قدیممصری ریاضی کو قدیم مصر میں تیار اور استعمال کیا گیا تھا۔ 3000 سے c. 300 قبل مسیح، مصر کی پرانی سلطنت سے لے کر تقریبا Hellenistic مصر کے آغاز تک۔ قدیم مصریوں نے ریاضی کے تحریری مسائل کو گننے اور حل کرنے کے لیے ایک عددی نظام کا استعمال کیا، جس میں اکثر ضرب اور کسر شامل ہوتا تھا۔ مصری ریاضی کے ثبوت پیپرس پر لکھے گئے بقایا ذرائع کی ایک قلیل مقدار تک محدود ہیں۔ ان تحریروں سے یہ معلوم ہوتا ہے کہ قدیم مصری جیومیٹری کے تصورات کو سمجھتے تھے، جیسے کہ آرکیٹیکچرل انجینئرنگ کے لیے کارآمد تین جہتی اشکال اور حجم کا تعین کرنا، اور الجبرا، جیسے غلط پوزیشن کا طریقہ اور چوکور مساوات۔

پرانی بادشاہی کی شہزادی نیفریٹیابیٹ (تاریخ 2590–2565 قبل مسیح) کا سلیب سٹیلا گیزا میں اس کے مقبرے سے، چونے کے پتھر پر پینٹنگ۔

ریاضی کے استعمال کے تحریری ثبوت کم از کم 3200 قبل مسیح کے ہیں جن میں ہاتھی دانت کے لیبل ابیڈوس کے مقبرے میں پائے گئے ہیں۔ ایسا لگتا ہے کہ یہ لیبل قبر کے سامان کے لیے بطور ٹیگ استعمال کیے گئے ہیں اور کچھ پر نمبر لکھے ہوئے ہیں۔ ^[18] بیس نمبر سسٹم کے استعمال کے مزید شواہد نارمر میس ہیڈ پر مل سکتے ہیں جس میں 400,000 بیلوں، 1,422,000 بکروں اور 120,000 قیدیوں کی قربانیوں کو دکھایا گیا ہے۔ ^[19] آثار قدیمہ کے شواہد نے تجویز کیا ہے کہ قدیم مصری گنتی کے نظام کی ابتداء سب صحارا افریقہ میں ہوئی تھی۔ ^[20] نیز، فریکٹل جیومیٹری ڈیزائن جو سب صحارا افریقی ثقافتوں میں وسیع پیمانے پر پائے جاتے ہیں مصری فن تعمیر اور کائناتی علامات میں بھی پائے جاتے ہیں۔ ^[20]

رائنڈ میتھمیٹک پیپرس

سب سے قدیم حقیقی ریاضی کی دستاویزات 12ویں خاندان (c. 1990-1800 BCE) کی ہیں۔ ماسکو میتھمیٹیکل پیپرس، مصری میتھمیٹکل لیدر رول، لاہون میتھمیٹکل پاپیری جو کہ کاہون پاپیری اور برلن پاپائرس 6619 کے بہت بڑے مجموعے کا حصہ ہیں جو اس عرصے تک ہیں۔ Rhind Mathematical Papyrus جس کی تاریخ دوسرے درمیانی دور (c. 1650 BCE) کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ یہ 12ویں خاندان کے ایک پرانے ریاضیاتی متن پر مبنی ہے۔ ^[22]

میسوپوٹیمیا کے قدیم سومیریوں نے 3000 قبل مسیح سے میٹرولوجی کا ایک پیچیدہ نظام تیار کیا۔ 2600 قبل مسیح کے بعد سے، سمیریوں نے مٹی کی گولیوں پر ضرب کی میزیں لکھیں اور ہندسی مشقوں اور تقسیم کے مسائل سے نمٹا۔ بابلی ہندسوں کے ابتدائی نشانات بھی اسی دور کے ہیں۔ ^[9]

abacus (کثرت abaci یا abacuses)، جسے گنتی کا فریم بھی کہا جاتا ہے، ایک حساب لگانے والا آلہ ہے جو قدیم زمانے سے استعمال ہوتا رہا ہے۔ یہ ہندو عربی ہندسوں کے نظام کو اپنانے سے کئی ہزار سال قبل قدیم قریب مشرق، یورپ،چین اور روس میں استعمال ہوتا تھا۔ ^[127] اباکس کی اصل اصل ابھی تک سامنے نہیں آئی ہے۔ یہ حرکت پذیر موتیوں کی قطاروں پر مشتمل ہوتا ہے، یا اس سے ملتی جلتی اشیاء، جو تار پر لگی ہوتی ہیں۔ وہ ہندسوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ دو نمبروں میں سے ایک سیٹ اپ کیا جاتا ہے، اور موتیوں کو ایک آپریشن کرنے کے لیے جوڑ دیا جاتا ہے جیسے کہ اضافہ، یا یہاں تک کہ ایک مربع یا کیوبک جڑ۔ Sumerian abacus 2700 اور 2300 BCE کے درمیان نمودار ہوا۔ اس میں یکے بعد دیگرے کالموں کی ایک میز رکھی گئی جس نے ان کے سیکساسیمل (بیس 60) نمبر سسٹم کی شدت کے یکے بعد دیگرے آرڈرز کو محدود کیا۔ ^[128]

بابل کی ریاضی کو سیکسیجسیمل (بیس -60) ہندسوں کے نظام کا استعمال کرتے ہوئے لکھا گیا تھا۔ ^[12] اس سے جدید دور میں ایک منٹ میں 60 سیکنڈ، ایک گھنٹے میں 60 منٹ، اور دائرے میں 360 (60 × 6) ڈگری کا استعمال اخذ کیا گیا ہے، اسی طرح مختلف حصوں کو ظاہر کرنے کے لیے سیکنڈز اور منٹس کا استعمال ہے۔ ایک ڈگری کے. یہ امکان ہے کہ جنسی نظام کا انتخاب اس لیے کیا گیا تھا کہ 60 کو یکساں طور پر 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20 اور 30 ​​سے ​​تقسیم کیا جاسکتا ہے۔ ^[12] اس کے علاوہ،مصریوں ، یونانیوں اور رومیوں کے برعکس، بابلیوں کے پاس جگہ کی قدر کا نظام تھا، جہاں بائیں کالم میں لکھے گئے ہندسے بڑی قدروں کی نمائندگی کرتے تھے، جیسا کہ اعشاریہ نظام میں ہوتا ہے۔ ^[13] بابل کے نوٹیشنل نظام کی طاقت اس میں ہے کہ اسے مکمل اعداد کی طرح آسانی سے کسروں کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اس طرح دو نمبروں کو ضرب دینا جن میں فریکشن موجود تھے، جدید اشارے کی طرح ضرب عدد سے مختلف نہیں تھا۔ ^[13] بابلیوں کا نوٹیشنل نظام نشاۃ ثانیہ تک کسی بھی تہذیب میں بہترین تھا، ^[14] اور اس کی طاقت نے اسے قابل ذکر حسابی درستگی حاصل کرنے کی اجازت دی۔ مثال کے طور پر، Babylonian گولی YBC 7289 پانچ اعشاریہ جگہوں پر √2 درستگی کا تخمینہ دیتا ہے۔ ^[14] بابلیوں کے پاس، تاہم، اعشاریہ کے برابر کی کمی تھی، اور اس لیے علامت کی جگہ کی قیمت کا اکثر سیاق و سباق سے اندازہ لگانا پڑتا تھا۔ ^[13] Seleucid دور تک، Babylonians نے خالی جگہوں کے لیے ایک پلیس ہولڈر کے طور پر صفر کی علامت تیار کر لی تھی۔ تاہم یہ صرف انٹرمیڈیٹ عہدوں کے لیے استعمال ہوتا تھا۔ ^[13] یہ صفر کا نشان ٹرمینل پوزیشنز میں ظاہر نہیں ہوتا، اس طرح بابل کے لوگ قریب آ گئے لیکن ایک حقیقی جگہ کی قدر کا نظام تیار نہیں کیا۔ ^[13]

بابلی مٹی کی گولی YBC 7289 تشریحات کے ساتھ۔ اخترن چار جنسوں کے اعداد و شمار میں 2 کے مربع جڑ کا تخمینہ ظاہر کرتا ہے، 1 24 51 10، جو تقریباً چھ اعشاریہ ہندسوں تک اچھا ہے۔

بابلی ریاضی کے زیر احاطہ دیگر موضوعات میں کسر، الجبرا، چوکور اور کیوبک مساوات، اور باقاعدہ اعداد کا حساب، اور ان کے باہمی جوڑے شامل ہیں۔ ^[15] گولیوں میں ضرب کی میزیں اور لکیری، چوکور مساوات اور کیوبک مساوات کو حل کرنے کے طریقے بھی شامل ہیں، جو اس وقت کے لیے ایک قابل ذکر کامیابی ہے۔ ^[16] پرانے بابل کے دور کی گولیوں میں پائتھاگورین تھیوریم کا قدیم ترین بیان بھی موجود ہے۔ ^[17] تاہم، مصری ریاضی کی طرح، بابل کی ریاضی درست اور تخمینی حل کے درمیان فرق، یا کسی مسئلے کی حل پذیری، اور سب سے اہم بات، ثبوت یا منطقی اصولوں کی ضرورت کا کوئی واضح بیان نہیں دکھاتی ہے۔ ^[13]

