] ปรากฏใน Euclid's Elements (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตศักราช) โดยเฉพาะในเล่ม 7 (ข้อเสนอ 1–2) และเล่ม 10 (ข้อเสนอ 2–3)ในเล่ม 7 อัลกอริธึมถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนเต็ม ในขณะที่เล่ม 10 ถูกกำหนดไว้สำหรับความยาวของส่วนของเส้นตรงหลายศตวรรษต่อมา อัลกอริธึมของ Euclid ถูกค้นพบอย่างอิสระทั้งในอินเดียและจีน [94] มีวัตถุประสงค์หลักในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ที่เกิดขึ้นในดาราศาสตร์และสร้างปฏิทินที่แม่นยำ
▲
●
อาร์คิมีดีส
©Anonymous
287 BCE Jan 1

อาร์คิมีดีส

Syracuse, Free municipal conso
อาร์คิมีดีสแห่งซีราคิวส์ได้รับการยกย่องว่าเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ชั้นนำในยุคคลาสสิกถือเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ยุคโบราณและเป็นหนึ่งในผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล [42] อาร์คิมิดีสคาดการณ์แคลคูลัสและการวิเคราะห์สมัยใหม่โดยใช้แนวคิดเรื่องเล็กไม่สิ้นสุดและวิธีการของความอ่อนล้าเพื่อหาและพิสูจน์ช่วงของทฤษฎีบททางเรขาคณิตอย่างเข้มงวด[43] ได้แก่ พื้นที่วงกลม พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม พื้นที่วงรี พื้นที่ใต้พาราโบลา ปริมาตรของส่วนของพาราโบลาของการปฏิวัติ ปริมาตรของส่วนของ ไฮเพอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติ และพื้นที่ของเกลียว[44]ความสำเร็จทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ของอาร์คิมิดีส ได้แก่ การได้ค่าประมาณของพาย การกำหนดและตรวจสอบเกลียวอาร์คิมีดีน และการสร้างระบบโดยใช้การยกกำลังเพื่อแสดงจำนวนที่มากเขายังเป็นคนแรกๆ ที่ใช้คณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ทางกายภาพ โดยทำงานเกี่ยวกับสถิตศาสตร์และอุทกสถิตความสำเร็จของอาร์คิมิดีสในด้านนี้รวมถึงการพิสูจน์กฎของคันโยก [45] การใช้แนวคิดเรื่องจุดศูนย์ถ่วงอย่างแพร่หลาย [46] และการประกาศกฎการลอยตัวหรือหลักการของอาร์คิมิดีสอาร์คิมิดีสเสียชีวิตระหว่างการปิดล้อมเมืองซีราคิวส์ เมื่อเขาถูกสังหารโดยทหารโรมัน แม้จะมีคำสั่งไม่ให้ทำอันตรายก็ตาม
▲
●
คำอุปมาของ Apollonius
©Domenico Fetti
262 BCE Jan 1

คำอุปมาของ Apollonius

Aksu/Antalya, Türkiye
Apollonius of Perga (ประมาณ 262–190 ปีก่อนคริสตศักราช) มีความก้าวหน้าอย่างมากในการศึกษาหน้าตัดทรงกรวย โดยแสดงให้เห็นว่าคนๆ หนึ่งสามารถรับหน้าตัดทรงกรวยทั้งสามแบบได้โดยการเปลี่ยนมุมของระนาบที่ตัดกรวยที่หักสองครั้ง[47] นอกจากนี้ เขายังบัญญัติคำศัพท์ที่ใช้อยู่ในปัจจุบันสำหรับภาคตัดกรวย เช่น พาราโบลา ("สถานที่ข้าง" หรือ "การเปรียบเทียบ"), "วงรี" ("ข้อบกพร่อง") และ "ไฮเปอร์โบลา" ("การโยนไกลออกไป")[48] ​​งานของเขา โคนิกส์ เป็นผลงานทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและอนุรักษ์ไว้เป็นอย่างดีชิ้นหนึ่งตั้งแต่สมัยโบราณ และในผลงานนี้เขามีทฤษฎีบทมากมายเกี่ยวกับภาคตัดทรงกรวยซึ่งจะพิสูจน์ได้ว่ามีคุณค่าอันล้ำค่าสำหรับนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์รุ่นหลังที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ เช่น ไอแซก นิวตันแม้ว่าทั้ง Apollonius และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกคนอื่นๆ จะไม่ก้าวกระโดดเพื่อประสานเรขาคณิต แต่การรักษาเส้นโค้งของ Apollonius ก็มีความคล้ายคลึงกับการรักษาในปัจจุบัน และงาน [บาง] ส่วนของเขาดูเหมือนว่าจะคาดการณ์การพัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์โดย Descartes ประมาณปี ค.ศ. 1800 ปีต่อมา[50]
▲
●
เก้าบทเกี่ยวกับศิลปะทางคณิตศาสตร์
©Luo Genxing
200 BCE Jan 1

เก้าบทเกี่ยวกับศิลปะทางคณิตศาสตร์

China
ในปี 212 ก่อนคริสตศักราช จักรพรรดิจิ๋นซีฮ่องเต้ทรงบัญชาให้เผาหนังสือทุกเล่มใน จักรวรรดิฉิน นอกเหนือจากหนังสือที่ได้รับอนุมัติอย่างเป็นทางการพระราชกฤษฎีกานี้ไม่ได้รับการเชื่อฟังในระดับสากล แต่ด้วยผลที่ตามมาของคำสั่งนี้ จึงไม่ค่อยมีใครทราบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์จีน โบราณก่อนวันที่นี้หลังจากการเผาหนังสือเมื่อ 212 ปีก่อนคริสตศักราช ราชวงศ์ฮั่น (202 ปีก่อนคริสตศักราช–220 สากลศักราช) ได้ผลิตผลงานทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสันนิษฐานว่าขยายออกไปถึงผลงานที่สูญหายไปในปัจจุบันหลังจากการเผาหนังสือเมื่อ 212 ปีก่อนคริสตศักราช ราชวงศ์ฮั่น (202 ปีก่อนคริสตศักราช–220 สากลศักราช) ได้ผลิตผลงานทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสันนิษฐานว่าขยายออกไปถึงผลงานที่สูญหายไปในปัจจุบันสิ่งที่สำคัญที่สุดคือ The Nine Chapters on the Mathematical Art ซึ่งมีชื่อเต็มปรากฏโดย CE 179 แต่มีบางส่วนอยู่ภายใต้ชื่ออื่นๆ ก่อนหน้านี้ประกอบด้วยโจทย์ปัญหา 246 คำที่เกี่ยวข้องกับเกษตรกรรม ธุรกิจ การใช้เรขาคณิตเพื่อคำนวณช่วงความสูงและอัตราส่วนขนาดสำหรับเจดีย์จีน วิศวกรรม การสำรวจ และรวมเนื้อหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก[79] มันสร้างการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัส [81] และสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับการกำจัดแบบเกาส์เซียน[80] บทความยังระบุค่า π อีกด้วย [79] ซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวจีนเดิมประมาณ 3 จนกระทั่ง Liu Xin (ส.ศ. 23) ให้ค่าเป็น 3.1457 และต่อมา Zhang Heng (78–139) ประมาณ pi เป็น 3.1724, [ 82] เช่นเดียวกับ 3.162 โดยการหารากที่สองของ 10 [83]จำนวนลบปรากฏเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ในเก้าบทของศิลปะคณิตศาสตร์ แต่อาจมีเนื้อหาที่เก่ากว่ามาก[84] นักคณิตศาสตร์ หลิว หุย (ประมาณศตวรรษที่ 3) ได้กำหนดกฎสำหรับการบวกและการลบจำนวนลบ
▲
●
ฮิปปาคัสและตรีโกณมิติ
“ฮิปปาคัสในหอดูดาวแห่งอเล็กซานเดรีย”ประวัติศาสตร์โลกของ Ridpathพ.ศ. 2437 ©John Clark Ridpath
190 BCE Jan 1

ฮิปปาคัสและตรีโกณมิติ

İznik, Bursa, Türkiye
โดยทั่วไปศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตศักราชถือเป็น "ยุคทอง" ของคณิตศาสตร์กรีก โดยต่อจากนี้ไปความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์จะค่อยๆถดถอยลง[51] อย่างไรก็ตาม ในหลายศตวรรษต่อมามีความก้าวหน้าครั้งสำคัญในด้านคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติ ส่วนใหญ่เป็นไปเพื่อตอบสนองความต้องการของนักดาราศาสตร์[51] Hipparchus of Nicaea (ประมาณ 190–120 ปีก่อนคริสตศักราช) ถือเป็นผู้ก่อตั้งวิชาตรีโกณมิติสำหรับการรวบรวมตารางตรีโกณมิติแรกที่รู้จัก และสำหรับเขาแล้วยังเนื่องมาจากการใช้วงกลม 360 องศาอย่างเป็นระบบ[52]
▲
●
Almagest ของทอเลมี
©Anonymous
100 Jan 1

Almagest ของทอเลมี

Alexandria, Egypt
ในคริสต์ศตวรรษที่ 2 ปโตเลมี นักดาราศาสตร์ชาวกรีก-อียิปต์ (จากอเล็กซานเดรีย อียิปต์) ได้สร้างตารางตรีโกณมิติโดยละเอียด (ตารางคอร์ดของปโตเลมี) ในเล่ม 1 บทที่ 11 ของ Almagest ของเขาปโตเลมีใช้ความยาวคอร์ดเพื่อกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติของเขา ซึ่งแตกต่างเล็กน้อยจากแบบแผนไซน์ที่เราใช้ในปัจจุบันหลายศตวรรษผ่านไปก่อนที่จะมีการสร้างตารางที่มีรายละเอียดมากขึ้น และบทความของปโตเลมียังคงใช้ในการคำนวณตรีโกณมิติทางดาราศาสตร์ตลอดอีก 1,200 ปีข้างหน้าในโลกไบแซนไทน์ยุคกลาง อิสลาม และต่อมาในโลกยุโรปตะวันตกปโตเลมียังได้รับเครดิตจากทฤษฎีบทของปโตเลมีในการหาปริมาณตรีโกณมิติ และค่า π ที่แม่นยำที่สุดนอกประเทศจีนจนถึงยุคกลางคือ 3.1416[63]
▲
●
ทฤษฎีบทส่วนที่เหลือของจีน
©张文新
200 Jan 1

