قدیممصری ریاضی کو قدیم مصر میں تیار کیا گیا تھا اور استعمال کیا گیا تھا۔ 3000 سے سی۔ 300 قبل مسیح ، مصر کی پرانی بادشاہی سے لے کر تقریبا he ہیلینسٹک مصر کے آغاز تک۔ قدیم مصریوں نے تحریری ریاضی کے مسائل کو گننے اور حل کرنے کے لئے ایک ہندسے کا نظام استعمال کیا ، جس میں اکثر ضرب اور مختلف حصوں میں شامل ہوتا ہے۔ مصری ریاضی کے ثبوت پیپرس پر لکھے گئے زندہ بچ جانے والے ذرائع کی قلیل مقدار تک ہی محدود ہیں۔ ان عبارتوں سے یہ جانا جاتا ہے کہ قدیم مصری جیومیٹری کے تصورات کو سمجھتے ہیں ، جیسے تعمیراتی انجینئرنگ کے لئے مفید سطح کے رقبے اور تین جہتی شکلوں کا حجم ، اور الجبرا ، جیسے غلط پوزیشن کا طریقہ اور کواڈریٹک مساوات۔

چونا پتھر پر پینٹنگ ، گیزا میں اس کے مقبرے سے اولڈ کنگڈم شہزادی نیفریٹیبیٹ (مورخہ 2590–2565 قبل مسیح) کے سلیب اسٹیلا۔

ریاضی کے استعمال کے تحریری ثبوت ابیڈوس میں مقبرے یو جے میں پائے جانے والے ہاتھی دانت کے لیبلوں کے ساتھ کم از کم 3200 قبل مسیح کے ہیں۔ ایسا لگتا ہے کہ یہ لیبل قبر کے سامان کے ٹیگ کے طور پر استعمال ہوتے ہیں اور کچھ کو نمبروں کے ساتھ لکھا ہوا ہے۔ ^[18] بیس 10 نمبر کے نظام کے استعمال کے مزید شواہد نیمر میک ہیڈ پر مل سکتے ہیں جس میں 400،000 بیلوں ، 1،422،000 بکروں اور 120،000 قیدی کی پیش کش کو دکھایا گیا ہے۔ ^[19] آثار قدیمہ کے شواہد نے مشورہ دیا ہے کہ قدیم مصری گنتی کے نظام کی ابتداء سب صحارا افریقہ میں ہوئی ہے۔ ^[20] نیز ، فریکٹل جیومیٹری ڈیزائن جو سب صحارا افریقی ثقافتوں میں وسیع ہیں وہ مصری فن تعمیر اور کائناتی علامات میں بھی پائے جاتے ہیں۔ ^[20]

رائنڈ ریاضیاتی پاپیرس

ابتدائی حقیقی ریاضی کی دستاویزات 12 ویں خاندان (سن 1990–1800 قبل مسیح) کی تاریخ ہیں۔ ماسکو کے ریاضیاتی پیپیرس ، مصری ریاضیاتی چمڑے کا رول ، لہون ریاضی کے پاپیری جو کہون پاپیری اور برلن پاپیرس 6619 کے اس دور کی تمام تاریخ کے بہت بڑے ذخیرے کا ایک حصہ ہیں۔ کہا جاتا ہے کہ دوسرے انٹرمیڈیٹ پیریڈ (سن 1650 قبل مسیح) کی تاریخ رائنڈ ریاضیاتی پیپرس 12 ویں خاندان کے پرانے ریاضی کے متن پر مبنی ہے۔ ^[22]

میسوپوٹیمیا کے قدیم سومریوں نے 3000 قبل مسیح سے میٹرولوجی کا ایک پیچیدہ نظام تیار کیا۔ 2600 قبل مسیح کے بعد ، سومریوں نے مٹی کی گولیاں پر ضرب میزیں لکھیں اور ہندسی مشقوں اور تقسیم کے مسائل سے نمٹا۔ بابل کے ہندسوں کے قدیم ترین نشانات بھی اس دور کی ہیں۔ ^[9]

اباکوس (کثرت اباکی یا ابیکس) ، جسے گنتی کا فریم بھی کہا جاتا ہے ، ایک حساب کتاب کا آلہ ہے جو قدیم زمانے سے ہی استعمال ہوتا ہے۔ اس کا استعمال قدیم قریب مشرق ، یورپ ،چین اور روس ، ہزاروں ہندو عربی ہندسوں کے نظام کو اپنانے سے پہلے ہزار سالہ تھا۔ ^[127] اباکوس کی صحیح اصلیت ابھی سامنے نہیں آئی ہے۔ اس میں متحرک موتیوں کی قطاریں ، یا اسی طرح کی اشیاء پر مشتمل ہے ، جو تار پر گھومتا ہے۔ وہ ہندسوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ ان دو نمبروں میں سے ایک ترتیب دی گئی ہے ، اور موتیوں کی مالا کو آپریشن کرنے کے لئے ہیرا پھیری کی جاتی ہے جیسے اضافے ، یا یہاں تک کہ ایک مربع یا کیوبک جڑ بھی۔ سمیرین اباکس 2700 اور 2300 قبل مسیح کے درمیان نمودار ہوا۔ اس میں یکے بعد دیگرے کالموں کا ایک جدول تھا جس نے ان کے سیکسیجسمل (بیس 60) نمبر سسٹم کی وسعت کے یکے بعد دیگرے احکامات کو محدود کردیا۔ ^[128]

بابلیائی ریاضی ایک سیکسیجسمل (بیس -60) ہندسے کے نظام کا استعمال کرتے ہوئے لکھے گئے تھے۔ ^[12] اس سے ایک منٹ میں 60 سیکنڈ ، ایک گھنٹہ میں 60 منٹ ، اور ایک دائرے میں 360 (60 × 6) ڈگری کے ساتھ ساتھ ایک ڈگری کے مختلف حصوں کی نشاندہی کرنے کے لئے ایک دائرے میں ایک گھنٹہ میں 60 منٹ ، اور 360 (60 × 6) ڈگری حاصل کی جاتی ہے۔ یہ امکان ہے کہ سیکسیجسمل سسٹم کا انتخاب اس لئے کیا گیا تھا کہ 60 کو یکساں طور پر 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 10 ، 12 ، 15 ، 20 اور 30 ​​کے ذریعہ تقسیم کیا جاسکتا ہے۔ ^[12] اس کے علاوہ ،مصریوں ، یونانیوں اور رومیوں کے برعکس ، بابل کے لوگوں کے پاس جگہ کی قیمت کا نظام تھا ، جہاں بائیں کالم میں لکھے گئے ہندسوں نے بڑی قیمتوں کی نمائندگی کی تھی ، جس میں کمی کے نظام میں بہت زیادہ اقدار کی نمائندگی ہوتی ہے۔ ^[13] بابل کے نوٹیشنل سسٹم کی طاقت اس میں ہے کہ اسے پوری تعداد کے طور پر آسانی سے مختلف حصوں کی نمائندگی کرنے کے لئے استعمال کیا جاسکتا ہے۔ اس طرح دو نمبروں کو ضرب دینا جس میں مختلف حصوں پر مشتمل ہے ، جدید اشارے سے ملتے جلتے ، ضرب لگانے سے مختلف نہیں تھا۔ ^[13] بابل کے باشندوں کا نوٹادی نظام کسی بھی تہذیب میں سب سے بہتر تھا جب تک کہ نشا. ثانیہ ، ^[14] اور اس کی طاقت نے اسے قابل ذکر کمپیوٹیشنل درستگی کے حصول کی اجازت دی۔ مثال کے طور پر ، بابلیائی ٹیبلٹ وائی بی سی 7289 پانچ اعشاریہ پانچ مقامات سے درست √2 کا اندازہ دیتا ہے۔ ^[14] تاہم ، بابل کے باشندوں کی کمی تھی ، تاہم ، اعشاریہ نقطہ کے مساوی ، اور اس طرح کسی علامت کی جگہ کی قیمت کو اکثر سیاق و سباق سے اندازہ لگانا پڑتا تھا۔ ^[13] سیلیوسیڈ مدت تک ، بابل کے باشندوں نے خالی پوزیشنوں کے لئے پلیس ہولڈر کی حیثیت سے صفر کی علامت تیار کی تھی۔ تاہم یہ صرف انٹرمیڈیٹ پوزیشنوں کے لئے استعمال ہوتا تھا۔ ^[13] یہ صفر علامت ٹرمینل پوزیشنوں پر ظاہر نہیں ہوتا ہے ، اس طرح بابل کے قریب آگئے لیکن انہوں نے حقیقی جگہ کی قیمت کا نظام تیار نہیں کیا۔ ^[13]

بابل کی مٹی کی گولی YBC 7289 تشریحات کے ساتھ۔ اخترن چار سیکسیجیمل اعداد و شمار میں 2 کے مربع جڑ کا ایک قریب دکھاتا ہے ، 1 24 51 10 ، جو تقریبا six چھ اعشاریہ ہندسوں کے لئے اچھا ہے۔

بابلیائی ریاضی کے احاطہ میں شامل دیگر موضوعات میں فرکشن ، الجبرا ، چوکور اور کیوبک مساوات ، اور باقاعدہ نمبروں کا حساب کتاب ، اور ان کے باہمی جوڑ شامل ہیں۔ ^[15] گولیاں میں ضرب میزیں اور لکیری ، چوکور مساوات اور کیوبک مساوات کو حل کرنے کے طریقے بھی شامل ہیں ، جو اس وقت کے لئے ایک قابل ذکر کارنامہ ہے۔ ^[16] پرانے بابل کے دور کی گولیاں میں بھی پائیٹاگورین تھیوریم کا قدیم ترین بیان ہوتا ہے۔ ^[17] تاہم ، جیسا کہ مصری ریاضی کی طرح ، بابلیائی ریاضی کے عین مطابق اور اندازا حلوں کے مابین فرق کے بارے میں کوئی آگاہی نہیں دکھائی دیتی ہے ، یا کسی مسئلے کی حل ، اور سب سے اہم بات یہ ہے کہ ثبوتوں یا منطقی اصولوں کی ضرورت کا کوئی واضح بیان نہیں ہے۔ ^[13]

انہوں نے ایفیمیرس (فلکیاتی عہدوں کی جدول) کی گنتی کے لئے فوئیر تجزیہ کی ایک شکل بھی استعمال کی ، جسے اوٹو نیوجباؤر نے 1950 کی دہائی میں دریافت کیا تھا۔ ^[11] آسمانی لاشوں کی نقل و حرکت کا حساب کتاب کرنے کے لئے ، بابل کے باشندوں نے چاند گرہن پر مبنی بنیادی ریاضی اور ایک کوآرڈینیٹ سسٹم کا استعمال کیا ، جو آسمانوں کا وہ حصہ ہے جس سے سورج اور سیارے گزرتے ہیں۔

یونانی ریاضی کا مبینہ طور پر ملیٹس کے تھیلس (سن 624–548 قبل مسیح) سے شروع ہوا۔ اس کی زندگی کے بارے میں بہت کم جانا جاتا ہے ، حالانکہ عام طور پر اس بات پر اتفاق کیا جاتا ہے کہ وہ یونان کے سات عقلمند مردوں میں سے ایک تھا۔ پروکلس کے مطابق ، اس نے بابل کا سفر کیا جہاں سے اس نے ریاضی اور دیگر مضامین سیکھے ، اس بات کا ثبوت لے کر کہ اب تھیلس کا نظریہ کہلاتا ہے۔ ^[23]