انہوں نے ایک Ephemeris (فلکیاتی پوزیشنوں کا جدول) کی گنتی کرنے کے لیے فوئیر تجزیہ کی ایک شکل کا بھی استعمال کیا، جسے Otto Neugebauer نے 1950 کی دہائی میں دریافت کیا تھا۔ ^[11] آسمانی اجسام کی حرکات کا حساب کتاب کرنے کے لیے، بابل کے باشندوں نے بنیادی ریاضی اور چاند گرہن پر مبنی ایک مربوط نظام کا استعمال کیا، آسمان کا وہ حصہ جس سے سورج اور سیارے سفر کرتے ہیں۔

یونانی ریاضی کا آغاز مبینہ طور پر تھیلس آف میلٹس (c. 624-548 BCE) سے ہوا۔ ان کی زندگی کے بارے میں بہت کم معلومات ہیں، حالانکہ عام طور پر اس بات پر اتفاق کیا جاتا ہے کہ وہ یونان کے سات حکیموں میں سے ایک تھے۔ پروکلس کے مطابق، اس نے بابل کا سفر کیا جہاں سے اس نے ریاضی اور دیگر مضامین سیکھے، اس کے ثبوت کے ساتھ سامنے آئے جسے اب تھیلس تھیوریم کہا جاتا ہے۔ ^[23]

تھیلس کا نظریہ: اگر AC ایک قطر ہے اور B قطر کے دائرے پر ایک نقطہ ہے، زاویہ ∠ ABC ایک صحیح زاویہ ہے۔ @ Inductiveload

تھیلس نے اہرام کی اونچائی اور ساحل سے بحری جہازوں کے فاصلے کا حساب لگانے جیسے مسائل کو حل کرنے کے لیے جیومیٹری کا استعمال کیا۔ اسے جیومیٹری پر لاگو کٹوتی استدلال کے پہلے استعمال کا سہرا دیا جاتا ہے، تھیلس کے تھیوریم کے چار نقاط اخذ کرکے۔ نتیجے کے طور پر، وہ پہلے حقیقی ریاضی دان اور پہلے معروف فرد کے طور پر سراہا گیا ہے جس سے ریاضی کی دریافت کو منسوب کیا گیا ہے۔ ^[30]

یکساں طور پر ایک پُراسرار شخصیت سموس کا پائتھاگورس (c. 580-500 BCE) ہے، جس نے قیاس کے طور پرمصر اور بابل کا دورہ کیا، ^[24] اور بالآخر کروٹن، میگنا گریشیا میں آباد ہوا، جہاں اس نے ایک قسم کا بھائی چارہ شروع کیا۔ پائیتھاگورینس کا خیال تھا کہ "سب نمبر ہے" اور وہ اعداد اور چیزوں کے درمیان ریاضیاتی تعلقات کو تلاش کرنے کے خواہشمند تھے۔ ^[25] خود پائتھاگورس کو بعد میں ہونے والی کئی دریافتوں کا سہرا دیا گیا، بشمول پانچ باقاعدہ ٹھوس کی تعمیر۔

Euclid's Elements میں موجود تقریباً نصف مواد کو عام طور پر Pythagoreans سے منسوب کیا جاتا ہے، جس میں hippasus (c. 530-450 BCE) اور تھیوڈورس (fl. 450 BCE) سے منسوب غیر معقولات کی دریافت بھی شامل ہے۔ ^[26] یہ Pythagoreans تھے جنہوں نے "ریاضی" کی اصطلاح تیار کی، اور جن سے ریاضی کا مطالعہ اپنی خاطر شروع ہوتا ہے۔ تاہم، اس گروپ سے وابستہ سب سے بڑا ریاضی دان آرکیٹاس (c. 435-360 BCE) ہو سکتا ہے، جس نے کیوب کو دوگنا کرنے کا مسئلہ حل کیا، ہارمونک وسط کی نشاندہی کی، اور ممکنہ طور پر آپٹکس اور میکانکس میں تعاون کیا۔ ^[26] اس دور میں سرگرم دیگر ریاضی دان، جو کسی بھی مکتب سے مکمل طور پر وابستہ نہیں تھے، ان میں Chios کے Hippocrates (c. 470-410 BCE)، Theaetetus (c. 417-369 BCE)، اور Eudoxus (c. 408-355 BCE) شامل ہیں۔ .

غیر معقول اعداد کے وجود کا پہلا ثبوت عام طور پر ایک پائتھاگورین (ممکنہ طور پر میٹاپونٹم کا ہپاسس) سے منسوب کیا جاتا ہے، ^[39] جس نے شاید پینٹاگرام کے اطراف کی نشاندہی کرتے ہوئے انہیں دریافت کیا تھا۔ ^[40] اس وقت کے موجودہ پائیتھاگورین طریقہ کار نے دعویٰ کیا ہوگا کہ کافی حد تک چھوٹی، ناقابل تقسیم اکائی ہونی چاہیے جو ان میں سے ایک لمبائی کے ساتھ ساتھ دوسری میں یکساں طور پر فٹ ہو سکے۔ 5ویں صدی قبل مسیح میں ہپاسس، تاہم، یہ نتیجہ نکالنے میں کامیاب ہوا کہ درحقیقت پیمائش کی کوئی مشترکہ اکائی نہیں تھی، اور یہ کہ اس طرح کے وجود کا دعویٰ درحقیقت ایک تضاد تھا۔

یونانی ریاضی دانوں نے ناقابل تسخیر طول و عرض کے اس تناسب کو alogos، یا ناقابل بیان قرار دیا۔ تاہم، ہپاسس کو اس کی کوششوں کے لیے سراہا نہیں گیا: ایک افسانہ کے مطابق، اس نے اپنی دریافت سمندر میں رہتے ہوئے کی تھی، اور بعد میں اسے اس کے ساتھی پائتھاگورینز نے اس وجہ سے سمندر میں پھینک دیا تھا کہ اس نے کائنات میں ایک ایسا عنصر پیدا کیا تھا جس نے اس نظریے کی تردید کی تھی۔ کہ کائنات میں تمام مظاہر کو مکمل اعداد اور ان کے تناسب تک کم کیا جا سکتا ہے۔' ^[41] خود ہپاسس کا نتیجہ کچھ بھی ہو، اس کی دریافت نے پائیتھاگورین ریاضی کے لیے ایک بہت سنگین مسئلہ کھڑا کر دیا، کیونکہ اس نے اس مفروضے کو توڑ دیا کہ نمبر اور جیومیٹری لازم و ملزوم ہیں – ان کے نظریہ کی بنیاد۔

افلاطون ریاضی کی تاریخ میں دوسروں کی حوصلہ افزائی اور رہنمائی کے لیے اہم ہے۔ ^[31] ایتھنز میں ان کی افلاطونی اکیڈمی، چوتھی صدی قبل مسیح میں دنیا کا ریاضیاتی مرکز بن گئی، اور اسی اسکول سے اس وقت کے معروف ریاضی دان، جیسے Cnidus کے Eudoxus، آئے۔ ^[32] افلاطون نے ریاضی کی بنیادوں پر بھی بحث کی، ^[33] کچھ تعریفیں واضح کیں (مثال کے طور پر ایک لکیر کی "چوڑائی نہ ہونے والی لمبائی")، اور مفروضوں کو دوبارہ ترتیب دیا۔ ^[34] تجزیاتی طریقہ افلاطون سے منسوب ہے، جبکہ پائتھاگورین ٹرپل حاصل کرنے کا فارمولا اس کا نام رکھتا ہے۔ ^[32]

چین میں جیومیٹری پر سب سے قدیم کام فلسفیانہ موہسٹ کینن سی سے آتا ہے۔ 330 BCE، موزی کے پیروکاروں کے ذریعہ مرتب کیا گیا (470-390 BCE)۔ مو جِنگ نے فزیکل سائنس سے وابستہ بہت سے شعبوں کے مختلف پہلوؤں کو بیان کیا، اور ساتھ ہی ساتھ ہندسی نظریات کی ایک چھوٹی سی تعداد بھی فراہم کی۔ ^[77] اس نے فریم، قطر، رداس اور حجم کے تصورات کی بھی وضاحت کی۔ ^[78]

سنگھوا بانس سلپس، جس میں قدیم ترین اعشاریہ ضرب کی میز پر مشتمل ہے (حالانکہ قدیم بابلیوں کے پاس 60 کی بنیاد تھی) کی تاریخ تقریباً 305 قبل مسیح ہے اور یہ شایدچین کا سب سے قدیم بچ جانے والا ریاضیاتی متن ہے۔ ^[68] چینی ریاضی میں اعشاریہ پوزیشنی اشارے کے نظام کا استعمال خاص طور پر قابل ذکر ہے، نام نہاد "راڈ نمبرز" جس میں 1 اور 10 کے درمیان نمبروں کے لیے الگ الگ سائفرز اور دس کی طاقتوں کے لیے اضافی سائفرز استعمال کیے گئے تھے۔ اس ^[طرح] ، نمبر 123 کو "1" کی علامت کا استعمال کرتے ہوئے لکھا جائے گا، اس کے بعد "100" کی علامت، پھر "2" کی علامت اس کے بعد "10" کی علامت کے بعد لکھا جائے گا۔ 3"۔ یہ اس وقت دنیا کا سب سے جدید نمبر سسٹم تھا، بظاہر عام دور سے کئی صدیاں پہلے اورہندوستانی عددی نظام کی ترقی سے بہت پہلے استعمال میں تھا۔ ^[76] چھڑی کے ہندسوں نے تعداد کو مطلوبہ طور پر ظاہر کرنے کی اجازت دی اور سوان پین یا چینی اباکس پر حساب کتاب کرنے کی اجازت دی۔ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ حکام نے زمین کی سطح کے رقبہ، فصلوں کی پیداوار اور واجب الادا ٹیکس کی رقم کا حساب لگانے کے لیے ضرب جدول کا استعمال کیا۔ ^[68]