ทฤษฎีบทส่วนที่เหลือของจีน

China
ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนระบุว่า ถ้าใครทราบเศษเหลือของการหารแบบยุคลิดของจำนวนเต็ม n ด้วยจำนวนเต็มหลายตัว เราจะสามารถระบุเศษเหลือของการหาร n ด้วยผลคูณของจำนวนเต็มเหล่านี้ได้โดยเฉพาะ ภายใต้เงื่อนไขที่ว่า ตัวหารเป็นโคไพรม์คู่ (ไม่มีตัวหารสองตัวที่มีตัวหารร่วมร่วมกันนอกจาก 1)คำแถลงทฤษฎีบทที่รู้จักกันเร็วที่สุดคือโดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีน Sun-tzu ใน Sun-tzu Suan-ching ในศตวรรษที่ 3 CE
▲
●
การวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์
©Tom Lovell
200 Jan 1

การวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์

Alexandria, Egypt
หลังจากช่วงเวลาแห่งความซบเซาหลังจากปโตเลมี ช่วงระหว่างคริสตศักราช 250 ถึง 350 บางครั้งเรียกว่า "ยุคเงิน" ของคณิตศาสตร์กรีกใน [ช่วง] เวลานี้ ไดโอแฟนตัสมีความก้าวหน้าอย่างมากในพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งการวิเคราะห์ที่ไม่แน่นอน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า "การวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์"[54] การศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์และการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์เป็นงานวิจัยที่สำคัญมาจนถึงทุกวันนี้งานหลักของเขาคือ Arithmetica ซึ่งเป็นชุดของปัญหาพีชคณิต 150 ข้อที่เกี่ยวข้องกับคำตอบที่แน่นอนสำหรับสมการที่กำหนดและสมการไม่แน่นอน[เลขคณิต] มีอิทธิพลสำคัญต่อนักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง เช่น ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ ซึ่งมาถึงทฤษฎีบทสุดท้ายอันโด่งดังของเขาหลังจากพยายามสรุปปัญหาที่เขาอ่านในเลขคณิต (นั่นคือการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองสี่เหลี่ยม)นอกจาก [นี้] ไดโอแฟนตัสยังมีความก้าวหน้าอย่างมากในด้านสัญกรณ์ โดยเลขคณิตถือเป็นตัวอย่างแรกของสัญลักษณ์พีชคณิตและการประสานกัน[55]
▲
●
เรื่องราวของศูนย์
©HistoryMaps
224 Jan 1

เรื่องราวของศูนย์

India
ตัวเลขของอียิปต์ โบราณเป็นฐาน 10 ใช้อักษรอียิปต์โบราณเป็นตัวเลขและไม่ได้ระบุตำแหน่งในช่วงกลางสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสตศักราช คณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนมีระบบเลขฐาน 60 ที่ซับซ้อนการไม่มีค่าตำแหน่ง (หรือศูนย์) ถูกระบุด้วยช่องว่างระหว่างเลขฐานสิบหกปฏิทินนับยาวเมโสอเมริกาที่พัฒนาขึ้นในเม็กซิโกตอนกลางตอนใต้และอเมริกากลาง กำหนดให้ใช้ศูนย์เป็นตัวยึดตำแหน่งภายในระบบตัวเลขตำแหน่ง vigesimal (ฐาน 20)แนวคิดเรื่องศูนย์เป็นตัวเลขที่เขียนในรูปแบบค่าตำแหน่งทศนิยมได้รับการพัฒนาในอินเดีย[65] สัญลักษณ์สำหรับศูนย์ ซึ่งเป็นจุดขนาดใหญ่ที่น่าจะเป็นผู้นำของสัญลักษณ์กลวงที่ยังคงอยู่ ถูกนำมาใช้ตลอดทั้งต้นฉบับ Bakhshali ซึ่งเป็นคู่มือเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับเลขคณิตสำหรับพ่อค้าใน [ปี] 2017 มีการแสดงตัวอย่างสามตัวอย่างจากต้นฉบับโดยระบุอายุของเรดิโอคาร์บอนที่มาจากสามศตวรรษที่แตกต่างกัน: ตั้งแต่ CE 224–383, CE 680–779 และ CE 885–993 ทำให้เป็นการใช้ศูนย์ที่เก่าแก่ที่สุดในเอเชียใต้ที่บันทึกไว้ เครื่องหมาย.ไม่มีใครรู้ว่าเศษเปลือกไม้เบิร์ชจากหลายศตวรรษที่สร้างต้นฉบับมารวมกันได้อย่างไร[67] กฎเกณฑ์การใช้ศูนย์ปรากฏในคัมภีร์พรหมบุตรสิทธันตะของพระพรหมคุปตะ (ศตวรรษที่ 7) ซึ่งระบุผลรวมของศูนย์โดยตัวมันเองเป็นศูนย์ และหารด้วยศูนย์อย่างไม่ถูกต้องดังนี้จำนวนบวกหรือลบเมื่อหารด้วยศูนย์จะเป็นเศษส่วนโดยมีศูนย์เป็นตัวส่วนศูนย์หารด้วยจำนวนลบหรือบวกจะเป็นศูนย์หรือแสดงเป็นเศษส่วนโดยมีศูนย์เป็นตัวเศษและปริมาณจำกัดเป็นตัวส่วนศูนย์หารด้วยศูนย์ก็คือศูนย์
▲
●
ไฮพาเทีย
©Julius Kronberg
350 Jan 1

ไฮพาเทีย

Alexandria, Egypt
นักคณิตศาสตร์หญิงคนแรกที่บันทึกไว้ในประวัติศาสตร์คือ Hypatia of Alexandria (CE 350–415)เธอเขียนผลงานมากมายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ประยุกต์เนื่องจากความขัดแย้งทางการเมือง ชุมชน คริสเตียน ในอเล็กซานเดรียจึงได้ถอดเสื้อผ้าของเธอออกสู่สาธารณะและประหารชีวิตการตายของเธอบางครั้งถือเป็นการสิ้นสุดยุคของคณิตศาสตร์กรีกอเล็กซานเดรีย แม้ว่างานจะดำเนินต่อไปในกรุงเอเธนส์อีกศตวรรษด้วยบุคคลเช่น Proclus, Simplicius และ Eutocius[57] แม้ว่า Proclus และ Simplicius จะเป็นนักปรัชญามากกว่านักคณิตศาสตร์ แต่ข้อคิดเห็นของพวกเขาเกี่ยวกับผลงานในยุคก่อนๆ ก็เป็นแหล่งข้อมูลอันทรงคุณค่าของคณิตศาสตร์กรีกการปิดสถาบันนีโอพลาโทนิกแห่งเอเธนส์โดยจักรพรรดิ จัสติเนียน ในปี ส.ศ. 529 ถือเป็นการสิ้นสุดยุคคณิตศาสตร์กรีก แม้ว่าประเพณีกรีกจะยังคงไม่ขาดตอนในจักรวรรดิไบแซนไทน์ร่วมกับนักคณิตศาสตร์ เช่น Anthemius of Tralles และ Isidore ของมิเลทัส สถาปนิกแห่งสุเหร่าโซเฟีย[อย่างไรก็ตาม] คณิตศาสตร์ไบแซนไทน์ประกอบด้วยข้อคิดเห็นเป็นส่วนใหญ่ โดยแทบไม่มีสิ่งที่เป็นนวัตกรรมเลย และศูนย์กลางของนวัตกรรมทางคณิตศาสตร์ก็พบได้ที่อื่นในเวลานี้[59]
▲
●
Play button
505 Jan 1

ตรีโกณมิติอินเดีย

Patna, Bihar, India
รูปแบบไซน์สมัยใหม่ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกในเทพสิทธันตะ (แสดงอิทธิพลของขนมผสมน้ำยาที่รุนแรง) [64] และคุณสมบัติของมันได้รับการบันทึกไว้เพิ่มเติมโดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภาตะ ในศตวรรษที่ 5 (CE)[60] เทพสิทธันตะอธิบายกฎเกณฑ์ในการคำนวณการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์และดวงจันทร์ต่างๆ สัมพันธ์กับกลุ่มดาวต่างๆ เส้นผ่านศูนย์กลางของดาวเคราะห์ต่างๆ และคำนวณวงโคจรของวัตถุทางดาราศาสตร์ต่างๆข้อความนี้เป็นที่รู้จักจากการอภิปรายที่เก่าแก่ที่สุดเกี่ยวกับเศษส่วนของเลขฐานสิบหกและฟังก์ชันตรีโกณมิติ[61]
▲
●
Play button
510 Jan 1

ระบบทศนิยมของอินเดีย

India
ประมาณคริสตศักราช 500 พระอารยภาตได้เขียนอารยภาตติยะซึ่งเป็นเล่มบางที่เขียนเป็นกลอน มีจุดมุ่งหมายเพื่อเสริมกฎการคำนวณที่ใช้ในดาราศาสตร์และการคำนวณทางคณิตศาสตร์[62] แม้ว่าประมาณครึ่งหนึ่งของรายการจะผิด แต่ในระบบอารยภาติยะนั้นระบบค่าตำแหน่งทศนิยมปรากฏขึ้นเป็นครั้งแรก
▲
●
Play button
780 Jan 1