تھیلس کا نظریہ: اگر AC قطر ہے اور B قطر کے دائرے میں ایک نقطہ ہے تو ، زاویہ ∠ ABC ایک صحیح زاویہ ہے۔ @ inductived

تھیلس نے مسائل کو حل کرنے کے لئے جیومیٹری کا استعمال کیا جیسے اہرام کی اونچائی اور ساحل سے جہازوں کے فاصلے کا حساب لگانا۔ اسے جیومیٹری پر لاگو کٹوتی استدلال کے پہلے استعمال کا سہرا دیا گیا ہے ، جس میں چار ارضریوں کو تھیلس کے نظریہ میں شامل کیا گیا ہے۔ اس کے نتیجے میں ، اسے پہلا حقیقی ریاضی دان اور پہلا جانا جاتا فرد کی حیثیت سے سراہا گیا ہے جس سے ریاضی کی دریافت کی گئی ہے۔ ^[30]

ایک یکساں طور پر خفیہ شخصیت سموس (سی. 580–500 قبل مسیح) کا پائیٹاگورس ہے ، جس نے قیاس کیا کہ وہمصر اور بابل کا دورہ کیا ، ^[24] اور بالآخر کروٹن ، میگنا گریسیا میں آباد ہوا ، جہاں اس نے ایک طرح کا اخوت شروع کیا۔ پائیتاگورینز نے قیاس کیا کہ 'سب نمبر' ہے اور وہ نمبروں اور چیزوں کے مابین ریاضی کے تعلقات کی تلاش میں دلچسپی رکھتے ہیں۔ ^[25] خود پائتھاگورس کو بعد میں متعدد دریافتوں کا سہرا دیا گیا ، جس میں پانچ باقاعدہ سالڈوں کی تعمیر بھی شامل ہے۔

یوکلیڈ کے عناصر میں سے تقریبا half نصف مواد روایتی طور پر پائیتاگورینوں سے منسوب کیا جاتا ہے ، بشمول غیرضروریوں کی دریافت ، ہپپاسس (سی. 530–450 قبل مسیح) اور تھیوڈورس (فل. 450 قبل مسیح) سے منسوب ہے۔ ^[26] یہ پائیتاگورین ہی تھے جنہوں نے 'ریاضی' کی اصطلاح تیار کی ، اور جن کے ساتھ ہی اس کی اپنی خاطر ریاضی کا مطالعہ شروع ہوتا ہے۔ اس گروپ سے وابستہ سب سے بڑا ریاضی دان ، تاہم ، آرکیٹاس (سن 435-360 قبل مسیح) ہوسکتا ہے ، جس نے کیوب کو دوگنا کرنے کا مسئلہ حل کیا ، ہارمونک مطلب کی نشاندہی کی ، اور ممکنہ طور پر آپٹکس اور میکانکس میں حصہ لیا۔ ^[26] اس عرصے میں سرگرم دیگر ریاضی دانوں ، جو کسی بھی اسکول سے مکمل طور پر وابستہ نہیں ہیں ، ان میں CHIOs (c. 470–410 BCE) ، تھیٹیٹس (c. 417–369 BCE) ، اور یوڈوکس (c. 408–355 BCE) شامل ہیں۔

غیر معقول تعداد کے وجود کا پہلا ثبوت عام طور پر ایک پائیٹاگورین (ممکنہ طور پر میٹاپونٹم کا ہپپاسس) سے منسوب ہوتا ہے ، ^[39] جنہوں نے شاید پینٹاگرام کے اطراف کی نشاندہی کرتے ہوئے انہیں دریافت کیا۔ ^{[] 40]} اس وقت کے موجودہ پائیٹاگورین طریقہ کار میں دعوی کیا گیا تھا کہ کچھ چھوٹی ، ناقابل تسخیر یونٹ ہونا ضروری ہے جو ان لمبائیوں میں سے ایک کے ساتھ ساتھ دوسری لمبائی میں بھی یکساں طور پر فٹ ہوسکتا ہے۔ ہپپاسس ، 5 ویں صدی قبل مسیح میں ، تاہم ، اس بات کا اندازہ کرنے میں کامیاب رہا تھا کہ حقیقت میں اس کی کوئی مشترکہ اکائی نہیں تھی ، اور اس طرح کے وجود کا دعوی در حقیقت تضاد تھا۔

یونانی ریاضی دانوں نے ناقابل تسخیر طول و عرض الوگوس ، یا ناقابل معافی کے اس تناسب کو قرار دیا۔ تاہم ، ہپپاسس کو ان کی کاوشوں کے لئے سراہا نہیں گیا: ایک لیجنڈ کے مطابق ، اس نے سمندر میں باہر جاتے ہوئے اپنی دریافت کی ، اور اس کے بعد کائنات میں ایک عنصر تیار کرنے پر ان کے ساتھی پائیتاگورینز نے اسے پھینک دیا جس نے ... اس نظریہ کی تردید کی کہ کائنات کے تمام مظاہر کو پوری تعداد اور ان کے راجوں تک کم کیا جاسکتا ہے۔ ' ^{[] १]} خود ہیپاسس کا نتیجہ جو بھی ہو ، اس کی دریافت نے پائیتاگورین ریاضی کو ایک بہت ہی سنگین مسئلہ درپیش کیا ، کیونکہ اس نے اس مفروضے کو بکھر دیا ہے کہ تعداد اور جیومیٹری لازم و ملزوم ہیں۔ یہ ان کے نظریہ کی ایک بنیاد ہے۔

افلاطون دوسروں کو متاثر کرنے اور رہنمائی کرنے کے لئے ریاضی کی تاریخ میں اہم ہے۔ ^{[] 31]} ایتھنز میں اس کی افلاطون اکیڈمی ، چوتھی صدی قبل مسیح میں دنیا کا ریاضی کا مرکز بن گیا ، اور اسی اسکول سے ہی اس وقت کے معروف ریاضی دان ، جیسے سیڈس کے یوڈوکس ، آئے۔ ^{[] 32]} افلاطون نے ریاضی کی بنیادوں پر بھی تبادلہ خیال کیا ، ^{[] 33] نے} کچھ تعریفیں واضح کیں (جیسے کسی لکیر کو 'چوڑائی کی لمبائی' کے طور پر) ، اور مفروضوں کی تنظیم نو کی۔ ^{[] 34]} تجزیاتی طریقہ کار افلاطون کے ساتھ بیان کیا گیا ہے ، جبکہ پائیٹاگورین ٹرپلز کے حصول کا ایک فارمولا اس کا نام ہے۔ ^[32]

چین میں جیومیٹری پر سب سے قدیم کام فلسفیانہ موہسٹ کینن سی سے آتا ہے۔ 330 قبل مسیح ، موزی (470–390 قبل مسیح) کے پیروکاروں کے ذریعہ مرتب کیا گیا۔ مو جینگ نے جسمانی سائنس سے وابستہ بہت سے شعبوں کے مختلف پہلوؤں کو بیان کیا ، اور جیومیٹریکل تھیوریمز کی ایک چھوٹی سی تعداد بھی فراہم کی۔ ^{[] 77]} اس نے فریم ، قطر ، رداس اور حجم کے تصورات کی بھی وضاحت کی۔ ^[78]

سونگھوا بانس پرچی ، جس میں ابتدائی طور پر جانا جاتا اعشاریہ ضرب ٹیبل پر مشتمل تھا (حالانکہ قدیم بابل کے باشندوں کے پاس 60 کا اڈہ تھا) ، 305 قبل مسیح کے قریب تاریخ ہے اور یہ شایدچین کا سب سے قدیم زندہ بچ جانے والا ریاضی کا متن ہے۔ ^{[] 68]} خاص نوٹ یہ ہے کہ ایک اعشاریہ مقاماتی اشارے کے نظام کی چینی ریاضی میں استعمال ، نام نہاد 'راڈ ہندسوں' میں جس میں 1 اور 10 کے درمیان تعداد کے لئے الگ الگ سائفر استعمال کیے گئے تھے ، اور دس کی طاقتوں کے لئے اضافی سائپرز۔ ^[]]] اس طرح ، نمبر 123 '1' کے لئے علامت کا استعمال کرتے ہوئے لکھا جائے گا ، اس کے بعد '100' کی علامت ہوگی ، پھر '2' کی علامت '10' کی علامت ہوگی ، اس کے بعد '3' کی علامت ہوگی۔ اس وقت یہ دنیا کا سب سے جدید نمبر کا نظام تھا ، بظاہر عام دور سے پہلے کئی صدیوں اورہندوستانی ہندسوں کے نظام کی ترقی سے پہلے اچھی طرح سے استعمال ہوتا تھا۔ ^{[] 76]} راڈ ہندسوں نے مطلوبہ نمبروں کی نمائندگی کی اجازت دی جتنی بڑی مطلوبہ اور اس کی اجازت دی گئی ہے کہ وہ سوان پین ، یا چینی اباکس پر حساب کتاب کی جاسکے۔ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ عہدیداروں نے زمین کی سطح کے رقبے ، فصلوں کی پیداوار اور واجب الادا ٹیکسوں کی مقدار کا حساب لگانے کے لئے ضرب ٹیبل کا استعمال کیا۔ ^[68]

ہیلینسٹک ایرا کا آغاز چوتھی صدی قبل مسیح کے آخر میں ہوا ، اس کے بعد ، ایسٹرن بحیرہ روم ،مصر ، میسوپوٹیمیا ، ایرانی سطح مرتفع ، وسطی ایشیا ، اورہندوستان کے کچھ حصوں کی فتح کے بعد ، یونانی زبان اور ثقافت کو پھیلانے کا باعث بنے۔ یونانی پوری ہیلینسٹک دنیا میں اسکالرشپ کا زبان بن گیا ، اور کلاسیکی دور کی ریاضی جو مصری اور بابل کے ریاضی کے ساتھ مل گئی تاکہ ہیلینسٹک ریاضی کو جنم دیا جاسکے۔ ^[27]

یونانی ریاضی اور فلکیات نے ہیلینسٹک اور ابتدائی رومن ادوار کے دوران اپنے اکیم تک پہنچا ، اور زیادہ تر کام مصنفین جیسے یوکلیڈ (فل. 300 قبل مسیح) ، آرکیمیڈیز (سی. 287–212 قبل مسیح) ، پیولونیئس (سی. 240–190 بِس) ، ہپپارکس (سی. 190–120 ب) ، ہپپارکس (سی. 190–120 بی سی ای) جیسے کام کی نمائندگی کرتے ہیں۔ ایک بہت ہی اعلی درجے کا تھا اور ایک چھوٹے دائرے کے باہر شاذ و نادر ہی مہارت حاصل کرتا تھا۔

سیکھنے کے متعدد مراکز ہیلینسٹک دور کے دوران نمودار ہوئے ، جن میں سب سے اہم اسکندریہ ، مصر میں ماؤسین تھا ، جس نے ہیلینسٹک دنیا کے اسکالرز (زیادہ تر یونانی ، بلکہ مصری ، یہودی ، فارسی ، دوسروں کے درمیان) کو راغب کیا۔ ^[28] اگرچہ تعداد میں بہت کم ، ہیلینسٹک ریاضی دانوں نے ایک دوسرے کے ساتھ فعال طور پر بات چیت کی۔ اشاعت میں ساتھیوں میں کسی کے کام کو گزرنے اور کاپی کرنے پر مشتمل ہے۔ ^[29]