Hellenistic دور کا آغاز چوتھی صدی قبل مسیح کے آخر میں، سکندر اعظم کی مشرقی بحیرہ روم،مصر ، میسوپوٹیمیا ، ایرانی سطح مرتفع، وسطی ایشیا، اورہندوستان کے کچھ حصوں پر فتح کے بعد ہوا، جس کی وجہ سے ان خطوں میں یونانی زبان اور ثقافت پھیلی۔ . یونانی پوری دنیا میں اسکالرشپ کی زبان بن گئی، اور کلاسیکی دور کی ریاضی مصری اور بابلی ریاضی کے ساتھ ضم ہو گئی تاکہ ہیلینسٹک ریاضی کو جنم دیا جا سکے۔ ^[27]

یونانی ریاضی اور فلکیات نے ہیلینسٹک اور ابتدائی رومن ادوار کے دوران اپنے عروج کو پہنچایا، اور زیادہ تر کام مصنفین جیسے کہ یوکلڈ (fl. 300 BCE)، آرکیمیڈیز (c. 287-212 BCE)، اپولونیئس (c. 240-190) کے ذریعہ پیش کیا گیا۔ BCE)، Hipparchus (c. 190-120 BCE)، اور Ptolemy (c. 100-170 CE) بہت اعلی درجے کے تھے اور شاذ و نادر ہی ایک چھوٹے دائرے سے باہر مہارت حاصل کرتے تھے۔

Hellenistic دور کے دوران سیکھنے کے کئی مراکز نمودار ہوئے، جن میں سب سے اہم الیگزینڈریا، مصر کا ماؤسیئن تھا، جس نے تمام ہیلینسٹک دنیا (زیادہ تر یونانی، بلکہ مصری، یہودی، فارسی، دوسروں کے درمیان) کے اسکالرز کو راغب کیا۔ ^[28] اگرچہ تعداد میں بہت کم، Hellenistic ریاضی دان ایک دوسرے کے ساتھ فعال طور پر بات چیت کرتے تھے۔ اشاعت میں ساتھیوں کے درمیان کسی کے کام کو پاس کرنا اور کاپی کرنا شامل تھا۔ ^[29]

تیسری صدی قبل مسیح میں، ریاضی کی تعلیم اور تحقیق کا سب سے بڑا مرکز اسکندریہ کا میوزیم تھا۔ ^[36] یہ وہیں تھا کہ یوکلڈ (c. 300 BCE) نے عناصر کو پڑھایا، اور لکھا، جسے وسیع پیمانے پر اب تک کی سب سے کامیاب اور بااثر درسی کتاب سمجھا جاتا ہے۔ ^[35]

"جیومیٹری کا باپ" سمجھا جاتا ہے، یوکلڈ بنیادی طور پر عناصر کے مقالے کے لیے جانا جاتا ہے، جس نے جیومیٹری کی بنیادیں قائم کیں جس نے 19ویں صدی کے اوائل تک اس شعبے پر بڑا غلبہ حاصل کیا۔ اس کا نظام، جسے اب یوکلیڈین جیومیٹری کہا جاتا ہے، اس میں قدیم یونانی ریاضی دانوں کے نظریات کی ترکیب کے ساتھ مل کر نئی اختراعات شامل ہیں، جن میں Cnidus کے Eudoxus، Chios کے Hippocrates، Thales اور Theaetetus شامل ہیں۔ Archimedes اور Apollonius of Perga کے ساتھ، Euclid کو عام طور پر قدیم دور کے عظیم ترین ریاضی دانوں میں شمار کیا جاتا ہے، اور ریاضی کی تاریخ میں سب سے زیادہ بااثر افراد میں سے ایک سمجھا جاتا ہے۔

عناصر نے ریاضی کی سختی کو محوری طریقہ کے ذریعے متعارف کرایا اور یہ اس فارمیٹ کی ابتدائی مثال ہے جسے آج بھی ریاضی میں استعمال کیا جاتا ہے، یعنی تعریف، محور، تھیوریم اور ثبوت۔ اگرچہ عناصر کے زیادہ تر مشمولات پہلے سے ہی معلوم تھے، یوکلڈ نے انہیں ایک واحد، مربوط منطقی فریم ورک میں ترتیب دیا۔ ^[37] اقلیڈین جیومیٹری کے مانوس تھیوریز کے علاوہ، عناصر کا مطلب اس وقت کے تمام ریاضی کے مضامین، جیسے کہ نمبر تھیوری، الجبرا اور ٹھوس جیومیٹری کے لیے ایک تعارفی نصابی کتاب کے طور پر تھا، ^[37] جس میں یہ ثبوت بھی شامل ہیں کہ دو کا مربع جڑ غیر معقول ہے اور یہ کہ لامحدود بہت سے بنیادی اعداد ہیں۔ یوکلڈ نے دوسرے موضوعات پر بھی بڑے پیمانے پر لکھا، جیسے کہ کونک سیکشنز، آپٹکس، کروی جیومیٹری، اور میکانکس، لیکن اس کی صرف نصف تحریریں باقی ہیں۔ ^[38]

یوکلیڈین الگورتھم عام استعمال میں قدیم ترین الگورتھم میں سے ایک ہے۔ ^[93] یہ Euclid's Elements (c. 300 BCE) میں ظاہر ہوتا ہے، خاص طور پر کتاب 7 (تجاویز 1–2) اور کتاب 10 (تجاویز 2–3) میں۔ کتاب 7 میں، الگورتھم عدد کے لیے تیار کیا گیا ہے، جب کہ کتاب 10 میں، یہ لکیر کے حصوں کی لمبائی کے لیے تیار کیا گیا ہے۔ صدیوں بعد، یوکلڈ کا الگورتھم ہندوستان اور چین دونوں میں آزادانہ طور پر دریافت ہوا، ^[94] بنیادی طور پر فلکیات میں پیدا ہونے والی ڈائیوفنٹائن مساوات کو حل کرنے اور درست کیلنڈر بنانے کے لیے۔

آرکیمیڈیز آف سائراکیز کو کلاسیکی قدیم زمانے میں سرکردہ سائنسدانوں میں شمار کیا جاتا ہے۔ قدیم تاریخ کا سب سے بڑا ریاضی دان سمجھا جاتا ہے، اور اب تک کے سب سے بڑے میں سے ایک، ^[42] آرکیمیڈیز نے لامحدود چھوٹے کے تصور اور تھکن کے طریقہ کار کو ہندسی نظریات کی ایک حد کو اخذ کرنے اور سختی سے ثابت کرنے کے لیے جدید کیلکولس اور تجزیہ کی توقع کی تھی۔ ^[43] ان میں دائرے کا رقبہ، کرہ کی سطح کا رقبہ اور حجم، بیضوی کا رقبہ، پیرابولا کے نیچے کا رقبہ، انقلاب کے پیرابولائڈ کے ایک حصے کا حجم، ایک حصے کا حجم۔ انقلاب کا ہائپربولائڈ، اور ایک سرپل کا رقبہ۔ ^[44]

آرکیمیڈیز کی دیگر ریاضیاتی کامیابیوں میں پائی کا تخمینہ اخذ کرنا، آرکیمیڈین سرپل کی تعریف کرنا اور اس کی تحقیقات کرنا، اور بہت بڑی تعداد کے اظہار کے لیے کفایت کا استعمال کرتے ہوئے ایک نظام وضع کرنا شامل ہے۔ وہ ریاضی کو طبعی مظاہر پر لاگو کرنے والے اولین افراد میں سے ایک تھے جنہوں نے سٹیٹکس اور ہائیڈرو سٹیٹکس پر کام کیا۔ اس علاقے میں آرکیمڈیز کی کامیابیوں میں لیور کے قانون کا ثبوت، ^[45] مرکز کشش ثقل کے تصور کا وسیع پیمانے پر استعمال، ^[46] اور قانون کی افادیت یا آرکیمڈیز کے اصول کا بیان شامل ہے۔

آرکیمیڈیز کی موتسائراکیز کے محاصرے کے دوران ہوئی، جب اسے ایک رومی سپاہی نے اس حکم کے باوجود مار ڈالا کہ اسے کوئی نقصان نہ پہنچایا جائے۔