มุฮัมมัด อิบนุ มูซา อัล-ควาริซมี

Uzbekistan
ในศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī ได้เขียนหนังสือเล่มสำคัญเกี่ยวกับตัวเลขฮินดู-อารบิกและอีกเล่มหนึ่งเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการหนังสือของเขาเกี่ยวกับการคำนวณด้วยตัวเลขฮินดูซึ่งเขียนเกี่ยวกับ 825 พร้อมกับงานของ Al-Kindi เป็นเครื่องมือสำคัญในการเผยแพร่คณิตศาสตร์อินเดียและตัวเลขอินเดียไปทางตะวันตกอัลกอริทึมคำมาจากภาษาละตินของชื่อ Algoritmi และคำว่าพีชคณิตจากชื่อผลงานชิ้นหนึ่งของเขา Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala (หนังสือประกอบการคำนวณโดย ความสมบูรณ์และการทรงตัว).เขาให้คำอธิบายอย่างละเอียดถี่ถ้วนสำหรับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิตของสมการกำลังสองที่มีรากเป็นบวก [87] และเขาเป็นคนแรกที่สอนพีชคณิตในรูปแบบพื้นฐานและเพื่อประโยชน์ของตัวมันเอง[88] นอกจากนี้ เขายังกล่าวถึงวิธีการพื้นฐานของ "การลดลง" และ "ความสมดุล" ซึ่งหมายถึงการย้ายพจน์ที่ลบออกไปยังอีกด้านหนึ่งของสมการ นั่นคือ การยกเลิกเงื่อนไขที่เหมือนกันบนด้านตรงข้ามของสมการนี่คือการดำเนินการที่ al-Khwārizmī เดิมอธิบายว่าเป็น al-jabr[89] พีชคณิตของเขาไม่เกี่ยวข้องกับ "ปัญหาต่างๆ ที่ต้องแก้ไขอีกต่อไป แต่คำอธิบายที่เริ่มต้นด้วยคำศัพท์ดั้งเดิมซึ่งการรวมกันจะต้องให้ต้นแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการ ซึ่งต่อจากนี้ไปถือเป็นเป้าหมายที่แท้จริงของการศึกษาอย่างชัดเจน "นอกจากนี้เขายังศึกษาสมการเพื่อประโยชน์ของตัวมันเองและ "ในลักษณะทั่วไป ตราบเท่าที่มันไม่ได้เกิดขึ้นง่ายๆ ในการแก้ปัญหา[90]
▲
●
อบู คามิล
©Davood Diba
850 Jan 1

อบู คามิล

Egypt
อบู กามิล ชูจาʿ อิบัน อัสลาม บิน มูฮัมหมัด อิบัน ชูจาʿ เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์ ผู้มีชื่อเสียงในช่วงยุคทองของอิสลามเขาถือเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่ใช้และยอมรับจำนวนอตรรกยะเป็นคำตอบและสัมประสิทธิ์ของสมการอย่างเป็นระบบ[ต่อ] มาเทคนิคทางคณิตศาสตร์ของเขาถูกนำมาใช้โดยฟีโบนัชชี ซึ่งทำให้อาบู คามิลมีส่วนสำคัญในการแนะนำพีชคณิตสู่ยุโรป[92]
▲
●
มายันคณิต
©Louis S. Glanzman
900 Jan 1

มายันคณิต

Mexico
ในทวีปอเมริกาก่อนโคลัมเบีย อารยธรรมมายาที่เจริญรุ่งเรืองใน เม็กซิโก และอเมริกากลางในช่วงสหัสวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช ได้พัฒนาประเพณีทางคณิตศาสตร์ที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว เนื่องจากการแยกตัวทางภูมิศาสตร์ ทำให้ไม่ขึ้นอยู่กับคณิตศาสตร์ของยุโรปอียิปต์ และเอเชียโดยสิ้นเชิง[เลข] มายาใช้ฐาน 20 ซึ่งเป็นระบบ vigesimal แทนที่จะเป็นฐาน 10 ซึ่งเป็นพื้นฐานของระบบทศนิยมที่ใช้ในวัฒนธรรมสมัยใหม่ส่วนใหญ่[92] ชาวมายาใช้คณิตศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินมายารวมทั้งทำนายปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ในดาราศาสตร์มายาพื้นเมืองของพวกเขา[92] แม้ว่าจะต้องอนุมานแนวคิดเรื่องศูนย์ในคณิตศาสตร์ของวัฒนธรรมร่วมสมัยหลายแห่ง แต่มายาก็ได้พัฒนาสัญลักษณ์มาตรฐานขึ้นมา[92]
▲
●
อัล-การาจี
©Osman Hamdi Bey
953 Jan 1

อัล-การาจี

Karaj, Alborz Province, Iran
Abū Bakr Muḥammad ibn al Ḥasan al-Karajī เป็นนักคณิตศาสตร์และวิศวกร ชาวเปอร์เซีย ในศตวรรษที่ 10 ผู้มีความเจริญรุ่งเรืองในกรุงแบกแดดเขาเกิดที่เมืองการาจ เมืองใกล้กับกรุงเตหะรานผลงานหลักสามชิ้นของเขาที่ยังมีชีวิตอยู่คือคณิตศาสตร์: Al-Badi 'fil'l-hisab (มหัศจรรย์แห่งการคำนวณ), Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala (รุ่งโรจน์ในพีชคณิต) และ Al-Kafi fi'l- ฮิซับ (เพียงพอในการคำนวณ)Al-Karaji เขียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์บางคนคิดว่าเขาเป็นเพียงการนำแนวคิดของผู้อื่นมาปรับปรุงใหม่ (เขาได้รับอิทธิพลจากไดโอแฟนทัส) แต่ส่วนใหญ่ถือว่าเขาเป็นคนที่มีความคิดริเริ่มมากกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงเริ่มต้นของการปลดปล่อยพีชคณิตจากเรขาคณิตในบรรดานักประวัติศาสตร์ ผลงานที่มีการศึกษาอย่างกว้างขวางที่สุดของเขาคือหนังสือพีชคณิตของเขา al-fakhri fi al-jabr wa al-muqabala ซึ่งรอดพ้นจากยุคกลางมาอย่างน้อยสี่เล่มงานของเขาเกี่ยวกับพีชคณิตและพหุนามได้ให้กฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สำหรับการบวก ลบ และคูณพหุนาม;แม้ว่าเขาจะถูกจำกัดให้หารพหุนามด้วย monomials
▲
●
พีชคณิตจีน
©Anonymous Chinese artist of the Song Dynasty
960 Jan 1 - 1279

พีชคณิตจีน

China
จุดสูงสุดของคณิตศาสตร์จีน เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 13 ในช่วงครึ่งหลังของราชวงศ์ซ่ง (960–1279) โดยมีพัฒนาการของพีชคณิตจีนข้อความที่สำคัญที่สุดในช่วงเวลานั้นคือกระจกอันล้ำค่าขององค์ประกอบทั้งสี่โดย Zhu Shijie (1249–1314) เกี่ยวกับการแก้สมการพีชคณิตลำดับที่สูงกว่าพร้อมกันโดยใช้วิธีที่คล้ายกับวิธีของ Hornerกระจกอัน [ล้ำค่า] ยังมีแผนภาพของสามเหลี่ยมปาสคาลที่มีค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทวินามผ่านยกกำลังที่ 8 แม้ว่าทั้งสองจะปรากฏในงานเขียนของจีนในช่วงต้นปี ค.ศ. 1100 ก็ตาม [71] ชาวจีนยังใช้แผนภาพเชิงซ้อนที่ซับซ้อนซึ่งเรียกว่า จัตุรัสเวทมนตร์และวงกลมเวทมนตร์ อธิบายไว้ในสมัยโบราณและปรับปรุงโดย Yang Hui (CE 1238–1298)[71]คณิตศาสตร์ญี่ปุ่น คณิตศาสตร์เกาหลี และคณิตศาสตร์ เวียดนาม มักถูกมองว่ามีต้นกำเนิดมาจากคณิตศาสตร์จีน และเป็นส่วนหนึ่งของวัฒนธรรมเอเชียตะวันออกที่มีรากฐานมาจากลัทธิขงจื๊อ[72] คณิตศาสตร์ของเกาหลีและญี่ปุ่นได้รับอิทธิพลอย่างมากจากผลงานพีชคณิตที่ผลิตในสมัยราชวงศ์ซ่งของจีน ในขณะที่คณิตศาสตร์ของเวียดนามเป็นหนี้บุญคุณอย่างมากต่อผลงานยอดนิยมของ ราชวงศ์หมิง ของจีน (ค.ศ. 1368–1644)[73] ตัวอย่างเช่น แม้ว่าบทความทางคณิตศาสตร์ของเวียดนามจะเขียนด้วยภาษาจีนหรือสคริปต์ Chữ Nôm ของเวียดนาม แต่บทความทั้งหมดก็ใช้รูปแบบภาษาจีนในการนำเสนอชุดปัญหาด้วยอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา ตามด้วยคำตอบที่เป็นตัวเลข[74] คณิตศาสตร์ในเวียดนามและเกาหลีส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับระบบราชการในศาลวิชาชีพของนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ ในขณะที่ในญี่ปุ่นแพร่หลายมากกว่าในขอบเขตของโรงเรียนเอกชน[75]
▲
●
ตัวเลขฮินดูอารบิก
นักวิชาการ ©Ludwig Deutsch
974 Jan 1