تیسری صدی قبل مسیح میں ، ریاضی کی تعلیم اور تحقیق کا سب سے اہم مرکز اسکندریہ کا مسیم تھا۔ ^{[] 36]} وہیں ہی یوکلیڈ (سی. 300 بی سی ای) نے پڑھایا ، اور عناصر لکھا ، جسے وسیع پیمانے پر اب تک کی سب سے کامیاب اور بااثر درسی کتاب سمجھا جاتا ہے۔ ^[35]

'جیومیٹری کا باپ' سمجھا جاتا ہے ، یوکلڈ بنیادی طور پر عناصر کے مقالے کے لئے جانا جاتا ہے ، جس نے جیومیٹری کی بنیادیں قائم کیں جنہوں نے 19 ویں صدی کے اوائل تک بڑے پیمانے پر اس میدان میں غلبہ حاصل کیا۔ اس کے سسٹم کو ، جسے اب یوکلیڈین جیومیٹری کہا جاتا ہے ، اس میں پہلے یونانی ریاضی دانوں کے نظریات کی ترکیب کے ساتھ مل کر نئی بدعات شامل تھیں ، جن میں کنیڈس کے یوڈوکس ، چیوس کے ہپپوکریٹس ، تھیلس اور تھیٹیٹس شامل ہیں۔ پرگا کے آرکیمیڈیز اور اپولونیئس کے ساتھ ، یوکلیڈ کو عام طور پر قدیم قدیم کے سب سے بڑے ریاضی دانوں میں سمجھا جاتا ہے ، اور ریاضی کی تاریخ کا سب سے زیادہ اثر و رسوخ ہے۔

عناصر نے محوراتی طریقہ کار کے ذریعہ ریاضی کی سختی کو متعارف کرایا اور آج بھی ریاضی میں استعمال ہونے والے فارمیٹ کی ابتدائی مثال ہے ، تعریف ، محور ، تھیوریم اور ثبوت۔ اگرچہ عناصر کے بیشتر مندرجات پہلے ہی معلوم تھے ، یوکلیڈ نے انہیں ایک واحد ، مربوط منطقی فریم ورک میں ترتیب دیا۔ ^{[] 37]} یوکلیڈین جیومیٹری کے واقف نظریات کے علاوہ ، عناصر کا مطلب اس وقت کے تمام ریاضی کے مضامین ، جیسے نمبر تھیوری ، الجبرا اور ٹھوس جیومیٹری کے لئے ایک تعارفی درسی کتاب کے طور پر تھا ، ^{[] 37]} اس بات کا ثبوت بھی شامل ہے کہ دو کی مربع جڑ غیر معقول ہے اور یہ کہ بہت ساری بنیادی تعداد ہے۔ یوکلیڈ نے دوسرے مضامین ، جیسے کونک سیکشنز ، آپٹکس ، کروی جیومیٹری ، اور میکانکس پر بھی بڑے پیمانے پر لکھا ، لیکن اس کی صرف نصف تحریریں زندہ ہیں۔ ^[38]

یوکلیڈین الگورتھم عام استعمال میں قدیم الگورتھم میں سے ایک ہے۔ ^{[] 93]} یہ یوکلیڈ کے عناصر (c. 300 BC) میں ظاہر ہوتا ہے ، خاص طور پر کتاب 7 (پروپوزیشن 1-22) اور کتاب 10 (تجویزات 2–3) میں۔ کتاب 7 میں ، الگورتھم انٹیجرز کے لئے تیار کیا گیا ہے ، جبکہ کتاب 10 میں ، یہ لائن طبقات کی لمبائی کے لئے تیار کیا گیا ہے۔ صدیوں کے بعد ، یوکلیڈ کا الگورتھم آزادانہ طور پر ہندوستان اور چین دونوں میں دریافت ہوا ، ^{[] 94]} بنیادی طور پر ڈیووفنٹائن مساوات کو حل کرنے کے لئے جو فلکیات میں پیدا ہوئے اور درست کیلنڈر بناتے ہیں۔

سائراکیز کے آرکیمیڈیز کو کلاسیکی نوادرات میں ایک سرکردہ سائنسدانوں میں سے ایک سمجھا جاتا ہے۔ قدیم تاریخ کا سب سے بڑا ریاضی دان ، اور اب تک کا سب سے بڑا ریاضی سمجھا جاتا ہے ، ^{[] २]} آرکیمیڈیز متوقع جدید کیلکولس اور تجزیہ کو لامحدود چھوٹے کے تصور کو لاگو کرکے اور جغرافیائی نظریہ کی ایک حد کو سختی سے ثابت کرنے کے لئے تھکن کے طریقہ کار کو لاگو کرتے ہیں۔ ^{[] 43]} ان میں دائرے کا رقبہ ، سطح کا رقبہ اور ایک دائرہ کا حجم ، بیضوی شکل کا رقبہ ، پیرابولا کے نیچے کا علاقہ ، انقلاب کے پیرابولائڈ کے ایک حصے کا حجم ، انقلاب کے ایک ہائپربولائڈ کے ایک حصے کا حجم ، اور سرپل کا رقبہ شامل ہے۔ ^[44]

آرکیمیڈیز کی دیگر ریاضی کی کامیابیوں میں PI کا اندازہ لگانا ، آرکیڈیمین سرپل کی وضاحت اور تفتیش کرنا ، اور بہت بڑی تعداد کے اظہار کے ل exp توسیع کا استعمال کرتے ہوئے ایک نظام وضع کرنا شامل ہے۔ وہ اعدادوشمار اور ہائیڈروسٹیٹکس پر کام کرنے والے جسمانی مظاہر میں ریاضی کا اطلاق کرنے والے پہلے لوگوں میں سے ایک تھا۔ اس علاقے میں آرکیمیڈیز کی کامیابیوں میں لیور کے قانون کا ایک ثبوت شامل ہے ، ^[45] مرکز کشش ثقل کے تصور کے وسیع پیمانے پر استعمال ، ^{[] 46]} اور خوشی یا آرکیمیڈیز کے اصول کے قانون کی تزئین و آرائش۔

آرکیڈیمز کا انتقالسائراکیز کے محاصرے کے دوران ہوا ، جب اسے حکم کے باوجود رومی سپاہی کے ہاتھوں مارا گیا تھا کہ اسے نقصان نہیں پہنچایا جانا چاہئے۔

پرگا کے اپولونیئس (سی. 262–190 قبل مسیح) نے شنک سیکشنز کے مطالعہ میں نمایاں پیشرفت کی ، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کوئی بھی طیارے کے زاویہ کو مختلف کرکے شنک سیکشن کی تینوں اقسام حاصل کرسکتا ہے جو ڈبل نیپڈ شنک کو کاٹتا ہے۔ ^{[] 47]} اس نے آج بھیونک سیکشنز ، یعنی پیرابولا ('جگہ' یا 'موازنہ') ، 'بیضوی' ('کمی') ، اور 'ہائپربولا' ('تھرو سے آگے') کے لئے بھی اصطلاحات استعمال کی ہیں۔ ^{[. 48]} اس کا کام کا کونکس قدیم قدیم سے سب سے مشہور اور محفوظ ریاضی کے کاموں میں سے ایک ہے ، اور اس میں وہ مخروطی حصوں سے متعلق بہت سارے نظریات اخذ کرتا ہے جو بعد میں ریاضی دان اور ماہر فلکیات کے لئے انمول ثابت ہوں گے جو سیاروں کی تحریک کا مطالعہ کرتے ہیں ، جیسے اسحاق نیوٹن۔ ^[.]] اگرچہ نہ تو اپولونیئس اور نہ ہی کسی دوسرے یونانی ریاضی دانوں نے جیومیٹری کو مربوط کرنے کے لئے چھلانگ لگائی ، لیکن اپولونیئس کا منحنی خطوط کا علاج کچھ طریقوں سے جدید علاج سے ملتا جلتا ہے ، اور اس کا کچھ کام کچھ 1800 سال بعد ڈسکارٹس کے ذریعہ تجزیاتی جیومیٹری کی ترقی کی توقع کرتا ہے۔ ^[50]

شنک حصے ، یا دو جہتی اعداد و شمار مختلف زاویوں پر شنک کے ساتھ ہوائی جہاز کے چوراہے کے ذریعہ تشکیل پاتے ہیں۔ ان اعداد و شمار کا نظریہ قدیم یونانی ریاضی دانوں نے بڑے پیمانے پر تیار کیا تھا ، خاص طور پر پرگا کے اپولونیئس جیسے کاموں میں زندہ رہا۔ کونک سیکشن جدید ریاضی کو پھیلاتے ہیں۔

212 قبل مسیح میں ، شہنشاہ کن شی ہوانگ نے سرکاری طور پر منظور شدہ کتابوں کو جلانے کے علاوہ کن سلطنت میں تمام کتابوں کی کمانڈ کی۔ اس فرمان کی عالمی سطح پر اطاعت نہیں کی گئی تھی ، لیکن اس حکم کے نتیجے میں اس تاریخ سے پہلے قدیمچینی ریاضی کے بارے میں بہت کم جانا جاتا ہے۔ کتاب برننگ آف 212 ​​قبل مسیح کے بعد ، ہان خاندان (202 قبل مسیح - 220 عیسوی) نے ریاضی کے کام تیار کیے جو شاید اب کھوئے ہوئے کاموں پر پھیل گئے ہیں۔

کتاب برننگ آف 212 ​​قبل مسیح کے بعد ، ہان خاندان (202 قبل مسیح - 220 عیسوی) نے ریاضی کے کام تیار کیے جو شاید اب کھوئے ہوئے کاموں پر پھیل گئے ہیں۔ ان میں سے سب سے اہم ریاضی کے فن کے نو ابواب ہیں ، جس کا مکمل عنوان سی ای 179 نے شائع کیا تھا ، لیکن پہلے سے دوسرے عنوانات کے تحت حصہ میں موجود تھا۔ اس میں 246 الفاظ کی پریشانیوں پر مشتمل ہے جس میں زراعت ، کاروبار ، جیومیٹری کی روزگار کی اونچائی کے فاصلے اور طول و عرض کے تناسب کو چینی پاگوڈا ٹاورز ، انجینئرنگ ، سروے کرنے ، اور دائیں مثلث پر مواد شامل ہے۔ ^{[] 79]} اس نے پائیتاگورین تھیوریم کے لئے ریاضی کا ثبوت پیدا کیا ، ^{[] 81]} اور گاوسی کے خاتمے کے لئے ایک ریاضی کا فارمولا۔ ^{[] 80]} یہ مقالہ π ، ^[]] کی اقدار بھی مہیا کرتا ہے ، جسے چینی ریاضی دانوں نے اصل میں 3 کے طور پر لگایا تھا جب تک کہ لیو ژن (ڈی. 23 سی) نے 3.1457 اور اس کے نتیجے میں ژانگ ہینگ (78–139) نے پی آئی کو 3.1724 کے طور پر قرار دیا ، ^{[] 82]} کے ساتھ ساتھ 3.162 کے ساتھ ساتھ ^{3.162 کو} 10 کی مربع کی جڑ سے لے کر۔

ریاضی کے فن کے نو ابواب میں تاریخ میں پہلی بار منفی تعداد ظاہر ہوتی ہے لیکن اس میں بہت زیادہ پرانا مواد ہوسکتا ہے۔ ^{[] 84]} ریاضی دان لیو ھوئی (سی. تیسری صدی) نے منفی تعداد کے اضافے اور گھٹاؤ کے لئے قواعد وضع کیے۔