پرگا کے Apollonius (c. 262-190 BCE) نے مخروطی حصوں کے مطالعہ میں نمایاں پیش رفت کی، جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ کوئی بھی ہوائی جہاز کے زاویے کو مختلف کرکے مخروطی حصے کی تینوں اقسام حاصل کر سکتا ہے جو ایک ڈبل نیپ شنک کو کاٹتا ہے۔ ^[47] اس نے مخروطی حصوں کے لیے آج استعمال ہونے والی اصطلاحات بھی وضع کیں، یعنی پیرابولا ("جگہ کے ساتھ" یا "موازنہ")، "بیضوی" ("کمی")، اور "ہائپربولا" ("ایک تھرو بینڈ")۔ ^[48] ​​اس کا کام کونکس قدیم دور سے سب سے مشہور اور محفوظ ریاضیاتی کاموں میں سے ایک ہے، اور اس میں اس نے مخروطی حصوں سے متعلق بہت سے نظریات اخذ کیے ہیں جو بعد کے ریاضی دانوں اور سیاروں کی حرکت کا مطالعہ کرنے والے فلکیات دانوں کے لیے انمول ثابت ہوں گے، جیسے کہ آئزک نیوٹن۔ ^[49] اگرچہ اپولونیئس اور نہ ہی کسی دوسرے یونانی ریاضی دانوں نے جیومیٹری کو مربوط کرنے کے لیے چھلانگ لگائی، اپولونیئس کا منحنی خطوط کا علاج کچھ طریقوں سے جدید طریقہ علاج سے ملتا جلتا ہے، اور اس کا کچھ کام ڈیکارٹس کی طرف سے تجزیاتی جیومیٹری کی ترقی کا اندازہ لگاتا ہے۔ سال بعد ^[50]

مخروطی حصے، یا دو جہتی اعداد و شمار مختلف زاویوں پر مخروط کے ساتھ ہوائی جہاز کے چوراہے سے بنتے ہیں۔ ان اعداد و شمار کا نظریہ قدیم یونانی ریاضی دانوں نے بڑے پیمانے پر تیار کیا تھا، خاص طور پر پرگا کے اپولونیئس جیسے کاموں میں زندہ رہا۔ مخروطی حصے جدید ریاضی میں پھیلے ہوئے ہیں۔

212 قبل مسیح میں، شہنشاہ کن شی ہوانگ نے حکم دیا کہ کن سلطنت میں سرکاری طور پر منظور شدہ کتابوں کے علاوہ تمام کتابوں کو جلا دیا جائے۔ اس حکم نامے کی عالمی طور پر تعمیل نہیں کی گئی تھی، لیکن اس حکم کے نتیجے میں اس تاریخ سے پہلے قدیمچینی ریاضی کے بارے میں بہت کم معلومات ہیں۔ 212 قبل مسیح کی کتاب کے جلانے کے بعد، ہان خاندان (202 قبل مسیح-220 عیسوی) نے ریاضی کے کام تیار کیے جو غالباً ان کاموں پر پھیلے جو اب کھو چکے ہیں۔

212 قبل مسیح کی کتاب کے جلانے کے بعد، ہان خاندان (202 قبل مسیح-220 عیسوی) نے ریاضی کے کام تیار کیے جو غالباً ان کاموں پر پھیلے جو اب کھو چکے ہیں۔ ان میں سے سب سے اہم ریاضی کے فن پر نو ابواب ہیں، جس کا مکمل عنوان عیسوی 179 تک شائع ہوا، لیکن اس سے پہلے دوسرے عنوانات کے تحت کچھ حصہ موجود تھا۔ یہ 246 الفاظ کے مسائل پر مشتمل ہے جس میں زراعت، کاروبار، جیومیٹری کی ملازمت سے اعداد و شمار کی اونچائی کے اسپین اور چینی پگوڈا ٹاورز کے لیے طول و عرض کے تناسب، انجینئرنگ، سروے، اور دائیں مثلث پر مواد شامل ہے۔ ^[79] اس نے Pythagorean theorem کے لیے ریاضیاتی ثبوت، ^[81] اور گاوسیوں کے خاتمے کے لیے ایک ریاضیاتی فارمولہ بنایا۔ ^[80] یہ مقالہ π کی قدریں بھی فراہم کرتا ہے، ^[79] جسے چینی ریاضی دانوں نے اصل میں 3 بتایا جب تک کہ لیو ژین (متوفی 23 عیسوی) نے 3.1457 کا اعداد و شمار فراہم کیا اور اس کے بعد ژانگ ہینگ ( ^[78-139] ) نے تقریباً 3.1724 پائی ^[82] کے ساتھ ساتھ 10 کا مربع جڑ لے کر 3.162۔ ^[83]

منفی اعداد تاریخ میں پہلی بار ریاضی کے فن کے نو ابواب میں نمودار ہوتے ہیں لیکن اس میں بہت پرانا مواد بھی ہو سکتا ہے۔ ^[84] ریاضی دان لیو ہوئی (سی۔ تیسری صدی) نے منفی نمبروں کے اضافے اور گھٹاؤ کے اصول بنائے۔

تیسری صدی قبل مسیح کو عام طور پر یونانی ریاضی کے "سنہری دور" کے طور پر شمار کیا جاتا ہے، اس کے بعد خالص ریاضی میں پیشرفت نسبتاً زوال میں ہے۔ ^[51] اس کے باوجود، اس کے بعد کی صدیوں میں اطلاقی ریاضی میں، خاص طور پر مثلثیات، بڑی حد تک ماہرین فلکیات کی ضروریات کو پورا کرنے کے لیے اہم پیش رفت کی گئی۔ Nicaea کے ^[Hipparchus] (c. 190-120 BCE) کو پہلا معلوم مثلثی جدول مرتب کرنے کے لیے مثلثیات کا بانی سمجھا جاتا ہے، اور اس کی وجہ 360 ڈگری دائرے کا منظم استعمال بھی ہے۔ ^[52]

دوسری صدی عیسوی میں، یونانی-مصری ماہر فلکیات بطلیمی (اسکندریہ، مصر سے) نے اپنی المجسٹ کے باب 1، باب 1 میں تفصیلی مثلثی میزیں (بطلیمی کی راگوں کی میز) تیار کیں۔ بطلیمی نے اپنے مثلثی افعال کی وضاحت کے لیے راگ کی لمبائی کا استعمال کیا، جو ہم آج استعمال کرتے ہیں سائن کنونشن سے ایک معمولی فرق ہے۔ مزید تفصیلی جدولوں کو تیار کیے جانے سے پہلے صدیاں گزر گئیں، اور بطلیموس کا مقالہ اگلے 1200 سالوں میں قرون وسطی کے بازنطینی، اسلامی، اور بعد میں، مغربی یورپی دنیاوں میں فلکیات میں مثلثی حسابات انجام دینے کے لیے استعمال میں رہا۔ ٹالیمی کو ٹولومی کے تھیوریم کے ساتھ مثلثی مقداریں اخذ کرنے کا سہرا بھی دیا جاتا ہے، اور قرون وسطیٰ کے دور تک چین سے باہر π کی سب سے درست قدر، 3.1416۔ ^[63]

ریاضی میں، چینی بقیہ تھیوریم کہتا ہے کہ اگر کوئی ایک عدد n کی اقلیڈین تقسیم کے باقیات کو کئی عدد سے جانتا ہے، تو کوئی شخص ان انٹیجرز کی پیداوار کے ذریعے n کی تقسیم کے باقی ماندہ حصے کا تعین کر سکتا ہے، اس شرط کے تحت کہ تقسیم کرنے والے جوڑے کے لحاظ سے coprime ہوتے ہیں (کوئی دو تقسیم کرنے والے 1 کے علاوہ مشترکہ عنصر کا اشتراک نہیں کرتے ہیں)۔ تھیوریم کا قدیم ترین بیان چینی ریاضی دان سن زو نے تیسری صدی عیسوی میں سن-تزو سوان چنگ میں دیا تھا۔

بطلیموس کے بعد جمود کے دور کے بعد، 250 اور 350 عیسوی کے درمیان کے عرصے کو بعض اوقات یونانی ریاضی کا "سلور ایج" بھی کہا جاتا ہے۔ ^[53] اس عرصے کے دوران، Diophantus نے الجبرا میں اہم پیش رفت کی، خاص طور پر غیر متعین تجزیہ، جسے "Diophantine analysis" بھی کہا جاتا ہے۔ ^[54] Diophantine مساوات اور Diophantine approximations کا مطالعہ آج تک تحقیق کا ایک اہم شعبہ ہے۔ اس کا بنیادی کام Arithmetica تھا، جو 150 الجبری مسائل کا مجموعہ تھا جو متعین اور غیر متعین مساوات کے عین مطابق حل کرتا تھا۔ ^[55] ارتھمیٹیکا کا بعد کے ریاضی دانوں پر خاصا اثر تھا، جیسا کہ پیئر ڈی فرمیٹ، جو اپنے مشہور آخری تھیوریم پر اس مسئلے کو عام کرنے کی کوشش کے بعد پہنچے جو انھوں نے Arithmetica میں پڑھا تھا (کہ ایک مربع کو دو مربعوں میں تقسیم کرنا)۔ ^[56] Diophantus نے اشارے میں بھی نمایاں پیش رفت کی، Arithmetica الجبری علامت اور ہم آہنگی کی پہلی مثال ہے۔ ^[55]

قدیممصری ہندسوں کی بنیاد 10 تھی۔ وہ ہندسوں کے لیے ہائروگلیفس کا استعمال کرتے تھے اور پوزیشنل نہیں تھے۔ دوسری صدی قبل مسیح کے وسط تک، بابلی ریاضی میں ایک نفیس بیس 60 پوزیشنی ہندسوں کا نظام موجود تھا۔ پوزیشنی ویلیو (یا صفر) کی کمی کی نشاندہی سیکسیسیمل ہندسوں کے درمیان خالی جگہ سے کی گئی تھی۔ جنوبی وسطی میکسیکو اور وسطی امریکہ میں تیار کردہ میسوامریکن لانگ کاؤنٹ کیلنڈر کو اس کے ویجیسیمل (بیس -20) پوزیشنی ہندسوں کے نظام کے اندر بطور پلیس ہولڈر صفر کے استعمال کی ضرورت ہے۔