ตัวเลขฮินดูอารบิก

Toledo, Spain
ชาวยุโรปเรียนรู้เกี่ยวกับเลขอารบิกเมื่อประมาณศตวรรษที่ 10 แม้ว่าการแพร่กระจายของพวกเขาจะเป็นกระบวนการที่ค่อยเป็นค่อยไปสองศตวรรษต่อมา ในเมือง Béjaïa ของแอลจีเรีย นักวิชาการชาวอิตาลีชื่อ Fibonacci ได้พบตัวเลขเป็นครั้งแรกงานของเขามีส่วนสำคัญในการทำให้พวกเขาเป็นที่รู้จักไปทั่วยุโรปการค้า หนังสือ และลัทธิล่าอาณานิคมของยุโรปช่วยทำให้การยอมรับเลขอารบิกแพร่หลายไปทั่วโลกตัวเลขพบว่ามีการใช้ทั่วโลกอย่างมีนัยสำคัญนอกเหนือจากการแพร่กระจายของอักษรละตินในปัจจุบัน และกลายเป็นเรื่องธรรมดาในระบบการเขียนที่ระบบตัวเลขอื่น ๆ มีอยู่ก่อนหน้านี้ เช่น ตัวเลขจีนและญี่ปุ่นการกล่าวถึงตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ครั้งแรกในฝั่งตะวันตกพบได้ใน Codex Vigilanus ของปี 976 ซึ่งเป็นคอลเลกชั่นเอกสารทางประวัติศาสตร์ต่างๆ ที่ครอบคลุมช่วงเวลาตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงศตวรรษที่ 10 ในฮิสปาเนีย[68]
▲
●
เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี
ภาพเหมือนของชายชาวอิตาลียุคกลาง ©Vittore Carpaccio
1202 Jan 1

เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี

Pisa, Italy
ในศตวรรษที่ 12 นักวิชาการชาวยุโรปเดินทางไปสเปนและซิซิลีเพื่อแสวงหาตำราภาษาอาหรับเชิงวิทยาศาสตร์ รวมถึง The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing ของ al-Khwārizmī แปลเป็นภาษาละตินโดย Robert of Chester และข้อความฉบับสมบูรณ์ของ Euclid's Elements ซึ่งแปลเป็นภาษาต่างๆ เวอร์ชันโดย Adelard of Bath, Herman of Carinthia และ Gerard of Cremona[95] แหล่งข้อมูลใหม่เหล่านี้และแหล่งอื่นๆ จุดประกายให้คณิตศาสตร์เกิดใหม่เลโอนาร์โดแห่งปิซาซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ Fibonacci ได้เรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลขฮินดู-อารบิกโดยบังเอิญในการเดินทางไปยังเมืองเบจายา ประเทศแอลจีเรียกับพ่อที่เป็นพ่อค้า(ยุโรปยังคงใช้เลขโรมัน) ที่นั่น เขาสังเกตเห็นระบบเลขคณิต (โดยเฉพาะ algorism) ซึ่งเนื่องจากการระบุตำแหน่งของตัวเลขฮินดู-อารบิกนั้นมีประสิทธิภาพมากกว่าและอำนวยความสะดวกทางการค้าอย่างมากในไม่ช้าเขาก็ตระหนักถึงข้อดีหลายประการของระบบฮินดู-อารบิก ซึ่งแตกต่างจากเลขโรมันที่ใช้ในขณะนั้น ช่วยให้คำนวณได้ง่ายโดยใช้ระบบค่าตำแหน่งเลโอนาร์โดเขียน Liber Abaci ในปี ค.ศ. 1202 (ปรับปรุงในปี ค.ศ. 1254) โดยแนะนำเทคนิคนี้ไปยังยุโรปและเริ่มแพร่หลายเป็นเวลานานหนังสือเล่มนี้ยังได้นำเสนอสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันว่าเป็นลำดับฟีโบนัชชี (นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียรู้จักมาเป็นเวลาหลายร้อยปีก่อนหน้านั้น) [96] ซึ่งฟีโบนัชชีใช้เป็นตัวอย่างที่ไม่ธรรมดา
▲
●
ซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด
©Veloso Salgado
1350 Jan 1

ซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

Kerala, India
อาร์คิมิดีสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกได้ประดิษฐ์ผลรวมของอนุกรมอนันต์ที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกด้วยวิธีการที่ยังคงใช้ในพื้นที่ของแคลคูลัสในปัจจุบันเขาใช้วิธีผ่อนแรงเพื่อคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของพาราโบลาด้วยผลรวมของอนุกรมอนันต์ และให้การประมาณค่า π ที่แม่นยำอย่างน่าทึ่ง[86] โรงเรียน Kerala ได้มีส่วนร่วมในสาขาของอนุกรมอนันต์และแคลคูลัสเป็นจำนวนมาก
▲
●
ทฤษฎีความน่าจะเป็น
เจอโรม คาร์ดาโน ©R. Cooper
1564 Jan 1

ทฤษฎีความน่าจะเป็น

Europe
ทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่มีรากฐานมาจากความพยายามในการวิเคราะห์เกมแห่งโอกาสโดย Gerolamo Cardano ในศตวรรษที่ 16 และโดย Pierre de Fermat และ Blaise Pascal ในศตวรรษที่ 17 (เช่น "ปัญหาของคะแนน")[105] Christiaan Huygens ตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1657 [106] ในศตวรรษที่ 19 สิ่งที่ถือว่าเป็นคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นได้เสร็จสิ้นโดย Pierre Laplace[107]ในขั้นต้น ทฤษฎีความน่าจะเป็นพิจารณาเหตุการณ์ที่ไม่ต่อเนื่องเป็นส่วนใหญ่ และวิธีการของทฤษฎีนั้นส่วนใหญ่เป็นการรวมกันในที่สุดการพิจารณาเชิงวิเคราะห์ก็บังคับให้มีการรวมตัวแปรต่อเนื่องเข้ากับทฤษฎีสิ่งนี้นำไปสู่ทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่บนรากฐานที่ Andrey Nikolaevich Kolmogorov วางไว้Kolmogorov รวมแนวคิดเกี่ยวกับพื้นที่ตัวอย่างซึ่งแนะนำโดย Richard von Mises และทฤษฎีการวัด และนำเสนอระบบสัจพจน์ของเขาสำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นในปี 1933 สิ่งนี้กลายเป็นพื้นฐานความจริงที่ไม่มีปัญหาสำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่แต่มีทางเลือกอื่นอยู่ เช่น การนำการบวกแบบจำกัดมากกว่าการบวกแบบนับได้มาใช้โดยบรูโน เดอ ฟิเน็ตติ[108]
▲
●
ลอการิทึม
โยฮันเนส เคปเลอร์ ©August Köhler
1614 Jan 1

ลอการิทึม

Europe
ศตวรรษที่ 17 ความคิดทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เพิ่มขึ้นเป็นประวัติการณ์ทั่วยุโรปกาลิเลโอสังเกตดวงจันทร์ของดาวพฤหัสบดีในวงโคจรรอบดาวเคราะห์ดวงนั้น โดยใช้กล้องโทรทรรศน์ของ Hans LipperheyTycho Brahe ได้รวบรวมข้อมูลทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่อธิบายตำแหน่งของดาวเคราะห์บนท้องฟ้าโดยตำแหน่งของเขาในฐานะผู้ช่วยของ Brahe โยฮันเนส เคปเลอร์ได้สัมผัสกับหัวข้อการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์อย่างจริงจังและมีปฏิสัมพันธ์อย่างจริงจังเป็นครั้งแรกการคำนวณของเคปเลอร์ทำให้ง่ายขึ้นโดยการประดิษฐ์ลอการิทึมร่วมสมัยโดย John Napier และ Jost Bürgiเคปเลอร์ประสบความสำเร็จในการกำหนดกฎทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์เรขาคณิตวิเคราะห์ที่พัฒนาโดย René Descartes (1596–1650) ทำให้วงโคจรเหล่านั้นสามารถลงจุดบนกราฟในพิกัดคาร์ทีเซียนได้
▲
●
ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
เรอเน เดการ์ตส์ ©Frans Hals
1637 Jan 1

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

Netherlands
คาร์ทีเซียนหมายถึงนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส เรอเน เดส์การตส์ ซึ่งเป็นผู้เผยแพร่แนวคิดนี้ในปี ค.ศ. 1637 ขณะที่เขาอาศัยอยู่ในเนเธอร์แลนด์มันถูกค้นพบโดยอิสระโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ ซึ่งทำงานในสามมิติด้วย แม้ว่าแฟร์มาต์จะไม่ได้เผยแพร่การค้นพบนี้ก็ตาม[109] นักบวชชาวฝรั่งเศส Nicole Oresme ใช้โครงสร้างที่คล้ายคลึงกับพิกัดคาร์ทีเซียนก่อนสมัยของ Descartes และ Fermat[110]ทั้ง Descartes และ Fermat ใช้แกนเดียวในการบำบัดและวัดความยาวผันแปรได้โดยอ้างอิงกับแกนนี้แนวคิดของการใช้ขวานคู่ถูกนำมาใช้ในภายหลัง หลังจากที่ La Géométrie ของ Descartes ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในปี ค.ศ. 1649 โดย Frans van Schooten และลูกศิษย์ของเขานักวิจารณ์เหล่านี้แนะนำแนวคิดหลายอย่างในขณะที่พยายามชี้แจงแนวคิดที่มีอยู่ในงานของเดส์การตส์[111]การพัฒนาระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะมีบทบาทพื้นฐานในการพัฒนาแคลคูลัสโดย Isaac Newton และ Gottfried Wilhelm Leibniz[112] คำอธิบายแบบสองพิกัดของระนาบนั้นถูกทำให้เป็นภาพรวมในแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ในเวลาต่อมา[113]ระบบพิกัดอื่น ๆ อีกมากมายได้รับการพัฒนาตั้งแต่ Descartes เช่นพิกัดเชิงขั้วสำหรับระนาบและพิกัดทรงกลมและทรงกระบอกสำหรับพื้นที่สามมิติ
▲
●
Play button
1670 Jan 1