تیسری صدی قبل مسیح کو عام طور پر یونانی ریاضی کا 'سنہری دور' سمجھا جاتا ہے ، اس کے بعد نسبتا declect کمی کے بعد خالص ریاضی میں پیشرفت ہوتی ہے۔ ^{[] 51]} اس کے باوجود ، ان صدیوں میں جو اہم پیشرفت کے بعد اپلائیڈ ریاضی میں کی گئیں ، خاص طور پر سہ رخی ، بڑے پیمانے پر ماہرین فلکیات کی ضروریات کو پورا کرنے کے لئے۔ ^{[] 51]} ہپپرکس آف نیکیا (سن 190-120 قبل مسیح) کو پہلی معروف مثلث ٹیبل کو مرتب کرنے کے لئے مثلثی ٹریونومیٹری کا بانی سمجھا جاتا ہے ، اور اس کے لئے بھی 360 ڈگری دائرے کے منظم استعمال کی وجہ سے ہے۔ ^[52]

دوسری صدی عیسوی میں ، گریکو-مصری فلکیات کے ماہر ٹولمی (اسکندریہ ، مصر سے) نے کتاب 1 ، اس کے الماجیسٹ کے باب 11 میں تفصیلی مثلث ٹیبل (ٹولیمی کی ٹیبل آف راگ) تعمیر کی۔ ٹولمی نے اپنے مثلثی افعال کی وضاحت کے لئے راگ کی لمبائی کا استعمال کیا ، آج ہم جس سائن کنونشن کا استعمال کرتے ہیں اس سے ایک معمولی فرق ہے۔ مزید تفصیلی میزیں تیار کرنے سے پہلے صدیوں گزر چکے ہیں ، اور قرون وسطی کے بازنطینی ، اسلامی ، اور بعد میں ، مغربی یورپی دنیاؤں میں اگلے 1200 سالوں میں فلکیات میں ٹریگونومیٹرک حساب کتاب کرنے کے لئے ٹولمی کا مقالہ استعمال میں رہا۔ ٹولیمی کو ٹریگونومیٹرک مقدار میں اخذ کرنے کے لئے ٹولمی کے تھیوریم ، اور قرون وسطی کے دور تک ، چین سے باہر کی سب سے درست قیمت ، 3.1416 تک کا سہرا بھی دیا گیا ہے۔ ^{[] 63]}

ریاضی میں ، چینی باقی تھیوریم میں کہا گیا ہے کہ اگر کوئی کئی عدد کے ذریعہ ایک انٹیجر این کے یوکلیڈین ڈویژن کے باقی افراد کو جانتا ہے تو ، پھر کوئی بھی ان عددیوں کی پیداوار کے ذریعہ N کی تقسیم کے باقی حصوں کا انفرادی طور پر تعین کرسکتا ہے ، اس شرط کے تحت کہ تقسیم کرنے والے جوڑے کی طرح کاپی ہیں (کوئی دو تقسیم کرنے والے ایک عام عنصر کو نہیں)۔ اس نظریہ کا قدیم ترین بیان تیسری صدی عیسوی میں چینی ریاضی دان سن ززو نے سن ززو سوان چنگ میں کیا ہے۔

ٹولمی کے بعد جمود کی مدت کے بعد ، 250 اور 350 عیسوی کے درمیان مدت کو کبھی کبھی یونانی ریاضی کا 'سلور ایج' کہا جاتا ہے۔ ^{[] 53]} اس عرصے کے دوران ، ڈیووفینٹس نے الجبرا میں خاص طور پر غیر یقینی تجزیہ میں نمایاں پیشرفت کی ، جسے 'ڈیووفینٹائن تجزیہ' کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ ^{[] 54]} ڈیووفینٹائن مساوات اور ڈیووفینٹائن کے قریب ہونے کا مطالعہ آج تک تحقیق کا ایک اہم علاقہ ہے۔ اس کا بنیادی کام ریاضی کا تھا ، جو مساوات کا تعین کرنے اور غیر منقولہ مساوات کے عین مطابق حلوں سے نمٹنے کے 150 الجبری مسائل کا ایک مجموعہ تھا۔ ^{[] 55]} ریاضی کے بعد ریاضی دانوں ، جیسے پیری ڈی فریمت پر ریاضی کا ایک خاص اثر تھا ، جو ریاضی میں پڑھے جانے والے مسئلے کو عام کرنے کی کوشش کرنے کے بعد اپنے مشہور آخری نظریہ پر پہنچا تھا (جس کی وجہ سے ایک چوک کو دو چوکوں میں تقسیم کیا گیا تھا)۔ ^{[] 56]} ڈیووفینٹس نے اشارے میں بھی نمایاں پیشرفت کی ، ریاضی الجبری علامت اور ہم آہنگی کی پہلی مثال ہے۔ ^[55]

قدیممصری ہندسے بیس 10 کے تھے۔ انہوں نے ہندسوں کے لئے ہائروگلیفس کا استعمال کیا اور وہ مقام نہیں تھے۔ دوسری ہزاریہ قبل مسیح کے وسط تک ، بابلیائی ریاضی میں ایک نفیس اڈہ 60 پوزیشنیکل ہندسہ نظام تھا۔ پوزیشنیکل ویلیو (یا صفر) کی کمی کا اشارہ سیکسیجسمل ہندسوں کے درمیان جگہ کے ذریعہ کیا گیا تھا۔ جنوبی وسطی میکسیکو اور وسطی امریکہ میں تیار کردہ میسوامریکن لانگ کاؤنٹ کیلنڈر کو اپنے وائجسیمل (بیس -20) کے مقاماتی ہندسوں کے نظام میں پلیس ہولڈر کے طور پر صفر کے استعمال کی ضرورت ہے۔

ہندوستان میں اعشاریہ کی قیمت کے اشارے میں تحریری ہندسے کے طور پر صفر کا تصور تیار کیا گیا تھا۔ ^{[] 65]} صفر کے لئے ایک علامت ، ایک بہت بڑا ڈاٹ اب بھی موجودہ کھوکھلی علامت کا پیش خیمہ ہونے کا امکان ہے ، یہ پوری بخلی مخطوطہ میں استعمال ہوتا ہے ، جو تاجروں کے لئے ریاضی پر ایک عملی دستی ہے۔ ^{[] 66]} 2017 میں ، مخطوطہ کے تین نمونے ریڈیو کاربن کے ذریعہ دکھائے گئے تھے جو تین مختلف صدیوں سے آتے ہیں: سی ای 224–383 ، سی ای 680–779 ، اور سی ای 885–993 سے ، یہ جنوبی ایشیاء کا صفر کی علامت کا سب سے قدیم ریکارڈ شدہ استعمال ہے۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ کس طرح مختلف صدیوں سے برچ چھال کے ٹکڑے ٹکڑے ٹکڑے کر رہے ہیں جو ایک ساتھ پیک کیا گیا۔ ^{[] 67]} صفر کے استعمال پر حکمرانی کرنے والے قواعد برہما گپت کے برہمسپوتھا سدھانتھا (ساتویں صدی) میں شائع ہوئے ، جو صفر کے ساتھ صفر کے ساتھ صفر کے ساتھ ، اور غلط طور پر صفر کے ذریعہ تقسیم کرتے ہیں۔

صفر کے ذریعہ تقسیم ہونے پر ایک مثبت یا منفی تعداد صفر کے ساتھ ڈیمینیٹر کے طور پر ایک حصہ ہے۔ کسی منفی یا مثبت تعداد کے ذریعہ تقسیم شدہ صفر یا تو صفر ہے یا اس کا اظہار صفر کے ساتھ اعداد کے طور پر ہوتا ہے اور اس کی حدود کو فرق کے طور پر محدود مقدار میں۔ صفر صفر سے تقسیم شدہ صفر ہے۔

تاریخ کے ذریعہ ریکارڈ کی جانے والی پہلی خاتون ریاضی دان اسکندریہ (سی ای 350–415) کی ہائپٹیا تھی۔ اس نے اپلائیڈ ریاضی پر بہت سارے کام لکھے۔ ایک سیاسی تنازعہ کی وجہ سے ، اسکندریہ میں عیسائی برادری نے اسے عوامی طور پر چھین لیا اور پھانسی دے دی۔ اس کی موت کو بعض اوقات اسکندرین یونانی ریاضی کے دور کے خاتمے کے طور پر لیا جاتا ہے ، حالانکہ ایتھنز میں ایک اور صدی تک کام جاری رہا ، جس میں پروکلس ، سمپلیسیس اور یوٹوسیوس جیسی شخصیات ہیں۔ ^{[] 57]} اگرچہ پروکلس اور سادگی ریاضی دانوں سے زیادہ فلسفی تھے ، لیکن اس سے قبل کے کاموں پر ان کی تبصرے یونانی ریاضی کے قابل قدر ذرائع ہیں۔ 529 عیسوی میں شہنشاہ جسٹنین کے ذریعہ ایتھنز کی نو پلاٹونک اکیڈمی کی بندش روایتی طور پر یونانی ریاضی کے دور کے خاتمے کے طور پر منعقد کی جاتی ہے ، حالانکہ یونانی روایت نے بازنطینی سلطنت میں ریاضی کے لوگوں کے ساتھ غیر منقولہ سلطنت میں غیر منقولہ جاری رکھا ہے ، جیسے ہیگیا کے نسخے اور اسیڈور آف میلٹس کے نسخوں کے ساتھ۔ ^{[] 58]} اس کے باوجود ، بازنطینی ریاضی میں زیادہ تر تبصرے شامل تھے ، جن میں جدت کی راہ میں بہت کم تھا ، اور ریاضی کی جدت کے مراکز اس وقت تک کہیں اور پائے جائیں گے۔ ^[59]

جدید سائن کنونشن کی تصدیق سب سے پہلے سوریا سدھانت میں کی گئی ہے (مضبوط ہیلینسٹک اثر و رسوخ کو ظاہر کرتی ہے) ^{[] 64]} ، اور اس کی خصوصیات کو مزید پانچویں صدی (عیسوی) ہندوستانی ریاضی دان اور ماہر فلکیات کے ماہر آریابھاٹا نے مزید دستاویز کیا۔ ^{[] 60]} سوریا سدھانتا مختلف برجوں ، مختلف سیاروں کے قطروں کے نسبت مختلف سیاروں اور چاند کی حرکات کا حساب لگانے کے قواعد کی وضاحت کرتی ہے ، اور مختلف فلکیاتی جسموں کے مدار کا حساب لگاتی ہے۔ یہ متن سیکسیجسل فرکشن اور ٹرگونومیٹرک افعال کی کچھ ابتدائی گفتگو کے لئے جانا جاتا ہے۔ ^[61]

500 کے قریب عیسوی ، آریابھاٹا نے آیت میں لکھا ہوا ایک پتلا حجم ، آریابھاٹیہ لکھا ، جس کا مقصد فلکیات اور ریاضی کی بحالی میں استعمال ہونے والے حساب کتاب کے قواعد کو پورا کرنا ہے۔ ^{[] २]} اگرچہ اندراجات میں سے نصف غلط ہیں ، لیکن یہ آریابھاٹیہ میں ہے کہ اعشاریہ مقام کی قدر کا نظام پہلے ظاہر ہوتا ہے۔