اعشاریہ جگہ کی قدر کے اشارے میں ایک تحریری ہندسے کے طور پر صفر کا تصور ہندوستان میں تیار کیا گیا تھا۔ ^[65] صفر کے لیے ایک علامت، ایک بڑا نقطہ جو ممکنہ طور پر موجودہ کھوکھلی علامت کا پیش خیمہ ہو سکتا ہے، پورے بخشالی مخطوطہ میں استعمال ہوتا ہے، جو تاجروں کے لیے ریاضی پر ایک عملی کتابچہ ہے۔ ^[66] 2017 میں، مخطوطہ کے تین نمونے ریڈیو کاربن ڈیٹنگ کے ذریعے دکھائے گئے جو تین مختلف صدیوں سے آئے: CE 224–383، CE 680–779، اور CE 885–993، جس سے یہ جنوبی ایشیا کا سب سے قدیم صفر کا ریکارڈ شدہ استعمال ہے۔ علامت یہ معلوم نہیں ہے کہ مخطوطہ بنانے والے مختلف صدیوں کے برچ کی چھال کے ٹکڑوں کو کیسے ایک ساتھ پیک کیا گیا۔ صفر کے استعمال کو کنٹرول کرنے والے قواعد برہما ^[گپت] کے برہماسپتا سدھانت (7ویں صدی) میں ظاہر ہوئے، جو صفر کے مجموعہ کو اپنے ساتھ صفر بتاتا ہے، اور غلط طور پر صفر سے تقسیم کرتا ہے:

ایک مثبت یا منفی عدد جب صفر سے تقسیم کیا جائے تو وہ ایک حصہ ہوتا ہے جس کے ساتھ صفر ہوتا ہے۔ صفر کو منفی یا مثبت نمبر سے تقسیم کیا جاتا ہے یا تو صفر ہوتا ہے یا اسے ایک جز کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے اور صفر کے ساتھ عدد کے طور پر اور محدود مقدار کو بطور ڈینومینیٹر۔ صفر کو صفر سے تقسیم کیا گیا صفر ہے۔

تاریخ کی طرف سے ریکارڈ کی جانے والی پہلی خاتون ریاضی دان اسکندریہ کی Hypatia (CE 350–415) تھی۔ اس نے لاگو ریاضی پر بہت سے کام لکھے۔ ایک سیاسی تنازعہ کی وجہ سے، اسکندریہ میں عیسائی برادری نے اسے سرعام چھین لیا اور پھانسی دے دی۔ اس کی موت کو بعض اوقات الیگزینڈری یونانی ریاضی کے عہد کے اختتام کے طور پر لیا جاتا ہے، حالانکہ ایتھنز میں پروکلس، سمپلیسیئس اور یوٹوشیئس جیسی شخصیات کے ساتھ ایک اور صدی تک کام جاری رہا۔ ^[57] اگرچہ پروکلس اور سمپلیسیس ریاضی دانوں سے زیادہ فلسفی تھے، لیکن اس سے پہلے کے کاموں پر ان کے تبصرے یونانی ریاضی کے قابل قدر ذرائع ہیں۔ 529 عیسوی میں شہنشاہ جسٹینین کے ذریعہ ایتھنز کی نو افلاطونی اکیڈمی کی بندش کو روایتی طور پر یونانی ریاضی کے دور کے خاتمے کے طور پر مانا جاتا ہے، حالانکہ یونانی روایت بازنطینی سلطنت میں ریاضی دانوں جیسے Anthemius of Tralles اور Isidore کے ساتھ جاری رہی۔ ملیٹس کا، ہاگیا صوفیہ کے معمار۔ ^[58] اس کے باوجود، بازنطینی ریاضی زیادہ تر تبصروں پر مشتمل تھی، جس میں اختراع کی راہ میں بہت کم تھا، اور اس وقت تک ریاضیاتی اختراع کے مراکز کہیں اور پائے جانے تھے۔ ^[59]

جدید سائن کنونشن کی تصدیق سب سے پہلے سوریہ سدھانت میں ہوئی ہے (مضبوط ہیلنسٹک اثر کو ظاہر کرتا ہے) ^[64] ، اور اس کی خصوصیات کو مزید 5ویں صدی (سی ای) کے ہندوستانی ریاضی دان اور ماہر فلکیات آریہ بھٹ نے دستاویز کیا تھا۔ ^[60] سوریہ سدھانت مختلف سیاروں اور چاند کے مختلف برجوں، مختلف سیاروں کے قطر، اور مختلف فلکیاتی اجسام کے مدار کا حساب لگانے کے لیے قواعد بیان کرتا ہے۔ یہ متن سیکسیجسیمل فریکشنز اور ٹگنومیٹرک افعال کے بارے میں کچھ قدیم ترین بحث کے لیے جانا جاتا ہے۔ ^[61]

تقریباً 500 عیسوی میں، آریہ بھٹہ نے آریہ بھاٹیہ لکھا، ایک پتلا حجم، آیت میں لکھا گیا، جس کا مقصد فلکیات اور ریاضی کے حیض میں استعمال ہونے والے حساب کے اصولوں کی تکمیل کرنا تھا۔ ^[62] اگرچہ تقریباً نصف اندراجات غلط ہیں، لیکن یہ آریہ بھٹیہ میں ہے کہ اعشاریہ جگہ کی قدر کا نظام سب سے پہلے ظاہر ہوتا ہے۔

9ویں صدی میں ریاضی دان محمد بن موسیٰ الخوارزمی نے ہندو-عربی ہندسوں اور مساوات کو حل کرنے کے طریقوں پر ایک اہم کتاب لکھی۔ ان کی کتاب On the Calculation with Hindu Numerals، جو تقریباً 825 میں لکھی گئی، الکندی کے کام کے ساتھ، ہندوستانی ریاضی اور ہندوستانی ہندسوں کو مغرب میں پھیلانے میں اہم کردار ادا کرتی تھی۔ الگورتھم کا لفظ ان کے نام، الگوریتمی کے لاطینی سے ماخوذ ہے، اور الجبرا کا لفظ ان کی ایک تصنیف کے عنوان سے ماخوذ ہے، الکتاب المختصر فی حساب الغبر والمقابلہ (حساب کی جامع کتاب تکمیل اور توازن)۔ اس نے مثبت جڑوں کے ساتھ چوکور مساوات کے الجبری حل کے لیے ایک مکمل وضاحت دی، ^[87] اور وہ پہلا شخص تھا جس نے الجبرا کو ابتدائی شکل میں اور اس کی اپنی خاطر پڑھایا۔ ^[88] اس نے "کمی" اور "توازن" کے بنیادی طریقہ پر بھی تبادلہ خیال کیا، جس میں ایک مساوات کے دوسرے رخ پر منقطع اصطلاحات کی منتقلی کا حوالہ دیا گیا، یعنی مساوات کے مخالف پہلوؤں پر مساوی اصطلاحات کی منسوخی۔ یہ وہ آپریشن ہے جسے الخوارزمی نے اصل میں الجبر سے تعبیر کیا ہے۔ ^[89] اس کا الجبرا بھی اب "حل کیے جانے والے مسائل کی ایک سیریز سے متعلق نہیں تھا، لیکن ایک نمائش جو ابتدائی اصطلاحات سے شروع ہوتی ہے جس میں امتزاج کو مساوات کے لیے تمام ممکنہ نمونے دینے چاہییں، جو اس کے بعد واضح طور پر مطالعہ کا اصل مقصد بنتی ہیں۔ " اس نے اپنی خاطر ایک مساوات کا بھی مطالعہ کیا اور "عام انداز میں، جہاں تک کہ یہ کسی مسئلے کو حل کرنے کے دوران ہی سامنے نہیں آتا، بلکہ خاص طور پر مسائل کے لامحدود طبقے کی وضاحت کے لیے کہا جاتا ہے۔" ^[90]

ابو کامل شجاع ابن اسلم ابن محمد ابن شجاع اسلامی سنہری دور کے ایک ممتازمصری ریاضی دان تھے۔ وہ پہلا ریاضی دان سمجھا جاتا ہے جس نے منظم طریقے سے غیر معقول نمبروں کو مساوات کے حل اور قابلیت کے طور پر استعمال کیا اور قبول کیا۔ ^[91] اس کی ریاضی کی تکنیکوں کو بعد میں فبونیکی نے اپنایا، اس طرح ابو کامل کو الجبرا کو یورپ میں متعارف کرانے میں ایک اہم حصہ ملا۔ ^[92]