แคลคูลัส

Europe
แคลคูลัสคือการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง เช่นเดียวกับที่เรขาคณิตคือการศึกษารูปร่าง และพีชคณิตคือการศึกษาลักษณะทั่วไปของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์มันมีสองสาขาหลัก แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสเชิงปริพันธ์แบบแรกเกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงในทันที และความชันของเส้นโค้ง ในขณะที่แบบหลังเกี่ยวข้องกับการสะสมของปริมาณ และพื้นที่ใต้หรือระหว่างเส้นโค้งสาขาทั้งสองนี้มีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันโดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส และพวกเขาใช้ประโยชน์จากแนวคิดพื้นฐานของการบรรจบกันของลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์จนถึงขีดจำกัดที่กำหนดไว้อย่างดี[97]แคลคูลัสจำนวนน้อยได้รับการพัฒนาโดยอิสระในปลายศตวรรษที่ 17 โดย Isaac Newton และ Gottfried Wilhelm Leibniz[98] การทำงานในภายหลัง รวมถึงการประมวลแนวคิดเรื่องขีดจำกัด ทำให้การพัฒนาเหล่านี้อยู่บนฐานแนวคิดที่มั่นคงยิ่งขึ้นทุกวันนี้ แคลคูลัสถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในสาขาวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และสังคมศาสตร์Isaac Newton พัฒนาการใช้แคลคูลัสในกฎการเคลื่อนที่และความโน้มถ่วงสากลของเขาความคิดเหล่านี้ถูกจัดเข้าเป็นแคลคูลัสที่แท้จริงของสิ่งเล็กน้อยโดยกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ซึ่งเดิมทีนิวตันกล่าวหาว่าลอกเลียนแบบปัจจุบันเขาได้รับการยกย่องว่าเป็นนักประดิษฐ์อิสระและผู้มีส่วนร่วมในแคลคูลัสการมีส่วนร่วมของเขาคือการจัดเตรียมกฎที่ชัดเจนสำหรับการทำงานกับปริมาณที่น้อยมาก ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์อันดับสองและสูงกว่าได้ และให้กฎผลคูณและกฎลูกโซ่ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัลซึ่งแตกต่างจากนิวตัน ไลบ์นิซใช้ความอุตสาหะในการเลือกสัญกรณ์ของเขา[99]นิวตันเป็นคนแรกที่ใช้แคลคูลัสกับฟิสิกส์ทั่วไป และไลบ์นิซได้พัฒนาสัญกรณ์ส่วนใหญ่ที่ใช้ในแคลคูลัสในปัจจุบัน[100] ข้อมูลเชิงลึกพื้นฐานที่ทั้งนิวตันและไลบ์นิซให้ไว้คือกฎของความแตกต่างและการรวม โดยเน้นว่าความแตกต่างและการรวมเป็นกระบวนการผกผัน อนุพันธ์อันดับสองและสูงกว่า และแนวคิดของอนุกรมพหุนามโดยประมาณ
▲
●
Play button
1736 Jan 1

ทฤษฎีกราฟ

Europe
ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีกราฟคือการศึกษากราฟ ซึ่งเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการจำลองความสัมพันธ์แบบคู่ระหว่างวัตถุกราฟในบริบทนี้ประกอบด้วยจุดยอด (เรียกอีกอย่างว่าโหนดหรือจุด) ซึ่งเชื่อมกันด้วยขอบ (เรียกอีกอย่างว่าลิงค์หรือเส้น)ความแตกต่างเกิดขึ้นระหว่างกราฟที่ไม่มีทิศทาง โดยที่ขอบเชื่อมโยงจุดยอดสองจุดแบบสมมาตร และกราฟแบบมีทิศทาง โดยที่ขอบเชื่อมโยงจุดยอดสองจุดแบบไม่สมมาตรกราฟเป็นหนึ่งในเป้าหมายหลักของการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์แยกส่วนกระดาษที่เขียนโดย Leonhard Euler บน Seven Bridges of Königsberg และตีพิมพ์ในปี 1736 ถือเป็นบทความแรกในประวัติศาสตร์ของทฤษฎีกราฟ[114] กระดาษนี้ เช่นเดียวกับที่เขียนโดย Vandermonde เกี่ยวกับปัญหาอัศวิน ดำเนินต่อไปพร้อมกับการวิเคราะห์สถานการณ์ที่ริเริ่มโดยไลบ์นิซสูตรของออยเลอร์เกี่ยวกับจำนวนขอบ จุดยอด และหน้าของรูปทรงหลายหน้านูนได้รับการศึกษาและสรุปโดย Cauchy [115] และ L'Huilier [116] และแสดงถึงจุดเริ่มต้นของสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าโทโพโลยี
▲
●
Play button
1738 Jan 1

การกระจายตัวแบบปกติ

France
ในทางสถิติ การแจกแจงแบบปกติหรือการแจกแจงแบบเกาส์เซียนเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องประเภทหนึ่งสำหรับตัวแปรสุ่มที่มีค่าจริงการแจกแจงแบบปกติมีความสำคัญในทางสถิติและมักใช้ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสังคมเพื่อแสดงตัวแปรสุ่มที่มีค่าจริงซึ่งไม่ทราบการแจกแจง[124] ความสำคัญส่วนหนึ่งมาจากทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางมันระบุว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจำนวนมาก (การสังเกต) ของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยจำกัดและความแปรปรวนนั้นเป็นตัวแปรสุ่ม ซึ่งการแจกแจงจะไปบรรจบกับการแจกแจงแบบปกติเมื่อจำนวนตัวอย่างเพิ่มขึ้นดังนั้น ปริมาณทางกายภาพที่คาดว่าจะเป็นผลรวมของกระบวนการอิสระจำนวนมาก เช่น ข้อผิดพลาดในการวัด มักจะมีการแจกแจงที่เกือบปกติ[125] ผู้เขียนบางคน [126] ให้เครดิตสำหรับการค้นพบการแจกแจงแบบปกติแก่ de Moivre ซึ่งในปี ค.ศ. 1738 ได้ตีพิมพ์ใน "The Doctrine of Chances" ฉบับพิมพ์ครั้งที่สองของเขาเกี่ยวกับการศึกษาค่าสัมประสิทธิ์ในการขยายทวินามของ (a + ข)น.
▲
●
Play button
1740 Jan 1

สูตรของออยเลอร์

Berlin, Germany
สูตรของออยเลอร์ ตั้งชื่อตาม Leonhard Euler เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนที่สร้างความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อนสูตรของออยเลอร์มีอยู่ทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และวิศวกรรมศาสตร์Richard Feynman นักฟิสิกส์เรียกสมการนี้ว่า "อัญมณีของเรา" และ "สูตรที่น่าทึ่งที่สุดในคณิตศาสตร์"เมื่อ x = π สูตรของออยเลอร์อาจเขียนใหม่เป็น eiπ + 1 = 0 หรือ eiπ = -1 ซึ่งเรียกว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์
▲
●
Play button
1763 Jan 1

ทฤษฎีบทของเบส์

England, UK
ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ ทฤษฎีบทของเบส์ (Bayes' theorem) หรือกฎของเบส์ (Bayes' lawem) ซึ่งตั้งชื่อตามโทมัส เบส์ (Thomas Bayes) อธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ โดยอิงจากความรู้เดิมเกี่ยวกับเงื่อนไขที่อาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น[122] ตัวอย่างเช่น หากทราบว่าความเสี่ยงของการพัฒนาปัญหาสุขภาพเพิ่มขึ้นตามอายุ ทฤษฎีบทของเบส์ยอมให้ประเมินความเสี่ยงต่อบุคคลที่ทราบอายุได้แม่นยำมากขึ้นโดยการปรับเงื่อนไขตามอายุ แทนที่จะแค่สันนิษฐาน ว่าบุคคลนั้นเป็นแบบอย่างของประชากรโดยรวมในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ ทฤษฎีบทของเบส์ (Bayes' theorem) หรือกฎของเบส์ (Bayes' lawem) ซึ่งตั้งชื่อตามโทมัส เบส์ (Thomas Bayes) อธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ โดยอิงจากความรู้เดิมเกี่ยวกับเงื่อนไขที่อาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น[122] ตัวอย่างเช่น หากทราบว่าความเสี่ยงของการพัฒนาปัญหาสุขภาพเพิ่มขึ้นตามอายุ ทฤษฎีบทของเบส์ยอมให้ประเมินความเสี่ยงต่อบุคคลที่ทราบอายุได้แม่นยำมากขึ้นโดยการปรับเงื่อนไขตามอายุ แทนที่จะแค่สันนิษฐาน ว่าบุคคลนั้นเป็นแบบอย่างของประชากรโดยรวม
▲
●
กฎของเกาส์
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ©Christian Albrecht Jensen
1773 Jan 1

กฎของเกาส์

France
ในฟิสิกส์และแม่เหล็กไฟฟ้า กฎของเกาส์ หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทฟลักซ์ของเกาส์ (หรือบางครั้งเรียกง่ายๆ ว่าทฤษฎีบทของเกาส์) เป็นกฎที่เกี่ยวข้องกับการกระจายของประจุไฟฟ้าไปยังสนามไฟฟ้าที่เกิดขึ้นในรูปแบบอินทิกรัล มันระบุว่าฟลักซ์ของสนามไฟฟ้าจากพื้นผิวปิดตามอำเภอใจเป็นสัดส่วนกับประจุไฟฟ้าที่ล้อมรอบพื้นผิว โดยไม่คำนึงว่าประจุนั้นกระจายอย่างไรแม้ว่ากฎหมายเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะกำหนดสนามไฟฟ้าบนพื้นผิวที่ล้อมรอบการกระจายประจุใดๆ ก็ตาม อาจเป็นไปได้ในกรณีที่ความสมมาตรกำหนดความสม่ำเสมอของสนามในกรณีที่ไม่มีความสมมาตรดังกล่าว กฎของเกาส์สามารถใช้ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลได้ ซึ่งระบุว่าความแตกต่างของสนามไฟฟ้าเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของประจุกฎนี้ถูกคิดค้นขึ้นเป็นครั้งแรก [101] โดยโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ ในปี พ.ศ. 2316, [102] ตามด้วยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ในปี พ.ศ. 2378, [103] ทั้งในบริบทของแรงดึงดูดของทรงรีมันเป็นหนึ่งในสมการของ Maxwell ซึ่งเป็นพื้นฐานของอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบดั้งเดิมกฎของเกาส์สามารถใช้เพื่อรับกฎของคูลอมบ์ได้ [104] และในทางกลับกัน
▲
●
Play button
1800 Jan 1