نویں صدی میں ، ریاضی دان محمد ابن میس الخوریزمی ī نے ہندو-خطرے کے اعداد پر ایک اہم کتاب اور مساوات کو حل کرنے کے طریقوں پر ایک اہم کتاب لکھی۔ ان کی کتاب برائے حساب کتاب کے ساتھ ہندو ہندسوں کے ساتھ ، 825 کے بارے میں لکھی گئی ، الکونی کے کام کے ساتھ ، مغرب میں ہندوستانی ریاضی اور ہندوستانی ہندسوں کو پھیلانے میں اہم کردار ادا کیا گیا تھا۔ لفظ الگورتھم اس کے نام ، الگوریتمی ، اور ان کے ایک کام کے عنوان سے الجبرا کا لفظ الکیتب المخوتار فھاساب ال الابر وال موکالہ (تکمیل اور توازن کے حساب سے حساب کتاب پر مبنی کتاب) سے اخذ کیا گیا ہے۔ اس نے مثبت جڑوں کے ساتھ چوکور مساوات کے الجبری حل کی ایک مکمل وضاحت دی ، ^{[] 87]} اور وہ ابتدائی شکل میں اور اپنی خاطر الجبرا کی تعلیم دینے والا پہلا شخص تھا۔ ^{[] 88]} اس نے 'کمی' اور 'توازن' کے بنیادی طریقہ کار پر بھی تبادلہ خیال کیا ، جس میں مساوات کے دوسرے طرف منہا شرائط کی منتقلی کا حوالہ دیا گیا ، یعنی مساوات کے مخالف فریقوں پر ایسی اصطلاحات کی منسوخی۔ یہ وہ آپریشن ہے جسے الخوریزمی نے اصل میں الجبر کے طور پر بیان کیا تھا۔ ^{[] 89]} اس کے الجبرا کو اب بھی اس بات کی فکر نہیں کی جا رہی تھی کہ 'مسائل کی ایک سیریز کو حل کیا جائے ، لیکن ایک ایسا نمائش جس کا آغاز قدیم اصطلاحات سے ہوتا ہے جس میں امتزاج کو مساوات کے لئے ہر ممکن پروٹو ٹائپ دینا ضروری ہے ، جو واضح طور پر مطالعہ کا حقیقی مقصد تشکیل دیتے ہیں۔' انہوں نے اپنی خاطر اور 'عام انداز میں ، ایک مساوات کا مطالعہ کیا ، کیونکہ یہ کسی مسئلے کو حل کرنے کے دوران محض ابھر نہیں ہوتا ہے ، بلکہ خاص طور پر بلایا جاتا ہے کہ وہ لامحدود طبقے کی پریشانیوں کی وضاحت کرے۔' ^[90]

ابی کمیل شجع ابن اسلم ابن محمد ابن شج āʿ اسلامی سنہری دور کے دوران ایک ممتازمصری ریاضی دان تھے۔ وہ پہلے ریاضی دان سمجھا جاتا ہے جس نے غیر معقول تعداد کو مساوات کے حل اور قابلیت کے طور پر منظم طریقے سے استعمال اور قبول کیا ہے۔ ^{[] 91]} بعد میں ان کی ریاضی کی تکنیکوں کو فبونیکی نے اپنایا ، اس طرح ابو کمیل کو الجبرا کو یورپ میں متعارف کرانے میں ایک اہم کردار کی اجازت دی گئی۔ ^[92]

کولمبیا سے قبل کے امریکہ میں ، پہلی ہزاریہ عیسوی کے دوران میکسیکو اور وسطی امریکہ میں پھل پھولنے والی مایا تہذیب نے ریاضی کی ایک انوکھی روایت تیار کی جو ، اس کے جغرافیائی تنہائی کی وجہ سے ، موجودہ یورپی ،مصری اور ایشین ریاضی سے مکمل طور پر آزاد تھی۔ ^{[] 92]} مایا ہندسوں نے دس کے اڈے کی بجائے بیس کا ایک اڈہ استعمال کیا ، جو زیادہ تر جدید ثقافتوں کے ذریعہ استعمال ہونے والے اعشاریہ نظام کی بنیاد تشکیل دیتا ہے۔ ^[]]] مایا نے مایا کیلنڈر بنانے کے ساتھ ساتھ اپنے آبائی آبائی مایا فلکیات میں فلکیاتی مظاہر کی پیش گوئی کرنے کے لئے ریاضی کا استعمال کیا۔ ^[]]] اگرچہ بہت سے عصری ثقافتوں کی ریاضی میں صفر کے تصور کا اندازہ لگانا پڑا ، مایا نے اس کے لئے ایک معیاری علامت تیار کی۔ ^[92]

مایا ہندسوں

ڈریسڈن کوڈیکس کے صفحہ 43B کا سیکشن صفر کی مختلف نمائندگیوں کو ظاہر کرتا ہے۔

ابی بکر معمد ابن العصان الکارجی دسویں صدی کے فارسی ریاضی دان اور انجینئر تھے جو بغداد میں پروان چڑھے تھے۔ وہ تہران کے قریب واقع شہر کارج میں پیدا ہوا تھا۔ اس کے تین پرنسپل زندہ بچ جانے والے کام ریاضی کی ہیں: البدی 'فِل-ہساب (حساب کتاب پر حیرت انگیز) ، الفخری فِل-جابر وِل موکابالا (الجبرا پر شاندار) ، اور الکافی فائی ہساب (حساب کتاب پر کافی)۔

الکارجی نے ریاضی اور انجینئرنگ پر لکھا۔ کچھ لوگ اسے محض دوسروں کے نظریات کو دوبارہ کام کرتے ہیں (وہ ڈیووفینٹس سے متاثر تھا) لیکن زیادہ تر اسے جیومیٹری سے الجبرا کو آزاد کرنے کے آغاز کے لئے خاص طور پر زیادہ اصلی سمجھتے ہیں۔ مورخین میں ، ان کا سب سے زیادہ مطالعہ کیا گیا کام ان کی الجبرا کی کتاب الفخری فائی الجبر وا المقابالا ہے ، جو قرون وسطی کے دور سے کم از کم چار کاپیاں میں زندہ ہے۔ الجبرا اور کثیر الجماعیات پر ان کے کام نے کثیر الجہتی افراد کو شامل کرنے ، گھٹانے اور ضرب لگانے کے لئے ریاضی کی کارروائیوں کے قواعد فراہم کیے۔ اگرچہ وہ monomials کے ذریعہ کثیر الجہتی تقسیم کرنے تک ہی محدود تھا۔

چینی ریاضی کا اعلی پانی کا نشان 13 ویں صدی میں چینی الجبرا کی ترقی کے ساتھ ، سونگ خاندان (960–1279) کے آخری نصف کے دوران ہوا۔ اس دور کا سب سے اہم متن جھو شیجی (1249–1314) کے چار عناصر کا قیمتی آئینہ ہے ، جس میں ہورنر کے طریقہ کار سے ملتے جلتے طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے بیک وقت اعلی آرڈر الجبری مساوات کے حل سے نمٹا گیا ہے۔ ^{[ . 70]} قیمتی آئینے میں پاسکل کے مثلث کا ایک آریھ بھی شامل ہے جس میں آٹھویں طاقت کے ذریعہ بائنومیئل پھیلاؤ کے گتانکوں کے ساتھ موجود ہیں ، حالانکہ یہ دونوں 1100 کے اوائل میں چینی کاموں میں نظر آتے ہیں۔ ^[71]

پاسکل کے مثلث کی ڈرائنگ سی ای 1303 میں ژو شیجی (سی ای 1260-1320) کے ذریعہ ، اس کی سی یوآن یو جیان میں شائع ہوئی۔ ریاضی دان جیا ژیان اور یانگ ھوئی کے بعد ، چینیوں کے ذریعہ اسے جیا ژیان مثلث یا یانگوی مثلث کہا جاتا تھا۔

جاپانی ریاضی ،کوریائی ریاضی اور ویتنامی ریاضی کو روایتی طور پر چینی ریاضی سے پیدا ہونے اور کنفیوشین میں مقیم مشرقی ایشین ثقافتی شعبے سے تعلق رکھنے والے کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ ^{[] २]} کوریائی اور جاپانی ریاضی چین کے سونگ خاندان کے دوران پیدا ہونے والے الجبری کاموں سے بہت زیادہ متاثر ہوئے تھے ، جبکہ ویتنامی ریاضی چین کے منگ خاندان (1368–1644) کے مقبول کاموں کا بہت زیادہ مقروض تھا۔ ^{[] 73]} مثال کے طور پر ، اگرچہ ویتنامی ریاضی کے مقالے چینیوں یا آبائی ویتنامی چی نیم اسکرپٹ میں سے کسی ایک میں لکھے گئے تھے ، لیکن ان سب نے ان کو حل کرنے کے لئے الگورتھم کے ساتھ مسائل کا ایک مجموعہ پیش کرنے کے چینی فارمیٹ پر عمل کیا ، اس کے بعد عددی جوابات تھے۔ ^{[. 74]} ویتنام اور کوریا میں ریاضی زیادہ تر ریاضی دانوں اور ماہرین فلکیات کی پیشہ ورانہ عدالت بیوروکریسی سے وابستہ تھے ، جبکہ جاپان میں یہ نجی اسکولوں کے دائرے میں زیادہ پائے جاتے ہیں۔ ^[75]

یورپی باشندوں نے 10 ویں صدی کے بارے میں عربی ہندسوں کے بارے میں سیکھا ، حالانکہ ان کا پھیلاؤ ایک آہستہ آہستہ عمل تھا۔ دو صدیوں کے بعد ، الجزائر کے شہر بیجا میں ، اطالوی اسکالر فبونیکی نے پہلی بار اس ہندسوں کا سامنا کیا۔ ان کا کام ان کو پورے یورپ میں مشہور کرنے میں بہت ضروری تھا۔ یورپی تجارت ، کتابیں اور استعمار نے دنیا بھر میں عربی ہندسوں کو اپنانے میں مقبول بنانے میں مدد کی۔ ہندسوں نے لاطینی حروف تہجی کے عصری پھیلاؤ سے بالاتر ہوکر دنیا بھر کے استعمال کو نمایاں طور پر پایا ہے ، اور تحریری نظاموں میں عام ہوچکے ہیں جہاں پہلے ہندسوں کے نظام موجود تھے ، جیسے چینی اور جاپانی ہندسے۔ مغرب میں 1 سے 9 تک کے ہندسوں کا پہلا تذکرہ 976 کے کوڈیکس ویجیلینس میں پائے جاتے ہیں ، جو مختلف تاریخی دستاویزات کا ایک روشن مجموعہ ہے جس میں نوادرات سے لے کر 10 ویں صدی تک ہسپانیہ میں ایک مدت کا احاطہ کیا گیا ہے۔ ^[68]

12 ویں صدی میں ، یورپی اسکالرز اسپین اور سسلی کا سفر کرتے ہوئے سائنسی عربی متن کی تلاش میں تھے ، جن میں الخواورزمی کی "کلیننگ کے ذریعہ ، روبرٹ آف چیسٹر کے ذریعہ لاطینی زبان میں ترجمہ اور توازن کے حساب سے حساب کتاب کی کتابی کتاب شامل تھی ، اور یوکلیڈ کے عناصر کے مکمل متن ، جو ایک ایڈیلارڈ کے مختلف ورژن میں ترجمہ کیا گیا ہے ، اور اس کا ترجمہ کیا گیا ہے۔ ^[95] ان اور دیگر نئے ذرائع نے ریاضی کی تجدید کو جنم دیا۔