کولمبیا سے پہلے کے امریکہ میں، پہلی صدی عیسوی کے دوران میکسیکو اور وسطی امریکہ میں پروان چڑھنے والی مایا تہذیب نے ریاضی کی ایک انوکھی روایت تیار کی جو کہ اپنی جغرافیائی تنہائی کی وجہ سے، موجودہ یورپی،مصری ، اور ایشیائی ریاضی سے مکمل طور پر آزاد تھی۔ ^[92] مایا ہندسوں میں بیس کی بنیاد کا استعمال کیا جاتا ہے، ویجیسیمل نظام، دس کی بنیاد کے بجائے جو کہ زیادہ تر جدید ثقافتوں کے استعمال کردہ اعشاریہ نظام کی بنیاد بناتا ہے۔ ^[92] مایا نے مایا کیلنڈر بنانے کے ساتھ ساتھ اپنے مایا فلکیات میں فلکیاتی مظاہر کی پیش گوئی کرنے کے لیے ریاضی کا استعمال کیا۔ ^[92] اگرچہ بہت سے معاصر ثقافتوں کی ریاضی میں صفر کے تصور کا اندازہ لگایا جانا تھا، مایا نے اس کے لیے ایک معیاری علامت تیار کی۔ ^[92]

مایا کے اعداد

ڈریسڈن کوڈیکس کے صفحہ 43b کا سیکشن صفر کی مختلف نمائندگیوں کو دکھا رہا ہے۔

ابو بکر محمد بن الحسن الکراجی 10ویں صدی کے فارسی ریاضی دان اور انجینئر تھے جنہوں نے بغداد میں ترقی کی۔ وہ تہران کے قریب شہر کرج میں پیدا ہوئے۔ اس کے تین اہم بچ جانے والے کام ریاضی کے ہیں: البادی فی الحساب (حساب پر حیرت انگیز)، الفخری فی الجبر والمقابلہ (الجبرا پر شاندار)، اور الکافی فیل- hisab (حساب پر کافی)

الکراجی نے ریاضی اور انجینئرنگ پر لکھا۔ کچھ لوگ اسے محض دوسروں کے نظریات پر دوبارہ کام کرنے والے سمجھتے ہیں (وہ ڈیوفینٹس سے متاثر تھا) لیکن زیادہ تر اسے زیادہ اصل سمجھتے ہیں، خاص طور پر الجبرا کو جیومیٹری سے آزاد کرنے کے لیے۔ مورخین میں، ان کا سب سے زیادہ مطالعہ کیا جانے والا کام ان کی الجبرا کی کتاب الفخری فی الجبر و المقابلہ ہے، جو قرون وسطیٰ کے دور سے کم از کم چار نسخوں میں موجود ہے۔ الجبرا اور کثیر الثانیات پر اس کے کام نے کثیر الاضلاع کو جوڑنے، گھٹانے اور ضرب کرنے کے لیے ریاضی کی کارروائیوں کے اصول دیے۔ اگرچہ وہ کثیر الثانیات کو یک ناموں سے تقسیم کرنے تک محدود تھا۔

چینی ریاضی کا ہائی واٹر مارک 13ویں صدی میں سونگ خاندان (960–1279) کے آخری نصف کے دوران چینی الجبرا کی ترقی کے ساتھ ہوا۔ اس دور کا سب سے اہم متن Zhu Shijie (1249–1314) کی طرف سے چار عناصر کا قیمتی آئینہ ہے، جو ہارنر کے طریقہ کار سے ملتا جلتا طریقہ استعمال کرتے ہوئے بیک وقت اعلیٰ ترتیب والی الجبری مساوات کے حل سے نمٹتا ہے۔ ^{[] [70]} قیمتی آئینہ میں پاسکل کے مثلث کا ایک خاکہ بھی شامل ہے جس میں آٹھویں طاقت کے ذریعے binomial توسیع کے گتانک ہیں، حالانکہ دونوں چینی کاموں میں 1100 کے اوائل میں نظر آتے ہیں۔ جادوئی مربع اور جادوئی دائرے، قدیم زمانے میں بیان کیے گئے اور یانگ ہوئی (CE 1238–1298) کے ذریعے مکمل کیے گئے۔ ^[71]

Pascal's Triangle کی ڈرائنگ CE 1303 میں Zhu Shijie (CE 1260-1320) نے اپنے Si Yuan Yu Jian میں شائع کی۔ اسے ریاضی دان جیا ژیان اور یانگ ہوئی کے بعد چینیوں نے جیا ژیان مثلث یا یانگھوئی مثلث کہا۔

جاپانی ریاضی،کوریائی ریاضی، اور ویتنامی ریاضی کو روایتی طور پر چینی ریاضی سے پیدا ہونے والے اور کنفیوشس میں قائم مشرقی ایشیائی ثقافتی دائرے سے تعلق کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ ^[72] کوریائی اور جاپانی ریاضی چین کے سونگ خاندان کے دوران پیدا ہونے والے الجبری کاموں سے بہت زیادہ متاثر ہوئے، جب کہ ویتنامی ریاضی چین کے منگ خاندان (1368–1644) کے مشہور کاموں کا بہت زیادہ مقروض تھا۔ ^[73] مثال کے طور پر، اگرچہ ویتنامی ریاضی کے مقالے چینی یا مقامی ویتنامی Chữ Nôm رسم الخط میں لکھے گئے تھے، لیکن ان سب نے ان کے حل کے لیے الگورتھم کے ساتھ مسائل کا مجموعہ پیش کرنے کے چینی فارمیٹ کی پیروی کی، اس کے بعد عددی جوابات۔ ^[74] ویتنام اور کوریا میں ریاضی زیادہ تر ریاضی دانوں اور ماہرین فلکیات کی پیشہ ور عدالتی بیوروکریسی سے وابستہ تھی، جب کہ جاپان میں یہ نجی اسکولوں کے دائرے میں زیادہ رائج تھی۔ ^[75]

یورپیوں نے 10ویں صدی میں عربی ہندسوں کو سیکھا، حالانکہ ان کا پھیلاؤ ایک بتدریج عمل تھا۔ دو صدیوں بعد، الجزائر کے شہر بیجیا میں، اطالوی اسکالر فبونیکی نے سب سے پہلے ہندسوں کا سامنا کیا۔ ان کا کام انہیں پورے یورپ میں مشہور کرنے میں اہم تھا۔ یورپی تجارت، کتابیں، اور استعمار نے دنیا بھر میں عربی ہندسوں کو اپنانے کو مقبول بنانے میں مدد کی۔ ہندسوں کو دنیا بھر میں لاطینی حروف تہجی کے عصری پھیلاؤ سے باہر نمایاں طور پر استعمال پایا گیا ہے، اور یہ تحریری نظاموں میں عام ہو گئے ہیں جہاں پہلے دوسرے نمبری نظام موجود تھے، جیسے چینی اور جاپانی ہندسے۔ مغرب میں 1 سے 9 تک کے ہندسوں کا پہلا تذکرہ 976 کے Codex Vigilanus میں پایا جاتا ہے، یہ مختلف تاریخی دستاویزات کا ایک روشن مجموعہ ہے جو ہسپانیہ میں قدیم سے 10 ویں صدی تک کے عرصے پر محیط ہے۔ ^[68]

12ویں صدی میں، یورپی اسکالرز نے اسپین اور سسلی کا سفر کیا اور سائنسی عربی متون کی تلاش کی، جن میں الخوارزمی کی دی کمپینڈیش بک آن کیلکولیشن از کمپلیشن اینڈ بیلنسنگ، جس کا لاطینی میں ترجمہ رابرٹ آف چیسٹر نے کیا، اور یوکلڈ کے عناصر کا مکمل متن، جس کا مختلف زبانوں میں ترجمہ کیا گیا۔ ایڈیلارڈ آف باتھ، ہرمن آف کارنتھیا، اور کریمونا کے جیرارڈ کے ورژن۔ ^[95] ان اور دیگر نئے ذرائع نے ریاضی کی تجدید کو جنم دیا۔

پیسا کے لیونارڈو، جسے اب فبونیکی کے نام سے جانا جاتا ہے، نے اپنے تاجر والد کے ساتھ الجزائر کے اب بیجیا کے دورے پر ہندو-عربی ہندسوں کے بارے میں علم حاصل کیا۔ (یورپ اب بھی رومن ہندسوں کا استعمال کر رہا تھا۔) وہاں، اس نے ریاضی کے ایک نظام کا مشاہدہ کیا (خاص طور پر الگورزم) جو ہندو-عربی ہندسوں کی پوزیشنی اشارے کی وجہ سے بہت زیادہ موثر تھا اور تجارت میں بہت زیادہ سہولت فراہم کرتا تھا۔ اسے جلد ہی ہندو-عربی نظام کے بہت سے فوائد کا احساس ہو گیا، جو اس وقت استعمال ہونے والے رومن ہندسوں کے برعکس، جگہ کی قدر کے نظام کا استعمال کرتے ہوئے آسان حساب کتاب کی اجازت دیتا تھا۔ لیونارڈو نے 1202 میں لائبر اباسی لکھی (1254 میں اپ ڈیٹ) اس تکنیک کو یورپ میں متعارف کرایا اور اسے مقبول بنانے کے ایک طویل عرصے کا آغاز کیا۔ اس کتاب نے یورپ کو بھی لایا جسے اب فبونیکی ترتیب کے نام سے جانا جاتا ہے (اس سے پہلے سینکڑوں سال تک ہندوستانی ریاضی دانوں کے لیے جانا جاتا ہے) ^[96] جسے فبونیکی نے ایک غیر قابل ذکر مثال کے طور پر استعمال کیا۔