ทฤษฎีกลุ่ม

Europe
ในพีชคณิตนามธรรม ทฤษฎีกลุ่มศึกษาโครงสร้างพีชคณิตที่เรียกว่ากลุ่มแนวคิดของกลุ่มคือศูนย์กลางของพีชคณิตนามธรรม: โครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ ที่รู้จักกันดี เช่น วงแหวน เขตข้อมูล และปริภูมิเวกเตอร์ สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มที่มีการดำเนินการและสัจพจน์เพิ่มเติมกลุ่มเกิดขึ้นซ้ำๆ ตลอดทั้งคณิตศาสตร์ และวิธีการของทฤษฎีกลุ่มมีอิทธิพลต่อพีชคณิตหลายส่วนกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นและกลุ่มโกหกเป็นสาขาสองสาขาของทฤษฎีกลุ่มที่มีความก้าวหน้าและกลายเป็นสาขาวิชาในสิทธิของตนเองประวัติศาสตร์ยุคแรกของทฤษฎีกลุ่มมีขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 19หนึ่งในความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 20 คือความพยายามในการทำงานร่วมกัน ซึ่งมีหน้าวารสารมากกว่า 10,000 หน้า และส่วนใหญ่ตีพิมพ์ระหว่างปี 1960 และ 2004 ซึ่งนำไปสู่การจำแนกกลุ่มอย่างง่ายที่มีขอบเขตจำกัดอย่างสมบูรณ์
▲
●
Play button
1807 Jan 1

การวิเคราะห์ฟูเรียร์

Auxerre, France
ในวิชาคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ฟูริเยร์เป็นการศึกษาวิธีแสดงฟังก์ชันทั่วไปหรือประมาณค่าด้วยผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ง่ายกว่าการวิเคราะห์ฟูริเยร์เติบโตมาจากการศึกษาอนุกรมฟูเรียร์ และตั้งชื่อตามโจเซฟ ฟูริเยร์ ซึ่งแสดงว่าการแสดงฟังก์ชันเป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติทำให้การศึกษาการถ่ายเทความร้อนง่ายขึ้นอย่างมากหัวข้อของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ครอบคลุมสเปกตรัมของคณิตศาสตร์มากมายในทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ กระบวนการแยกย่อยฟังก์ชันออกเป็นส่วนประกอบแบบแกว่งมักเรียกว่าการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ในขณะที่การดำเนินการสร้างฟังก์ชันขึ้นใหม่จากชิ้นส่วนเหล่านี้เรียกว่าการสังเคราะห์ฟูริเยร์ตัวอย่างเช่น การกำหนดความถี่ส่วนประกอบที่มีอยู่ในโน้ตดนตรีจะเกี่ยวข้องกับการคำนวณการแปลงฟูริเยร์ของโน้ตดนตรีตัวอย่างจากนั้นเราสามารถสังเคราะห์เสียงเดิมใหม่ได้โดยรวมส่วนประกอบความถี่ตามที่เปิดเผยในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า Fourier analysis มักหมายถึงการศึกษาการดำเนินการทั้งสองกระบวนการสลายตัวเรียกว่าการแปลงฟูเรียร์เอาต์พุตของการแปลงฟูริเยร์มักมีชื่อที่เจาะจงกว่า ซึ่งขึ้นอยู่กับโดเมนและคุณสมบัติอื่นๆ ของฟังก์ชันที่กำลังแปลงยิ่งไปกว่านั้น แนวคิดดั้งเดิมของการวิเคราะห์ฟูริเยร์ได้ถูกขยายออกไปเมื่อเวลาผ่านไปเพื่อใช้กับสถานการณ์ที่เป็นนามธรรมและทั่วไปมากขึ้น และฟิลด์ทั่วไปมักรู้จักกันในชื่อการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกการแปลงแต่ละรายการที่ใช้ในการวิเคราะห์ (ดูรายการการแปลงที่เกี่ยวข้องกับฟูริเยร์) มีการแปลงผกผันที่สอดคล้องกันซึ่งสามารถใช้สำหรับการสังเคราะห์
▲
●
Play button
1850 Jan 1 - 1870

สมการของแม็กซ์เวลล์

Cambridge University, Trinity
สมการของแมกซ์เวลล์ หรือสมการแมกซ์เวลล์-เฮวิไซด์ เป็นชุดของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบคู่ที่ร่วมกับกฎแรงลอเรนซ์ ก่อตัวเป็นรากฐานของแม่เหล็กไฟฟ้าแบบดั้งเดิม ทัศนศาสตร์แบบคลาสสิก และวงจรไฟฟ้าสมการให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับเทคโนโลยีไฟฟ้า แสง และวิทยุ เช่น การผลิตกระแสไฟฟ้า มอเตอร์ไฟฟ้า การสื่อสารไร้สาย เลนส์ เรดาร์ ฯลฯ สมการเหล่านี้อธิบายว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กถูกสร้างขึ้นโดยประจุ กระแส และการเปลี่ยนแปลงของ เขตข้อมูลสมการนี้ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ซึ่งในปี พ.ศ. 2404 และ พ.ศ. 2405 ได้ตีพิมพ์สมการรูปแบบแรกที่มีกฎแรงลอเรนซ์รวมอยู่ด้วยMaxwell ใช้สมการเป็นครั้งแรกเพื่อเสนอว่าแสงเป็นปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้ารูปแบบสมการสมัยใหม่ในสูตรที่ใช้กันทั่วไปส่วนใหญ่มาจาก Oliver Heavisideสมการมีสองตัวแปรหลักสมการระดับจุลทรรศน์นั้นสามารถนำไปใช้ได้ทั่วไปแต่ไม่สามารถคำนวณได้ทั่วๆ ไปพวกเขาเชื่อมโยงสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กกับประจุทั้งหมดและกระแสรวม รวมถึงประจุและกระแสที่ซับซ้อนในวัสดุในระดับอะตอมสมการระดับมหภาคกำหนดฟิลด์เสริมใหม่สองฟิลด์ที่อธิบายพฤติกรรมขนาดใหญ่ของสสารโดยไม่ต้องพิจารณาประจุระดับอะตอมและปรากฏการณ์ควอนตัม เช่น การหมุนอย่างไรก็ตาม การใช้งานต้องใช้พารามิเตอร์ที่กำหนดโดยการทดลองสำหรับคำอธิบายปรากฏการณ์วิทยาของการตอบสนองทางแม่เหล็กไฟฟ้าของวัสดุคำว่า "สมการของแมกซ์เวลล์" มักใช้กับสูตรทางเลือกที่เทียบเท่ากันเวอร์ชันของสมการของแมกซ์เวลล์ตามศักยภาพสเกลาร์ไฟฟ้าและแม่เหล็กเป็นที่ต้องการสำหรับการแก้สมการอย่างชัดแจ้งในฐานะปัญหาค่าขอบเขต กลศาสตร์การวิเคราะห์ หรือสำหรับใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมสูตรความแปรปรวนร่วม (ในกาลอวกาศแทนที่จะเป็นอวกาศและเวลาแยกกัน) ทำให้สมการของแมกซ์เวลล์เข้ากันได้ด้วยรายการสัมพัทธภาพพิเศษสมการของแมกซ์เวลล์ในกาลอวกาศโค้ง ซึ่งใช้กันทั่วไปในฟิสิกส์พลังงานสูงและแรงโน้มถ่วง เข้ากันได้กับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอันที่จริง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและพิเศษเพื่อรองรับความเร็วแสงที่ไม่แปรเปลี่ยน ซึ่งเป็นผลมาจากสมการของแมกซ์เวลล์ โดยมีหลักการที่ว่าการเคลื่อนไหวสัมพัทธ์เท่านั้นที่มีผลทางกายภาพการเผยแพร่สมการถือเป็นการรวมทฤษฎีสำหรับปรากฏการณ์ที่อธิบายไว้แยกกันก่อนหน้านี้ ได้แก่ อำนาจแม่เหล็ก ไฟฟ้า แสง และรังสีที่เกี่ยวข้องตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 เป็นที่เข้าใจกันว่าสมการของแมกซ์เวลล์ไม่ได้ให้คำอธิบายที่แน่นอนเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า แต่แทนที่จะเป็นขีดจำกัดดั้งเดิมของทฤษฎีควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ที่แม่นยำกว่า
▲
●
Play button
1870 Jan 1