پیسا کے لیونارڈو ، جو اب فبونیکی کے نام سے جانا جاتا ہے ، نے اپنے مرچنٹ والد کے ساتھ الجیریا ، الجیریا کے سفر کے دوران ہندو - عربی ہندسوں کے بارے میں بے دردی سے سیکھا۔ (یورپ ابھی بھی رومن ہندسوں کا استعمال کر رہا تھا۔) وہاں ، اس نے ریاضی (خاص طور پر الگ الگ ازم) کا ایک ایسا نظام دیکھا جس کی وجہ سے ہندو - عربی ہندسوں کی پوزیشن کی نشاندہی کی وجہ سے زیادہ موثر اور بہت زیادہ کام کرنے والی تجارت تھی۔ اسے جلد ہی ہندو عربی نظام کے بہت سے فوائد کا احساس ہوا ، جو اس وقت کے رومن ہندسوں کے برعکس ، جگہ کی قیمت کے نظام کا استعمال کرتے ہوئے آسان حساب کتاب کی اجازت دیتے ہیں۔ لیونارڈو نے 1202 میں لیبر اباسی کو لکھا (1254 میں تازہ کاری) یورپ میں تکنیک متعارف کروانے اور اس کو مقبول بنانے کی ایک طویل مدت کا آغاز۔ اس کتاب میں یورپ میں بھی لایا گیا تھا جسے اب فبونیکی تسلسل کے نام سے جانا جاتا ہے (اس سے پہلے سیکڑوں سالوں سے ہندوستانی ریاضی دانوں کے نام سے جانا جاتا ہے) ^{[] 96]} جو فبونیکی نے ناقابل ذکر مثال کے طور پر استعمال کیا۔

یونانی ریاضی دان آرکیمیڈیز نے لامحدود سیریز کا پہلا معروف خلاصہ تیار کیا جس کے ساتھ آج بھی کیلکولس کے علاقے میں استعمال کیا جاتا ہے۔ اس نے تھکن کے طریقہ کار کا استعمال ایک لامحدود سیریز کے خلاصے کے ساتھ ایک پیرابولا کے قوس کے تحت علاقے کا حساب کتاب کرنے کے لئے کیا ، اور اس کا ایک قابل ذکر درست اندازہ دیا۔ ^{[] 86]} کیرالہ اسکول نے لامحدود سیریز اور کیلکولس کے شعبوں میں متعدد شراکت کی ہے۔

امکان کے جدید ریاضی کے نظریہ کی جڑیں سولہویں صدی میں گیرامو کارڈانو کے ذریعہ کھیلوں کے کھیلوں کا تجزیہ کرنے کی کوششوں میں ہیں ، اور سترہویں صدی میں پیری ڈی فریمت اور بلیز پاسکل کے ذریعہ (مثال کے طور پر 'نکات کا مسئلہ')۔ ^{[105] کرسٹیان} ہیجنز نے اس موضوع پر 1657 میں ایک کتاب شائع کی۔ ^[107]

ابتدائی طور پر ، احتمالی نظریہ بنیادی طور پر مجرد واقعات پر غور کیا جاتا ہے ، اور اس کے طریقے بنیادی طور پر امتزاج تھے۔ آخر کار ، تجزیاتی تحفظات نے نظریہ میں مستقل متغیرات کو شامل کرنے پر مجبور کیا۔

یہ جدید امکانی نظریہ پر اختتام پذیر ہوا ، آندرے نیکولاویچ کولموگوروف کی بنیادوں پر۔ کولموگوروف نے نمونے کی جگہ کے تصور کو جوڑ دیا ، جو رچرڈ وان مائسز نے متعارف کرایا تھا ، اور اس کی پیمائش تھیوری اور 1933 میں احتمال تھیوری کے لئے اپنے محور نظام کو پیش کیا تھا۔ یہ جدید امکان کے نظریہ کے لئے زیادہ تر غیر متنازعہ محوراتی بنیاد بن گیا ہے۔ لیکن ، متبادل موجود ہیں ، جیسے برونو ڈی فینیٹی کے ذریعہ قابل گنتی اضافے کے بجائے محدود کو اپنانا۔ ^[108]

17 ویں صدی میں پورے یورپ میں ریاضی اور سائنسی نظریات میں غیر معمولی اضافہ دیکھا گیا۔ گیلیلیو نے اس سیارے کے بارے میں مدار میں مشتری کے چاندوں کا مشاہدہ کیا ، ایک دوربین پر مبنی ہنس لیپرھی کا استعمال کرتے ہوئے۔ ٹائچو برہے نے آسمان میں سیاروں کی پوزیشنوں کو بیان کرنے والے ریاضی کے اعداد و شمار کی ایک بڑی مقدار جمع کی تھی۔ برہے کے معاون کی حیثیت سے ان کے عہدے سے ، جوہانس کیپلر کو سب سے پہلے سیارے کی تحریک کے موضوع کے ساتھ بے نقاب کیا گیا اور سنجیدگی سے بات چیت کی گئی۔ جان نیپیئر اور جوسٹ بارگی کے ذریعہ لوگرتھمز کی ہم آہنگی ایجاد کے ذریعہ کیپلر کے حساب کتاب کو آسان بنایا گیا تھا۔ کیپلر سیاروں کی تحریک کے ریاضی کے قوانین کی تشکیل میں کامیاب ہوا۔ رینی ڈسکارٹس (1596–1650) کے ذریعہ تیار کردہ تجزیاتی جیومیٹری نے کارٹیسین کوآرڈینیٹ میں ، ان مدار کو گراف پر پلاٹ بنانے کی اجازت دی۔

کارٹیسین سے مراد فرانسیسی ریاضی دان اور فلسفی رینی ڈسکارٹس ہیں ، جنہوں نے یہ خیال 1637 میں شائع کیا تھا جب وہ نیدرلینڈ میں رہائش پذیر تھا۔ اسے پیری ڈی فرمیٹ نے آزادانہ طور پر دریافت کیا ، جنہوں نے تین جہتوں میں بھی کام کیا ، حالانکہ فریمت نے اس دریافت کو شائع نہیں کیا۔ ^[109] فرانسیسی مولوی نیکول اورسم نے ڈسکارٹس اور فریمت کے وقت سے پہلے کارٹیسین کوآرڈینیٹ کی طرح تعمیرات کا استعمال کیا۔ ^[110]

ڈسکارٹس اور فریمت دونوں نے اپنے علاج میں ایک ہی محور کا استعمال کیا اور اس محور کے حوالے سے متغیر لمبائی کی پیمائش کی۔ محور کے جوڑے کو استعمال کرنے کا تصور بعد میں متعارف کرایا گیا ، اس کے بعد جب ڈیسکارٹس کے لا گومٹری کا فرانس وان شوٹن اور اس کے طلباء نے 1649 میں لاطینی زبان میں ترجمہ کیا تھا۔ ان مبصرین نے ڈیسکارٹس کے کام میں شامل نظریات کو واضح کرنے کی کوشش کرتے ہوئے متعدد تصورات متعارف کروائے۔ ^[111]

کارٹیسین کوآرڈینیٹ سسٹم کی ترقی آئزک نیوٹن اور گوٹ فریڈ ولہیلم لیبنیز کے ذریعہ کیلکولس کی ترقی میں بنیادی کردار ادا کرے گی۔ ^[112] طیارے کی دو کوآرڈینیٹ تفصیل کو بعد میں ویکٹر خالی جگہوں کے تصور میں عام کیا گیا۔ ^[113]

ڈسکارٹس کے بعد سے بہت سارے دوسرے کوآرڈینیٹ سسٹم تیار کیے گئے ہیں ، جیسے طیارے کے لئے قطبی نقاط ، اور تین جہتی جگہ کے لئے کروی اور بیلناکار کوآرڈینیٹ۔

کیلکولس مستقل تبدیلی کا ریاضی کا مطالعہ ہے ، اسی طرح جیومیٹری شکل کا مطالعہ ہے ، اور الجبرا ریاضی کی کارروائیوں کی عمومی حیثیت کا مطالعہ ہے۔ اس کی دو بڑی شاخیں ہیں ، مختلف کیلکولس اور لازمی کیلکولس۔ سابقہ ​​تبدیلیوں کی فوری شرحوں ، اور منحنی خطوط کی ڈھلوان ، جبکہ مؤخر الذکر کا خدشہ ہے کہ مقدار میں جمع ہونا ، اور منحنی خطوط کے نیچے یا اس کے درمیان علاقوں میں۔ یہ دونوں شاخیں ایک دوسرے سے کیلکولس کے بنیادی نظریہ سے متعلق ہیں ، اور وہ لامحدود ترتیب اور لامحدود سیریز کے کنورجنسی کے بنیادی تصورات کو اچھی طرح سے طے شدہ حد تک استعمال کرتی ہیں۔ ^[97]

اسحاق نیوٹن اور گوٹ فریڈ ولہیلم لیبنیز نے 17 ویں صدی کے آخر میں انفینیٹیمل کیلکولس کو آزادانہ طور پر تیار کیا تھا۔ ^{[] 98]} بعد میں کام ، جس میں حدود کے خیال کو کوڈنگ کرنا بھی شامل ہے ، ان پیشرفتوں کو زیادہ ٹھوس تصوراتی بنیادوں پر ڈال دیا۔ آج ، سائنس ، انجینئرنگ ، اور سماجی سائنس میں کیلکولس کے وسیع پیمانے پر استعمال ہیں۔

اسحاق نیوٹن نے اپنی تحریک اور عالمگیر کشش ثقل کے قوانین میں کیلکولس کا استعمال تیار کیا۔

ان خیالات کو گوٹفریڈ ولہیلم لیبنیز کے ذریعہ انفینیٹیملز کے ایک حقیقی کیلکولس میں ترتیب دیا گیا تھا ، جس پر اصل میں نیوٹن کے ذریعہ سرقہ کا الزام عائد کیا گیا تھا۔ اب وہ کیلکولس میں ایک آزاد موجد اور معاون سمجھا جاتا ہے۔ اس کی شراکت میں لاتعداد مقدار کے ساتھ کام کرنے کے لئے قواعد کا ایک واضح مجموعہ فراہم کرنا تھا ، جس سے دوسرے اور زیادہ مشتق افراد کی گنتی کی اجازت دی جاسکتی ہے ، اور ان کی مختلف اور لازمی شکلوں میں مصنوع کی حکمرانی اور چین کا قاعدہ فراہم کرنا تھا۔ نیوٹن کے برعکس ، لیبنیز نے اپنے اشارے کے انتخاب میں سخت محنت کی کوشش کی۔ ^[99]

نیوٹن عام طبیعیات پر کیلکولس لگانے والا پہلا شخص تھا اور آج کل کیلکولس میں استعمال ہونے والے زیادہ تر اشارے تیار کیے گئے تھے۔ ^[100] نیوٹن اور لیبنیز دونوں نے جو بنیادی بصیرت فراہم کی وہ تفریق اور انضمام کے قوانین تھے ، اس بات پر زور دیتے ہوئے کہ تفریق اور انضمام الٹا عمل ، دوسرا اور اعلی مشتق ، اور ایک قریبی کثیر الجہتی سیریز کا تصور ہے۔