یونانی ریاضی دان آرکیمیڈیز نے ایک لامحدود سیریز کا پہلا معلوم خلاصہ ایک طریقہ کے ساتھ تیار کیا جو آج بھی کیلکولس کے علاقے میں استعمال ہوتا ہے۔ اس نے لامحدود سیریز کے مجموعے کے ساتھ پیرابولا کے قوس کے نیچے رقبہ کا حساب لگانے کے لیے تھکن کا طریقہ استعمال کیا، اور π کا قابل ذکر حد تک درست تخمینہ دیا۔ ^[86] کیرالہ کے اسکول نے لامحدود سیریز اور کیلکولس کے شعبوں میں متعدد شراکتیں کی ہیں۔

امکان کے جدید ریاضیاتی نظریہ کی جڑیں سولہویں صدی میں جیرولامو کارڈانو اور سترھویں صدی میں پیئر ڈی فرمیٹ اور بلیز پاسکل (مثال کے طور پر "پوائنٹس کا مسئلہ") کے گیمز آف چانس کا تجزیہ کرنے کی کوششوں میں ہیں۔ ^{[105] [کرسٹیان]} ہیوگینس نے 1657 میں اس موضوع پر ایک کتاب شائع کی تھی۔ ^[107]

ابتدائی طور پر، امکانی نظریہ بنیادی طور پر مجرد واقعات پر غور کرتا تھا، اور اس کے طریقے بنیادی طور پر مشترکہ تھے۔ بالآخر، تجزیاتی تحفظات نے نظریہ میں مسلسل متغیرات کو شامل کرنے پر مجبور کیا۔

اس کا اختتام جدید امکانی نظریہ پر ہوا، جو آندرے نکولاویچ کولموگوروف کی بنیادوں پر رکھی گئی تھی۔ کولموگوروف نے نمونے کی جگہ کے تصور کو ملایا، جسے رچرڈ وون مائز نے متعارف کرایا اور نظریہ پیمائش کی اور 1933 میں امکانی نظریہ کے لیے اپنا محوری نظام پیش کیا۔ یہ جدید امکانی نظریہ کے لیے زیادہ تر غیر متنازعہ محوری بنیاد بن گیا۔ لیکن، متبادل موجود ہیں، جیسے کہ برونو ڈی فائنیٹی کے ذریعہ قابل شمار اضافیت کے بجائے محدود کو اپنانا۔ ^[108]

17ویں صدی میں پورے یورپ میں ریاضیاتی اور سائنسی نظریات میں بے مثال اضافہ دیکھنے میں آیا۔ گلیلیو نے اس سیارے کے گرد مدار میں مشتری کے چاندوں کا مشاہدہ کیا، ہینس لیپرہی کی دوربین کا استعمال کرتے ہوئے ٹائیکو براے نے آسمان میں سیاروں کی پوزیشنوں کو بیان کرنے والے ریاضیاتی ڈیٹا کی ایک بڑی مقدار جمع کی تھی۔ Brahe کے معاون کے طور پر اپنی حیثیت سے، Johannes Kepler سب سے پہلے سیاروں کی حرکت کے موضوع کے سامنے آئے اور اس کے ساتھ سنجیدگی سے بات چیت کی۔ کیپلر کے حسابات کو جان نیپئر اور جوسٹ برگی کے لوگارتھمز کی ہم عصر ایجاد سے آسان بنایا گیا۔ کیپلر سیاروں کی حرکت کے ریاضیاتی قوانین وضع کرنے میں کامیاب ہوا۔ René Descartes (1596-1650) کے ذریعہ تیار کردہ تجزیاتی جیومیٹری نے ان مداروں کو گراف پر کارٹیشین کوآرڈینیٹ میں پلاٹ کرنے کی اجازت دی۔

Cartesian سے مراد فرانسیسی ریاضی دان اور فلسفی René Descartes ہے، جس نے یہ خیال 1637 میں اس وقت شائع کیا جب وہ نیدرلینڈ میں مقیم تھے۔ اسے آزادانہ طور پر پیئر ڈی فرمیٹ نے دریافت کیا، جس نے تین جہتوں میں بھی کام کیا، حالانکہ فرمیٹ نے اس دریافت کو شائع نہیں کیا۔ ^[109] فرانسیسی عالم نیکول اوریسمی نے ڈیکارٹس اور فرمیٹ کے زمانے سے پہلے کارٹیشین کوآرڈینیٹ سے ملتی جلتی تعمیرات کا استعمال کیا۔ ^[110]

Descartes اور Fermat دونوں نے اپنے علاج میں ایک ہی محور کا استعمال کیا اور اس محور کے حوالے سے متغیر لمبائی کی پیمائش کی۔ کلہاڑی کے جوڑے کے استعمال کا تصور بعد میں متعارف کرایا گیا، جب ڈیکارٹس کی لا جیومیٹری کا 1649 میں لاطینی میں ترجمہ فرانس وین شوٹن اور اس کے طلباء نے کیا۔ ان مبصرین نے ڈیکارٹس کے کام میں موجود نظریات کو واضح کرنے کی کوشش کرتے ہوئے کئی تصورات متعارف کرائے ہیں۔ ^[111]

آئزک نیوٹن اور گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز کی طرف سے کیلکولس کی ترقی میں کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم کی ترقی بنیادی کردار ادا کرے گی۔ ^[112] ہوائی جہاز کی دو مربوط وضاحت کو بعد میں ویکٹر اسپیس کے تصور میں عام کیا گیا۔ ^[113]

ڈیکارٹس کے بعد سے بہت سے دوسرے کوآرڈینیٹ سسٹمز تیار کیے گئے ہیں، جیسے ہوائی جہاز کے لیے قطبی نقاط، اور تین جہتی جگہ کے لیے کروی اور بیلناکار نقاط۔

کیلکولس مسلسل تبدیلی کا ریاضیاتی مطالعہ ہے، اسی طرح جیومیٹری شکل کا مطالعہ ہے، اور الجبرا ریاضی کی کارروائیوں کی عمومیت کا مطالعہ ہے۔ اس کی دو بڑی شاخیں ہیں، تفریق کیلکولس اور انٹیگرل کیلکولس؛ پہلے میں تبدیلی کی فوری شرحوں، اور منحنی خطوط کی ڈھلوانوں کا تعلق ہے، جب کہ مؤخر الذکر مقداروں کے جمع ہونے، اور منحنی خطوط کے نیچے یا درمیان کے علاقوں سے متعلق ہے۔ یہ دونوں شاخیں کیلکولس کے بنیادی تھیوریم کے ذریعہ ایک دوسرے سے متعلق ہیں، اور وہ لامحدود ترتیبوں اور لامحدود سلسلے کے ہم آہنگی کے بنیادی تصورات کو ایک اچھی طرح سے متعین حد تک استعمال کرتے ہیں۔ ^[97]

لامحدود کیلکولس 17 ویں صدی کے آخر میں آئزک نیوٹن اور گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز نے آزادانہ طور پر تیار کیا تھا۔ ^[98] بعد میں کام، بشمول حدود کے خیال کو کوڈفائی کرنا، ان پیشرفتوں کو ایک زیادہ ٹھوس تصوراتی بنیادوں پر رکھتا ہے۔ آج، کیلکولس سائنس، انجینئرنگ، اور سماجی سائنس میں وسیع پیمانے پر استعمال ہوتا ہے۔

آئزک نیوٹن نے اپنے قوانین حرکت اور عالمگیر کشش ثقل میں کیلکولس کا استعمال تیار کیا۔

ان خیالات کو گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز نے انفینٹیسیملز کے حقیقی حساب کتاب میں ترتیب دیا تھا، جس پر نیوٹن نے اصل میں سرقہ کا الزام لگایا تھا۔ اب اسے کیلکولس کا ایک آزاد موجد اور معاون سمجھا جاتا ہے۔ اس کا تعاون لامحدود مقداروں کے ساتھ کام کرنے کے لیے قواعد کا ایک واضح سیٹ فراہم کرنا تھا، جس سے دوسرے اور اعلیٰ مشتقات کی گنتی کی اجازت دی جائے، اور مصنوعات کے اصول اور سلسلہ اصول کو ان کی تفریق اور لازمی شکلوں میں فراہم کیا جائے۔ نیوٹن کے برعکس، لائبنز نے اپنے اشارے کے انتخاب میں بڑی محنت کی۔ ^[99]

نیوٹن پہلا شخص تھا جس نے عام طبیعیات پر کیلکولس کا اطلاق کیا تھا اور لیبنز نے آج کل کیلکولس میں استعمال ہونے والے زیادہ تر اشارے تیار کیے تھے۔ بنیادی بصیرتیں جو نیوٹن اور لیبنز ^[دونوں] نے فراہم کی ہیں وہ تفریق اور انضمام کے قوانین تھے، اس بات پر زور دیتے ہوئے کہ تفریق اور انضمام الٹا عمل، دوسرے اور اعلیٰ مشتقات، اور ایک تقریباً کثیر الثانی سیریز کا تصور ہے۔