ทฤษฎีเซต

Germany
ทฤษฎีเซตเป็นสาขาหนึ่งของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเซต ซึ่งสามารถอธิบายอย่างไม่เป็นทางการได้ว่าเป็นชุดของวัตถุแม้ว่าวัตถุทุกชนิดสามารถรวบรวมเป็นเซตได้ แต่ทฤษฎีเซตในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยรวมการศึกษาทฤษฎีเซตสมัยใหม่ริเริ่มโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Richard Dedekind และ Georg Cantor ในทศวรรษที่ 1870โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Georg Cantor มักถูกมองว่าเป็นผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซตระบบที่ไม่เป็นทางการที่ถูกตรวจสอบในช่วงเริ่มต้นนี้อยู่ภายใต้ชื่อของทฤษฎีเซตไร้เดียงสาหลังจากการค้นพบความขัดแย้งภายในทฤษฎีเซตไร้เดียงสา (เช่น ความขัดแย้งของรัสเซล ความขัดแย้งของคันทอร์ และความขัดแย้งของบูราลี-ฟอร์ตี) ระบบสัจพจน์ต่างๆ ได้ถูกเสนอในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ซึ่งทฤษฎีเซตของแซร์เมโล-แฟรนเคล (มีหรือไม่มีสัจพจน์ของ ตัวเลือก) ยังคงเป็นที่รู้จักและศึกษามากที่สุดโดยทั่วไปจะใช้ทฤษฎีเซตเป็นระบบพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์ทั้งหมด โดยเฉพาะในรูปแบบของทฤษฎีเซตของแซร์เมโล-แฟรนเคลที่มีสัจพจน์ให้เลือกนอกจากบทบาทพื้นฐานแล้ว ทฤษฎีเซตยังเป็นกรอบในการพัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เรื่องอนันต์ และมีการนำไปใช้ที่หลากหลายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ (เช่น ในทฤษฎีพีชคณิตเชิงสัมพันธ์) ปรัชญา และความหมายที่เป็นทางการความน่าดึงดูดใจที่เป็นรากฐาน บวกกับความขัดแย้ง ความหมายโดยนัยสำหรับแนวคิดเรื่องอนันต์และการประยุกต์ที่หลากหลาย ทำให้ทฤษฎีเซตเป็นประเด็นที่นักตรรกวิทยาและนักปรัชญาคณิตศาสตร์ให้ความสนใจเป็นอย่างมากการวิจัยร่วมสมัยเกี่ยวกับทฤษฎีเซตครอบคลุมหัวข้อต่างๆ มากมาย ตั้งแต่โครงสร้างของเส้นจำนวนจริงไปจนถึงการศึกษาความสอดคล้องกันของคาร์ดินัลขนาดใหญ่
▲
●
ทฤษฎีเกม
จอห์น ฟอน นอยแมน ©Anonymous
1927 Jan 1

ทฤษฎีเกม

Budapest, Hungary
ทฤษฎีเกมคือการศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปฏิสัมพันธ์เชิงกลยุทธ์ระหว่างตัวแทนที่มีเหตุผล[117] มีการประยุกต์ใช้ในทุกสาขาของสังคมศาสตร์ เช่นเดียวกับในตรรกะ วิทยาการระบบ และวิทยาการคอมพิวเตอร์แนวคิดของทฤษฎีเกมถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในด้านเศรษฐศาสตร์เช่นกัน[118] วิธีการดั้งเดิมของทฤษฎีเกมกล่าวถึงเกมผลรวมศูนย์ที่มีผู้เล่นสองคน ซึ่งการได้หรือเสียของผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะสมดุลกันอย่างแน่นอนจากการเสียและได้ของผู้เข้าร่วมคนอื่นๆในศตวรรษที่ 21 ทฤษฎีเกมขั้นสูงนำไปใช้กับความสัมพันธ์เชิงพฤติกรรมในวงกว้างปัจจุบันเป็นคำที่ใช้เรียกวิทยาศาสตร์ของการตัดสินใจเชิงตรรกะในมนุษย์ สัตว์ และคอมพิวเตอร์ทฤษฎีเกมไม่มีอยู่จริงในฐานะฟิลด์เฉพาะ จนกระทั่ง John von Neumann ตีพิมพ์บทความเรื่อง Theory of Games of Strategy ในปี 1928 [119] หลักฐานดั้งเดิมของ Von Neumann ใช้ทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Brouwer ในการแมปต่อเนื่องเป็นชุดนูนขนาดกะทัดรัด ซึ่งกลายเป็น วิธีมาตรฐานในทฤษฎีเกมและเศรษฐศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์บทความของเขาตามมาด้วยหนังสือ Theory of Games and Economic Behavior ในปี 1944 ที่เขียนร่วมกับ Oskar Morgensternฉบับที่ [2] ของหนังสือเล่มนี้ได้เสนอทฤษฎีเชิงสัจพจน์ของอรรถประโยชน์ ซึ่งนำทฤษฎีอรรถประโยชน์ (ของเงิน) แบบเก่าของดาเนียล เบอร์นูลลีกลับชาติมาเกิดในฐานะระเบียบวินัยที่เป็นอิสระผลงานของ Von Neumann ในทฤษฎีเกมถึงจุดสุดยอดในหนังสือเล่มนี้ในปี 1944งานพื้นฐานนี้มีวิธีการในการหาทางออกที่สอดคล้องกันสำหรับเกมผลรวมศูนย์สองคนงานต่อมามุ่งเน้นไปที่ทฤษฎีเกมแบบร่วมมือเป็นหลัก ซึ่งวิเคราะห์กลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับกลุ่มบุคคล โดยสันนิษฐานว่าพวกเขาสามารถบังคับใช้ข้อตกลงระหว่างพวกเขาเกี่ยวกับกลยุทธ์ที่เหมาะสม[121]
▲
●