ریاضی میں ، گراف تھیوری گراف کا مطالعہ ہے ، جو ریاضی کے ڈھانچے ہیں جو اشیاء کے مابین جوڑے کے تعلقات کو ماڈل بنانے کے لئے استعمال ہوتے ہیں۔ اس تناظر میں ایک گراف عمودی (جسے نوڈس یا پوائنٹس بھی کہا جاتا ہے) سے بنا ہوا ہے جو کناروں کے ذریعہ جڑے ہوئے ہیں (جسے لنک یا لائنیں بھی کہتے ہیں)۔ غیر ہدایت شدہ گراف کے مابین ایک فرق کیا جاتا ہے ، جہاں کناروں نے دو عمودی کو متوازی طور پر جوڑ دیا ہے ، اور ہدایت والے گراف ، جہاں کناروں نے دو عمودی کو غیر متناسب طور پر جوڑ دیا ہے۔ گرافس مجرد ریاضی میں مطالعہ کی ایک بنیادی چیز ہیں۔

لیون ہارڈ یولر نے کنیگس برگ کے سات پلوں پر لکھے گئے مقالے اور 1736 میں شائع ہونے والے گراف تھیوری کی تاریخ کا پہلا مقالہ سمجھا جاتا ہے۔ ^[114] اس مقالے کے ساتھ ساتھ نائٹ کے مسئلے پر وینڈرمونڈ نے لکھا ہوا ایک ، لیبنیز کے ذریعہ شروع کردہ تجزیہ سیٹس کے ساتھ جاری ہے۔ یولر کا فارمولا جس میں محدب پولی ہیڈرن کے کناروں ، عمودی اور چہروں سے متعلق ہے اس کا مطالعہ کیا گیا تھا اور ان کو کاچی ^[115] اور ایل ہائیلیئر ، ^[116] نے عام کیا تھا اور وہ ٹوپولوجی کے نام سے جانا جاتا ریاضی کی شاخ کے آغاز کی نمائندگی کرتا ہے۔

اعدادوشمار میں ، ایک عام تقسیم یا گوسی تقسیم ایک حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیر کے لئے مستقل احتمال کی تقسیم کی ایک قسم ہے۔ عام تقسیم اعدادوشمار میں اہم ہیں اور اکثر قدرتی اور معاشرتی علوم میں حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیر کی نمائندگی کرنے کے لئے استعمال ہوتے ہیں جن کی تقسیم معلوم نہیں ہوتی ہے۔ ^[124] ان کی اہمیت جزوی طور پر مرکزی حد کے نظریہ کی وجہ سے ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ ، کچھ شرائط کے تحت ، بے ترتیب متغیر کے بہت سے نمونوں (مشاہدات) کی اوسطا اوسط اور تغیرات کے ساتھ اوسطا ایک بے ترتیب متغیر ہے - جس کی تقسیم نمونے کی تعداد میں اضافے کے ساتھ ہی تقسیم کو معمول کی تقسیم میں تبدیل کردیتی ہے۔ لہذا ، جسمانی مقدار میں جن سے توقع کی جاتی ہے کہ بہت سے آزاد عملوں کا مجموعہ ہوگا ، جیسے پیمائش کی غلطیاں ، اکثر تقسیم ہوتی ہیں جو تقریبا معمول کی ہوتی ہیں۔ ^[125] کچھ مصنفین ^[126] عام تقسیم کی دریافت کا کریڈٹ ڈی موور کو قرار دیتے ہیں ، جو 1738 میں اپنے 'امکانات کے نظریہ' کے دوسرے ایڈیشن میں شائع ہوا تھا (A + B) n کے بائنومیئل توسیع میں قابلیت کا مطالعہ۔

یولر کا فارمولا ، جس کا نام لیون ہارڈ یولر کے نام پر رکھا گیا ہے ، پیچیدہ تجزیہ میں ایک ریاضی کا فارمولا ہے جو مثلثی افعال اور پیچیدہ کفایت شعاری فنکشن کے مابین بنیادی تعلقات کو قائم کرتا ہے۔ یولر کا فارمولا ریاضی ، طبیعیات ، کیمسٹری اور انجینئرنگ میں ہر جگہ ہے۔ طبیعیات دان رچرڈ فین مین نے مساوات کو 'ہمارے جیول' اور 'ریاضی کا سب سے قابل ذکر فارمولا' کہا۔ جب x = π ، یولر کے فارمولے کو دوبارہ Eieπ + 1 = 0 یا eii = -1 کے طور پر لکھا جاسکتا ہے ، جسے یولر کی شناخت کے نام سے جانا جاتا ہے۔

یولر کا فارمولا پیچیدہ طیارے میں بیان کیا گیا ہے۔

امکانی نظریہ اور اعدادوشمار میں ، بائیس 'تھیوریم (متبادل طور پر بائیس' قانون یا بائیس 'رول ، جو تھامس بائیس کے نام پر رکھا گیا ہے ، اس واقعے کے امکان کو بیان کرتا ہے ، جو اس واقعے سے متعلق ہوسکتا ہے۔ ^[122] مثال کے طور پر ، اگر صحت سے متعلق مسائل پیدا کرنے کا خطرہ عمر کے ساتھ بڑھتا ہے تو ، بائیس کا نظریہ کسی معروف عمر کے فرد کو خطرے کی اجازت دیتا ہے جس کی وجہ سے اس کی عمر کے نسبت اس کی کنڈیشنگ کرکے زیادہ درست اندازہ لگایا جاسکتا ہے ، بجائے اس کے کہ فرد مجموعی طور پر آبادی کا مخصوص ہے۔

امکانی نظریہ اور اعدادوشمار میں ، بائیس 'تھیوریم (متبادل طور پر بائیس' قانون یا بائیس 'رول ، جو تھامس بائیس کے نام پر رکھا گیا ہے ، اس واقعے کے امکان کو بیان کرتا ہے ، جو اس واقعے سے متعلق ہوسکتا ہے۔ ^[122] مثال کے طور پر ، اگر صحت سے متعلق مسائل پیدا کرنے کا خطرہ عمر کے ساتھ بڑھتا ہے تو ، بائیس کا نظریہ کسی معروف عمر کے فرد کو خطرے کی اجازت دیتا ہے جس کی وجہ سے اس کی عمر کے نسبت اس کی کنڈیشنگ کرکے زیادہ درست اندازہ لگایا جاسکتا ہے ، بجائے اس کے کہ فرد مجموعی طور پر آبادی کا مخصوص ہے۔

طبیعیات اور برقی مقناطیسیت میں ، گاؤس کا قانون ، جسے گاؤس کے بہاؤ کے نظریہ کے نام سے بھی جانا جاتا ہے ، (یا بعض اوقات اسے گاؤس کا نظریہ بھی کہا جاتا ہے) ایک ایسا قانون ہے جس کے نتیجے میں بجلی کے میدان میں برقی چارج کی تقسیم سے متعلق ہے۔ اس کی لازمی شکل میں ، اس میں کہا گیا ہے کہ کسی صوابدیدی بند سطح سے باہر بجلی کے میدان کا بہاؤ سطح سے منسلک برقی چارج کے متناسب ہے ، قطع نظر اس سے قطع نظر کہ اس معاوضے کو کس طرح تقسیم کیا جاتا ہے۔ اگرچہ صرف قانون کسی بھی چارج کی تقسیم سے منسلک سطح کے اس پار بجلی کے میدان کا تعین کرنے کے لئے ناکافی ہے ، لیکن یہ ان معاملات میں ممکن ہوسکتا ہے جہاں توازن فیلڈ کی یکسانیت کا مینڈیٹ کرتا ہے۔ جہاں اس طرح کی کوئی توازن موجود نہیں ہے ، گاؤس کے قانون کو اس کی تفریق شکل میں استعمال کیا جاسکتا ہے ، جس میں کہا گیا ہے کہ بجلی کے میدان کا انحراف مقامی کثافت کے متناسب ہے۔

یہ قانون سب سے پہلے ^[101] جوزف لوئس لاگرینج نے 1773 میں تشکیل دیا تھا ، ^[102] اس کے بعد 1835 میں کارل فریڈرک گاؤس ، ^[103] دونوں بیضویوں کی کشش کے تناظر میں۔ یہ میکسویل کی مساوات میں سے ایک ہے ، جو کلاسیکی الیکٹروڈینیامکس کی بنیاد ہے۔ گاؤس کا قانون کولمب کے قانون کو اخذ کرنے کے لئے استعمال کیا جاسکتا ہے ، ^[104] اور اس کے برعکس۔

تجریدی الجبرا میں ، گروپ تھیوری الجبری ڈھانچے کا مطالعہ کرتی ہے جسے گروپس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ایک گروپ کا تصور الجبرا کو خلاصہ کرنے کا مرکزی مقام ہے: دیگر معروف الجبری ڈھانچے ، جیسے انگوٹھوں ، کھیتوں اور ویکٹر کی جگہیں ، سب کو اضافی کارروائیوں اور محوروں سے مالا مال گروپس کے طور پر دیکھا جاسکتا ہے۔ ریاضی میں گروپوں کی بازیافت ہوتی ہے ، اور گروپ تھیوری کے طریقوں نے الجبرا کے بہت سے حصوں کو متاثر کیا ہے۔ لکیری الجبری گروپس اور جھوٹ گروپ گروپ تھیوری کی دو شاخیں ہیں جن کو پیشرفت کا سامنا کرنا پڑا ہے اور وہ اپنے طور پر موضوعات کے شعبے بن چکے ہیں۔

گروپ تھیوری کی ابتدائی تاریخ 19 ویں صدی سے ہے۔ 20 ویں صدی کی ریاضی کی سب سے اہم کامیابیوں میں سے ایک باہمی تعاون کی کوشش تھی ، جس میں 10،000 سے زیادہ جریدے کے صفحات تھے اور زیادہ تر 1960 اور 2004 کے درمیان شائع ہوئے ، جو محدود آسان گروپوں کی مکمل درجہ بندی میں اختتام پزیر ہوا۔

ریاضی میں ، فوئیر تجزیہ یہ ہے کہ جس طرح عام افعال کی نمائندگی کی جاسکتی ہے یا آسان تر مثلثی افعال کی رقم سے اس کا اندازہ لگایا جاسکتا ہے۔ فوئیر تجزیہ فوئیر سیریز کے مطالعے سے بڑھ گیا ، اور اس کا نام جوزف فوئیر کے نام پر رکھا گیا ہے ، جس نے یہ ظاہر کیا کہ کسی فنکشن کی نمائندگی کرنے والے ٹریگونومیٹرک افعال کی نمائندگی کرتے ہوئے گرمی کی منتقلی کے مطالعے کو بہت آسان بناتا ہے۔

فوئیر تجزیہ کا موضوع ریاضی کے ایک وسیع اسپیکٹرم پر مشتمل ہے۔ علوم اور انجینئرنگ میں ، کسی فنکشن کو دوغلی اجزاء میں گلنے کے عمل کو اکثر فوئیر تجزیہ کہا جاتا ہے ، جبکہ ان ٹکڑوں سے فنکشن کی تعمیر نو کا عمل فوئیر ترکیب کے نام سے جانا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر ، میوزیکل نوٹ میں کون سے جزو کی تعدد موجود ہیں اس کا تعین کرنے میں نمونے والے میوزیکل نوٹ کی فوئیر تبدیلی کی کمپیوٹنگ شامل ہوگی۔ اس کے بعد کوئی بھی فریکوینسی اجزاء کو شامل کرکے ایک ہی آواز کو دوبارہ ترکیب بنا سکتا ہے جیسا کہ فوئیر تجزیہ میں انکشاف ہوا ہے۔ ریاضی میں ، فوئیر تجزیہ کی اصطلاح اکثر دونوں کارروائیوں کے مطالعہ سے مراد ہے۔