Appendices



APPENDIX 1

The History of Mathematics and Its Applications


Play button




APPENDIX 2

The Map of Mathematics


Play button

Footnotes



  1. Friberg, J. "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277-318.
  2. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium. Vol. 9 (2 ed.). Dover Publications. pp. 1-191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71-96.
  3. Turnbull (1931). "A Manual of Greek Mathematics". Nature. 128 (3235): 5. Bibcode:1931Natur.128..739T. doi:10.1038/128739a0. S2CID 3994109.
  4. Heath, Thomas L. (1963). A Manual of Greek Mathematics, Dover, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  5. Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books, London, pp. 140-48.
  6. Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Allen Lane/The Penguin Press, London.
  7. Juschkewitsch, A. P. (1964). Geschichte der Mathematik im Mittelalter. Teubner, Leipzig.
  8. Eves, Howard (1990). History of Mathematics, 6th Edition, "After Pappus, Greek mathematics ceased to be a living study, ..." p. 185; "The Athenian school struggled on against growing opposition from Christians until the latter finally, in A.D. 529, obtained a decree from Emperor Justinian that closed the doors of the school forever." p. 186; "The period starting with the fall of the Roman Empire, in the middle of the fifth century, and extending into the eleventh century is known in Europe as the Dark Ages ... . Schooling became almost nonexistent." p. 258.
  9. Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
  10. Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.
  11. Prestini, Elena (2004). The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4125-2., p. 62
  12. Boyer, C.B. (1991) [1989], A History of Mathematics (2nd ed.), New York: Wiley , ISBN 978-0-471-54397-8, p. 25.
  13. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 26.
  14. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 27.
  15. Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. pp. 30-31.
  16. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 33.
  17. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 39.
  18. Imhausen, Annette (2006). "Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources". The Mathematical Intelligencer. 28 (1): 19-27. doi:10.1007/bf02986998. S2CID 122060653.
  19. Burton, David (2005). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-305189-5.
  20. Eglash, Ron (1999). African fractals : modern computing and indigenous design. New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press. pp. 89, 141. ISBN 0813526140.
  21. Eglash, R. (1995). "Fractal Geometry in African Material Culture". Symmetry: Culture and Science. 6-1: 174-177.
  22. Katz V, Imhasen A, Robson E, Dauben JW, Plofker K, Berggren JL (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
  23. Panchenko, D. V. (Dmitrii Vadimovich) (1993). "Thales and the Origin of Theoretical Reasoning". Configurations. 1 (3): 387-414. doi:10.1353/con.1993.0024. ISSN 1080-6520.
  24. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics (3rd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8, pp. 40-89.
  25. Boyer, Carl (1968). A History of Science. p. 45. ISBN 0471543977.
  26. Netz, Reviel (2014), Huffman, Carl A. (ed.), "The problem of Pythagorean mathematics", A History of Pythagoreanism, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 167-184, ISBN 978-1-107-01439-8, retrieved 2021-05-26
  27. Green, P. (1990). Alexander to Actium: The Historical Evolution of the Hellenistic Age (1 ed.). University of California Press. ISBN 978-0-520-08349-3. JSTOR 10.1525/j.ctt130jt89.
  28. Luce, J. V. (1988). "Greek Science in its Hellenistic Phase". Hermathena (145): 23-38. ISSN 0018-0750. JSTOR 23040930.
  29. Acerbi, F. (2018). Keyser, Paul T; Scarborough, John (eds.). "Hellenistic Mathematics". Oxford Handbook of Science and Medicine in the Classical World. pp. 268-292. doi:10.1093/oxfordhb/9780199734146.013.69. ISBN 978-0-19-973414-6. Retrieved 2021-05-26.
  30. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 43.
  31. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 86.
  32. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 88.
  33. Calian, George F. (2014). "One, Two, Three... A Discussion on the Generation of Numbers". New Europe College.
  34. Boyer 1991, "Mesopotamia" p. 87.
  35. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
  36. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 100.
  37. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104.
  38. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 102.
  39. Kurt Von Fritz (1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics.
  40. James R. Choike (1980). "The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number". The Two-Year College Mathematics Journal
  41. Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol. 1. New York: Oxford University Press (original work published 1972), p. 32.
  42. John M. Henshaw (10 September 2014). An Equation for Every Occasion: Fifty-Two Formulas and Why They Matter. JHU Press. p. 68.
  43. Powers, J (2020). "Did Archimedes do calculus?" (PDF).
  44. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews.
  45. Goe, G. (1972). "Archimedes' theory of the lever and Mach's critique". Studies in History and Philosophy of Science Part A. 2 (4): 329-345.
  46. Berggren, J. L. (1976). "Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes: Book I".
  47. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 145.
  48. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 146.
  49. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 152.
  50. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 156.
  51. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 175.
  52. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 162.
  53. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 178.
  54. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 180.
  55. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 181.
  56. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 183.
  57. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p.190-94.
  58. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 193.
  59. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 194.
  60. Boyer 1991, p. 215.
  61. John Bowman (2000). Columbia Chronologies of Asian History and Culture. Columbia University Press. p. 596. ISBN 978-0-231-50004-3.
  62. Boyer 1991, "China and India" p. 210.
  63. Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 168.
  64. Boyer 1991, "China and India" p. 208.
  65. Bourbaki, Nicolas Elements of the History of Mathematics (1998), p. 46.
  66. Weiss, Ittay (20 September 2017). "Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics". The Conversation.
  67. Devlin, Hannah (13 September 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077.
  68. Qiu, Jane (7 January 2014). "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips". Nature. doi:10.1038/nature.2014.14482. S2CID 130132289. Retrieved 15 September 2014.
  69. Katz, Victor J. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9, pp. 194-99.
  70. Boyer 1991, "China and India" p. 202.
  71. Boyer 1991, "China and India" p. 205.
  72. Volkov, Alexei (2009), "Mathematics and Mathematics Education in Traditional Vietnam", in Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.), The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, pp. 153-76, ISBN 978-0-19-921312-2, p.153-56
  73. Volkov 2009, pp. 154-55
  74. Volkov 2009, pp. 156-57
  75. Volkov 2009, p. 155
  76. Boyer 1991, "China and India" p. 198.
  77. Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959], Science and Civilization in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, vol. 3, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05801-8, pp. 91-92
  78. Needham & Wang 1995, p. 94
  79. Boyer 1991, "China and India" p. 198.
  80. Straffin, Philip D. (1998), "Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics", Mathematics Magazine, 71 (3): 163-81, doi:10.1080/0025570X.1998.11996627, p. 164.
  81. Needham & Wang 1995, p. 22
  82. Needham & Wang 1995, p. 99-100
  83. Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004), Pi: A Source Book, New York: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7, p. 27
  84. Boyer 1991, "China and India" p. 202
  85. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (3 ed.). Jones & Bartlett Learning. p. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7. Extract of p. 27
  86. O'Connor, J.J. & Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews. Retrieved 2007-08-07.
  87. Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230
  88. Gandz and Saloman (1936), The sources of Khwarizmi's algebra, Osiris i, pp. 263-77
  89. Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229
  90. Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. pp. 11-12. ISBN 978-0-7923-2565-9. OCLC 29181926.
  91. Sesiano, Jacques (2000). "Islamic mathematics". In Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratàn (eds.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics. Springer. p. 148. ISBN 1-4020-0260-2.
  92. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Kamil", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  93. Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2, p. 318.
  94. Stillwell, J. (1997). Numbers and Geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98289-2, p. 31.
  95. Marie-Therese d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421-62 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
  96. Singh, Parmanand (1985), "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India", Historia Mathematica, 12 (3): 229-44, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7
  97. DeBaggis, Henry F.; Miller, Kenneth S. (1966). Foundations of the Calculus. Philadelphia: Saunders. OCLC 527896.
  98. Boyer, Carl B. (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover. OCLC 643872
  99. Mazur, Joseph (2014). Enlightening Symbols / A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press. p. 166. ISBN 978-0-691-17337-5.
  100. Frautschi, Steven C.; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (2007). The Mechanical Universe: Mechanics and Heat (Advanced ed.). Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71590-4. OCLC 227002144.
  101. Duhem, Pierre (1891). Lecons sur l'electricite et le magnetisme (in French). Paris Gauthier-Villars. vol. 1, ch. 4, p. 22-23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.
  102. Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des spheroides elliptiques". Memoires de l'Academie de Berlin (in French): 125.
  103. Gauss, Carl Friedrich (1877). Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (in Latin). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1). Gauss mentions Newton's Principia proposition XCI regarding finding the force exerted by a sphere on a point anywhere along an axis passing through the sphere.
  104. Halliday, David; Resnick, Robert (1970). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. pp. 452-453.
  105. LIGHTNER, JAMES E. (1991). "A Brief Look at the History of Probability and Statistics". The Mathematics Teacher. 84 (8): 623-630. doi:10.5951/MT.84.8.0623. ISSN 0025-5769. JSTOR 27967334.
  106. Grinstead, Charles Miller; James Laurie Snell. "Introduction". Introduction to Probability. pp. vii.
  107. Daston, Lorraine J. (1980). "Probabilistic Expectation and Rationality in Classical Probability Theory". Historia Mathematica. 7 (3): 234-260. doi:10.1016/0315-0860(80)90025-7.
  108. ""The origins and legacy of Kolmogorov's Grundbegriffe", by Glenn Shafer and Vladimir Vovk" (PDF). Retrieved 2012-02-12.
  109. Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopedia Britannica. Retrieved 6 August 2017.
  110. Kent, Alexander J.; Vujakovic, Peter (4 October 2017). The Routledge Handbook of Mapping and Cartography. Routledge. ISBN 9781317568216.
  111. Burton, David M. (2011), The History of Mathematics/An Introduction (7th ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6, p. 374.
  112. Berlinski, David. A Tour of the Calculus.
  113. Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right - Springer. Undergraduate Texts in Mathematics. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0.
  114. Biggs, N.; Lloyd, E.; Wilson, R. (1986), Graph Theory, 1736-1936, Oxford University Press
  115. Cauchy, A. L. (1813), "Recherche sur les polyedres - premier memoire", Journal de l'ecole Polytechnique, 9 (Cahier 16): 66-86.
  116. L'Huillier, S.-A.-J. (1812-1813), "Memoire sur la polyedrometrie", Annales de Mathematiques, 3: 169-189.
  117. Myerson, Roger B. (1991). Game Theory: Analysis of Conflict. Harvard University Press.ISBN 9780674341166.
  118. Shapley, Lloyd S.; Shubik, Martin (1 January 1971). "Game Theory in Economics: Chapter1, Introduction, The Use of Models". Archived from the original on 23 April 2023.Retrieved 23 April 2023.
  119. von Neumann, John (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele" [On the Theory of Gamesof Strategy]. Mathematische Annalen [Mathematical Annals] (in German). 100 (1): 295-320.doi:10.1007/BF01448847. S2CID 122961988.
  120. Mirowski, Philip (1992). "What Were von Neumann and Morgenstern Trying to Accomplish?".In Weintraub, E. Roy (ed.). Toward a History of Game Theory. Durham: Duke UniversityPress. pp. 113-147. ISBN 978-0-8223-1253-6.
  121. Leonard, Robert (2010), Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory, New York: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511778278, ISBN 978-0-521-56266-9
  122. Joyce, James (2003), "Bayes' Theorem", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2020-01-17.
  123. Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology
  124. Lyon, A. (2014). Why are Normal Distributions Normal?, The British
  125. Journal for the Philosophy of Science.
  126. Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. Wiley. ISBN 978-0-471-58495-7.(1994, p. 85)
  127. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). A History of Mathematics (2nd ed.). JohnWiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8, pp. 252-253.
  128. Ifrah, Georges (2001). The Universal History of Computing: From the Abacus to theQuantum Computer. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-39671-0., p. 11

References



References

  • Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (2004), Pi: A Source Book, New York: Springer, ISBN 978-0-387-20571-7
  • Boyer, C.B. (1991) [1989], A History of Mathematics (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-54397-8
  • Cuomo, Serafina (2001), Ancient Mathematics, London: Routledge, ISBN 978-0-415-16495-5
  • Goodman, Michael, K.J. (2016), An introduction of the Early Development of Mathematics, Hoboken: Wiley, ISBN 978-1-119-10497-1
  • Gullberg, Jan (1997), Mathematics: From the Birth of Numbers, New York: W.W. Norton and Company, ISBN 978-0-393-04002-9
  • Joyce, Hetty (July 1979), "Form, Function and Technique in the Pavements of Delos and Pompeii", American Journal of Archaeology, 83 (3): 253–63, doi:10.2307/505056, JSTOR 505056, S2CID 191394716.
  • Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-01618-8
  • Katz, Victor J. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
  • Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959], Science and Civilization in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, vol. 3, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05801-8
  • Needham, Joseph; Wang, Ling (2000) [1965], Science and Civilization in China: Physics and Physical Technology: Mechanical Engineering, vol. 4 (reprint ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-05803-2
  • Sleeswyk, Andre (October 1981), "Vitruvius' odometer", Scientific American, 252 (4): 188–200, Bibcode:1981SciAm.245d.188S, doi:10.1038/scientificamerican1081-188.
  • Straffin, Philip D. (1998), "Liu Hui and the First Golden Age of Chinese Mathematics", Mathematics Magazine, 71 (3): 163–81, doi:10.1080/0025570X.1998.11996627
  • Tang, Birgit (2005), Delos, Carthage, Ampurias: the Housing of Three Mediterranean Trading Centres, Rome: L'Erma di Bretschneider (Accademia di Danimarca), ISBN 978-88-8265-305-7.
  • Volkov, Alexei (2009), "Mathematics and Mathematics Education in Traditional Vietnam", in Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (eds.), The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press, pp. 153–76, ISBN 978-0-19-921312-2


Further Reading

  • Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House.
  • Bell, E.T. (1937). Men of Mathematics. Simon and Schuster.
  • Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.
  • Corry, Leo (2015), A Brief History of Numbers, Oxford University Press, ISBN 978-0198702597
  • Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA: MIT Press.
  • Grattan-Guinness, Ivor (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-7397-3.
  • Heath, Sir Thomas (1981). A History of Greek Mathematics. Dover. ISBN 978-0-486-24073-2.
  • Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion. ISBN 0-7868-6362-5.
  • Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.
  • Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 978-0-262-13040-0.
  • Stigler, Stephen M. (1990). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press. ISBN 978-0-674-40341-3.
  • Struik, D.J. (1987). A Concise History of Mathematics, fourth revised edition. Dover Publications, New York.
  • van der Waerden, B.L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.