سڑن کے عمل کو خود فوئیر تبدیلی کہا جاتا ہے۔ اس کی پیداوار ، فوئیر ٹرانسفارم ، کو اکثر ایک زیادہ مخصوص نام دیا جاتا ہے ، جو ڈومین اور فنکشن کی دیگر خصوصیات پر منحصر ہوتا ہے۔ مزید یہ کہ ، زیادہ سے زیادہ تجریدی اور عام حالات پر لاگو ہونے کے لئے فوئیر تجزیہ کے اصل تصور کو وقت کے ساتھ بڑھایا گیا ہے ، اور عام فیلڈ کو اکثر ہارمونک تجزیہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ تجزیہ کے لئے استعمال ہونے والا ہر ٹرانسفارم (فوئیر سے متعلق ٹرانسفارمز کی فہرست دیکھیں) میں اسی طرح کا الٹا ٹرانسفارم ہوتا ہے جو ترکیب کے لئے استعمال کیا جاسکتا ہے۔

میکسویل کی مساوات ، یا میکسویل - ہیویسائڈ مساوات ، جوڑے ہوئے جزوی تفریق مساوات کا ایک مجموعہ ہیں جو لورینٹز فورس کے قانون کے ساتھ مل کر کلاسیکی برقی مقناطیسی ، کلاسیکی آپٹکس اور الیکٹرک سرکٹس کی بنیاد تشکیل دیتے ہیں۔ مساوات بجلی ، آپٹیکل ، اور ریڈیو ٹکنالوجیوں ، جیسے بجلی کی پیداوار ، الیکٹرک موٹرز ، وائرلیس مواصلات ، لینس ، ریڈار ، وغیرہ کے لئے ریاضی کا ماڈل مہیا کرتی ہیں۔ مساوات کا نام طبیعیات دان اور ریاضی دان جیمز کلرک میکسویل کے نام پر رکھا گیا ہے ، جنہوں نے 1861 اور 1862 میں ، مساوات کی ابتدائی شکل شائع کی جس میں لورینٹز فورس کے قانون کو شامل کیا گیا تھا۔ میکسویل نے سب سے پہلے مساوات کا استعمال یہ تجویز کرنے کے لئے کیا کہ روشنی ایک برقی مقناطیسی رجحان ہے۔ مساوات کی جدید شکل ان کی سب سے عام تشکیل میں اولیور ہیوسائڈ کو دی گئی ہے۔

مساوات میں دو بڑی مختلف حالتیں ہیں۔ مائکروسکوپک مساوات میں عالمگیر قابل اطلاق ہوتا ہے لیکن عام حساب کتاب کے ل un ناقابل تسخیر ہیں۔ وہ برقی اور مقناطیسی شعبوں کا کل چارج اور کل کرنٹ سے متعلق ہیں ، بشمول جوہری پیمانے پر مواد میں پیچیدہ چارجز اور دھارے شامل ہیں۔ میکروسکوپک مساوات دو نئے معاون شعبوں کی وضاحت کرتے ہیں جو ایٹم پیمانے پر چارجز اور اسپن جیسے کوانٹم مظاہر پر غور کیے بغیر مادے کے بڑے پیمانے پر طرز عمل کی وضاحت کرتے ہیں۔ تاہم ، ان کے استعمال کے ل materials مواد کے برقی مقناطیسی ردعمل کی فینومیولوجیکل وضاحت کے لئے تجرباتی طور پر طے شدہ پیرامیٹرز کی ضرورت ہے۔ اصطلاح 'میکسویل کی مساوات' اکثر مساوی متبادل فارمولیشنوں کے لئے بھی استعمال کی جاتی ہے۔ الیکٹرک اور مقناطیسی اسکیلر صلاحیتوں پر مبنی میکسویل کی مساوات کے ورژن کو حدود کی قیمت کے مسئلے ، تجزیاتی میکانکس ، یا کوانٹم میکینکس میں استعمال کے ل equ مساوات کو واضح طور پر حل کرنے کے لئے ترجیح دی جاتی ہے۔ کوویرینٹ فارمولیشن (اسپیس ٹائم پر جگہ اور وقت کے بجائے الگ الگ) میکسویل کی مساوات کی مطابقت کو خصوصی رشتہ داری کے ساتھ ظاہر کرتا ہے۔ مڑے ہوئے خلائی وقت میں میکسویل کی مساوات ، جو عام طور پر اعلی توانائی اور کشش ثقل طبیعیات میں استعمال ہوتی ہیں ، عام رشتہ داری کے ساتھ مطابقت رکھتی ہیں۔ در حقیقت ، البرٹ آئن اسٹائن نے روشنی کی ناگوار رفتار کو ایڈجسٹ کرنے کے لئے خصوصی اور عمومی رشتہ داری تیار کی ، میکسویل کی مساوات کا نتیجہ ، اس اصول کے ساتھ کہ صرف نسبتا movement تحریک کے جسمانی نتائج ہوتے ہیں۔

مساوات کی اشاعت نے پہلے الگ الگ بیان کردہ مظاہر کے لئے ایک نظریہ کے اتحاد کو نشان زد کیا: مقناطیسیت ، بجلی ، روشنی اور اس سے وابستہ تابکاری۔ 20 ویں صدی کے وسط کے بعد سے ، یہ سمجھا گیا ہے کہ میکسویل کی مساوات برقی مقناطیسی مظاہر کی قطعی وضاحت نہیں دیتی ہیں ، بلکہ اس کے بجائے کوانٹم الیکٹروڈینیامکس کے زیادہ عین مطابق نظریہ کی کلاسیکی حد ہیں۔

سیٹ تھیوری ریاضی کی منطق کی شاخ ہے جو مطالعے کا مطالعہ کرتی ہے ، جسے غیر رسمی طور پر اشیاء کے مجموعے کے طور پر بیان کیا جاسکتا ہے۔ اگرچہ کسی بھی طرح کی اشیاء کو ایک سیٹ میں جمع کیا جاسکتا ہے ، نظریہ ، ریاضی کی ایک شاخ کے طور پر ، زیادہ تر ان لوگوں سے وابستہ ہے جو مجموعی طور پر ریاضی سے متعلق ہیں۔

جدید مطالعہ آف سیٹ تھیوری کا آغاز جرمن ریاضی دان رچرڈ ڈیڈکائنڈ اور جارج کینٹر نے 1870 کی دہائی میں کیا تھا۔ خاص طور پر ، جارج کینٹر کو عام طور پر سیٹ تھیوری کا بانی سمجھا جاتا ہے۔ اس ابتدائی مرحلے کے دوران تفتیش کردہ غیر رسمی نظام بولی سیٹ تھیوری کے نام سے ہیں۔ بولی سیٹ تھیوری (جیسے رسل کے پیراڈوکس ، کینٹر کا پیراڈوکس اور بورالی فورٹی پیراڈوکس) کے اندر تضادات کی دریافت کے بعد ، بیسویں صدی کے اوائل میں مختلف محوراتی نظام تجویز کیے گئے تھے ، جن میں سے زرمیلو-فرینکل سیٹ تھیوری (انتخاب کے محور کے ساتھ یا اس کے بغیر) اب بھی سب سے زیادہ معروف اور سب سے زیادہ مطالعہ کیا گیا ہے۔

سیٹ تھیوری کو عام طور پر پورے ریاضی کے لئے ایک بنیادی نظام کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے ، خاص طور پر زرمیلو - فرینکل سیٹ تھیوری کی شکل میں انتخاب کے محور کے ساتھ۔ اس کے بنیادی کردار کے علاوہ ، سیٹ تھیوری انفینٹی کے ریاضی کے نظریہ کو تیار کرنے کے لئے فریم ورک بھی مہیا کرتا ہے ، اور اس میں کمپیوٹر سائنس (جیسے نظریہ رشتہ دار الجبرا) ، فلسفہ اور باضابطہ الفاظ میں مختلف ایپلی کیشنز ہیں۔ اس کی بنیادی اپیل ، اس کے تضادات کے ساتھ ، انفینٹی کے تصور اور اس کے متعدد ایپلی کیشنز کے مضمرات کے ساتھ مل کر ، ریاضی کے لاجسٹوں اور فلسفیوں کے لئے نظریہ کو ایک اہم دلچسپی کا ایک علاقہ بنا دیا ہے۔ سیٹ تھیوری میں عصری تحقیق میں اصل نمبر لائن کے ڈھانچے سے لے کر بڑے کارڈینلز کی مستقل مزاجی کے مطالعہ تک موضوعات کی ایک وسیع صف کا احاطہ کیا گیا ہے۔

گیم تھیوری عقلی ایجنٹوں کے مابین اسٹریٹجک تعامل کے ریاضی کے ماڈلز کا مطالعہ ہے۔ ^[117] اس میں سوشل سائنس کے تمام شعبوں کے ساتھ ساتھ منطق ، سسٹم سائنس اور کمپیوٹر سائنس میں بھی درخواستیں ہیں۔ معاشیات میں بھی گیم تھیوری کے تصورات بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔ ^[118] گیم تھیوری کے روایتی طریقوں نے دو افراد کے صفر سم کھیلوں پر توجہ دی ، جس میں ہر شریک کے فوائد یا نقصانات دوسرے شرکاء کے نقصانات اور فوائد سے بالکل متوازن ہیں۔ 21 ویں صدی میں ، اعلی کھیل کے نظریات کا اطلاق طرز عمل کے وسیع پیمانے پر ہوتا ہے۔ اب یہ انسانوں ، جانوروں ، اور کمپیوٹرز میں منطقی فیصلے کرنے کی سائنس کے لئے چھتری کی اصطلاح ہے۔

گیم تھیوری کسی انوکھے میدان کے طور پر موجود نہیں تھا جب تک کہ جان وان نیومن نے ¹⁹²⁸ میں تھیوری آف گیم آف اسٹریٹیجی پر مقالہ شائع نہیں کیا۔ ان کے مقالے کے بعد ان کے 1944 میں کتاب تھیوری آف گیمز اینڈ اکنامک سلوک کا مصنف اوسکر مورجینسٹرن کے ساتھ مشترکہ مصنف تھا۔ ^[120] اس کتاب کے دوسرے ایڈیشن نے افادیت کا ایک محور نظریہ فراہم کیا ، جس نے ڈینیئل برنولی کے پرانے نظریہ برائے افادیت (رقم) کو آزادانہ نظم و ضبط کے طور پر جنم دیا۔ گیم تھیوری میں وان نیومن کے کام کا اختتام 1944 کی اس کتاب میں ہوا۔ اس بنیادی کام میں دو افراد کے زیرو سم کھیلوں کے لئے باہمی مستقل حل تلاش کرنے کا طریقہ ہے۔ اس کے بعد کے کام بنیادی طور پر کوآپریٹو گیم تھیوری پر مرکوز ہیں ، جو افراد کے گروہوں کے لئے زیادہ سے زیادہ حکمت عملی کا تجزیہ کرتے ہیں ، یہ فرض کرتے ہیں کہ وہ مناسب حکمت عملیوں کے بارے میں ان کے مابین معاہدوں کو نافذ کرسکتے ہیں۔ ^[121]