ریاضی میں، گراف تھیوری گراف کا مطالعہ ہے، جو کہ ریاضیاتی ڈھانچے ہیں جو اشیاء کے درمیان جوڑے کی طرح تعلقات کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ اس تناظر میں ایک گراف عمودی (جسے نوڈس یا پوائنٹس بھی کہا جاتا ہے) سے بنا ہوتا ہے جو کناروں سے جڑے ہوتے ہیں (جسے لنکس یا لائنیں بھی کہا جاتا ہے)۔ غیر ڈائریکٹڈ گرافس کے درمیان فرق کیا جاتا ہے، جہاں کنارے دو عمودیوں کو ہم آہنگی سے جوڑتے ہیں، اور ڈائریکٹڈ گرافس، جہاں کنارے دو چوٹیوں کو غیر متناسب طور پر جوڑتے ہیں۔ گرافس مجرد ریاضی میں مطالعہ کی بنیادی چیزوں میں سے ایک ہیں۔

لیونہارڈ اولر کی طرف سے Königsberg کے سات پلوں پر لکھا گیا اور 1736 میں شائع ہونے والا مقالہ گراف تھیوری کی تاریخ کا پہلا مقالہ مانا جاتا ہے۔ ^[114] اس مقالے کے ساتھ ساتھ ونڈرمونڈ کی طرف سے نائٹ کے مسئلے پر لکھا گیا، لیبنز کی طرف سے شروع کردہ تجزیہ کی صورتحال کے ساتھ جاری رہا۔ ایک محدب پولی ہیڈرون کے کناروں، چوٹیوں اور چہروں کی تعداد سے متعلق یولر کا فارمولہ کاچی ^[115] اور L'Huilier، ^[116] کے ذریعہ مطالعہ اور عام کیا گیا تھا اور یہ ریاضی کی شاخ کے آغاز کی نمائندگی کرتا ہے جسے ٹوپولوجی کہا جاتا ہے۔

اعداد و شمار میں، ایک عام تقسیم یا Gaussian تقسیم ایک حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیر کے لیے مسلسل امکانی تقسیم کی ایک قسم ہے۔ عام تقسیم اعداد و شمار میں اہم ہیں اور اکثر قدرتی اور سماجی علوم میں حقیقی قدر والے بے ترتیب متغیرات کی نمائندگی کے لیے استعمال ہوتے ہیں جن کی تقسیم معلوم نہیں ہوتی۔ ^[124] ان کی اہمیت جزوی طور پر مرکزی حد نظریہ کی وجہ سے ہے۔ یہ بتاتا ہے کہ، کچھ شرائط کے تحت، محدود وسط اور تغیر کے ساتھ بے ترتیب متغیر کے بہت سے نمونوں (مشاہدات) کی اوسط بذات خود ایک بے ترتیب متغیر ہے — جس کی تقسیم نمونوں کی تعداد میں اضافے کے ساتھ ایک عام تقسیم میں بدل جاتی ہے۔ لہذا، جسمانی مقداریں جن کی توقع کی جاتی ہے کہ بہت سے آزاد عملوں کا مجموعہ ہے، جیسے پیمائش کی غلطیاں، اکثر ایسی تقسیم ہوتی ہیں جو تقریباً نارمل ہوتی ہیں۔ ^[125] کچھ مصنفین ^[126] عام تقسیم کی دریافت کا سہرا ڈی موویرے کو دیتے ہیں، جنہوں نے 1738 میں اپنے "امکانات کا نظریہ" کے دوسرے ایڈیشن میں (a) کے دو نامی توسیع میں قابلیت کا مطالعہ شائع کیا۔ + b) n

Euler کا فارمولا، جس کا نام Leonhard Euler کے نام پر رکھا گیا ہے، پیچیدہ تجزیہ میں ایک ریاضیاتی فارمولہ ہے جو مثلثیاتی افعال اور پیچیدہ ایکسپونینشل فنکشن کے درمیان بنیادی تعلق قائم کرتا ہے۔ یولر کا فارمولہ ریاضی، طبیعیات، کیمسٹری اور انجینئرنگ میں ہر جگہ موجود ہے۔ ماہر طبیعیات رچرڈ فین مین نے مساوات کو "ہمارا زیور" اور "ریاضی کا سب سے قابل ذکر فارمولا" کہا۔ جب x = π، Euler کے فارمولے کو eiπ + 1 = 0 یا eiπ = -1 کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے، جسے Euler کی شناخت کہا جاتا ہے۔

Euler کا فارمولا پیچیدہ جہاز میں دکھایا گیا ہے۔

امکانی نظریہ اور شماریات میں، Bayes کا نظریہ (متبادل طور پر Bayes کا قانون یا Bayes کا قاعدہ)، جسے تھامس Bayes کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، کسی واقعے کے امکان کو بیان کرتا ہے، جو کہ اس واقعے سے متعلق حالات کی پیشگی معلومات کی بنیاد پر۔ ^[122] مثال کے طور پر، اگر عمر کے ساتھ صحت کے مسائل پیدا ہونے کا خطرہ جانا جاتا ہے تو، Bayes کا نظریہ ایک معلوم عمر کے فرد کے خطرے کو اس کی عمر کے لحاظ سے کنڈیشنگ کر کے زیادہ درست طریقے سے جانچنے کی اجازت دیتا ہے، بجائے اس کے کہ محض فرض کر لیا جائے۔ کہ فرد مجموعی طور پر آبادی کا مخصوص ہے۔

امکانی نظریہ اور شماریات میں، Bayes کا نظریہ (متبادل طور پر Bayes کا قانون یا Bayes کا قاعدہ)، جسے تھامس Bayes کے نام سے موسوم کیا گیا ہے، کسی واقعے کے امکان کو بیان کرتا ہے، جو کہ اس واقعے سے متعلق حالات کی پیشگی معلومات کی بنیاد پر۔ ^[122] مثال کے طور پر، اگر عمر کے ساتھ صحت کے مسائل پیدا ہونے کا خطرہ جانا جاتا ہے تو، Bayes کا نظریہ ایک معلوم عمر کے فرد کے خطرے کو اس کی عمر کے لحاظ سے کنڈیشنگ کر کے زیادہ درست طریقے سے جانچنے کی اجازت دیتا ہے، بجائے اس کے کہ محض فرض کر لیا جائے۔ کہ فرد مجموعی طور پر آبادی کا مخصوص ہے۔

طبیعیات اور برقی مقناطیسیت میں، گاس کا قانون، جسے گاس کا فلوکس تھیورم بھی کہا جاتا ہے، (یا بعض اوقات اسے گاس کا تھیوریم بھی کہا جاتا ہے) ایک قانون ہے جو برقی چارج کی تقسیم کے نتیجے میں برقی میدان سے متعلق ہے۔ اپنی اٹوٹ شکل میں، یہ بتاتا ہے کہ ایک من مانی بند سطح سے برقی میدان کا بہاؤ سطح سے منسلک برقی چارج کے متناسب ہے، قطع نظر اس کے کہ یہ چارج کیسے تقسیم کیا گیا ہے۔ اگرچہ کسی بھی چارج کی تقسیم کو گھیرنے والی سطح پر برقی فیلڈ کا تعین کرنے کے لیے اکیلے قانون ہی ناکافی ہے، لیکن یہ ان صورتوں میں ممکن ہو سکتا ہے جہاں ہم آہنگی فیلڈ کی یکسانیت کو لازمی قرار دیتی ہے۔ جہاں ایسی کوئی ہم آہنگی موجود نہیں ہے، گاؤس کے قانون کو اس کی تفریق شکل میں استعمال کیا جا سکتا ہے، جو کہتا ہے کہ برقی میدان کا انحراف چارج کی مقامی کثافت کے متناسب ہے۔

یہ قانون سب سے پہلے ^[101] جوزف لوئس لاگرینج نے 1773 میں وضع کیا تھا، ^[102] اس کے بعد 1835 میں کارل فریڈرک گاس نے بنایا تھا، ^[103] دونوں بیضوی شکلوں کی کشش کے تناظر میں۔ یہ میکسویل کی مساوات میں سے ایک ہے، جو کلاسیکی برقی حرکیات کی بنیاد بناتی ہے۔ گاؤس کا قانون کولمب کے قانون کو اخذ کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، ^[104] اور اس کے برعکس۔

تجریدی الجبرا میں، گروپ تھیوری الجبری ڈھانچے کا مطالعہ کرتی ہے جسے گروپ کہا جاتا ہے۔ تجریدی الجبرا کے لیے ایک گروپ کا تصور مرکزی حیثیت رکھتا ہے: دیگر معروف الجبری ڈھانچے، جیسے حلقے، فیلڈز، اور ویکٹر اسپیس، سبھی کو اضافی کارروائیوں اور محوروں کے حامل گروپوں کے طور پر دیکھا جا سکتا ہے۔ پورے ریاضی میں گروہوں کی تکرار ہوتی ہے، اور گروپ تھیوری کے طریقوں نے الجبرا کے بہت سے حصوں کو متاثر کیا ہے۔ لکیری الجبری گروپس اور لائ گروپس گروپ تھیوری کی دو شاخیں ہیں جنہوں نے ترقی کا تجربہ کیا ہے اور وہ اپنے طور پر موضوعی علاقے بن گئے ہیں۔

گروپ تھیوری کی ابتدائی تاریخ 19ویں صدی سے ہے۔ 20 ویں صدی کی سب سے اہم ریاضیاتی کامیابیوں میں سے ایک مشترکہ کوشش تھی، جس میں 10,000 سے زیادہ جریدے کے صفحات تھے اور زیادہ تر 1960 اور 2004 کے درمیان شائع ہوئے تھے، جو محدود سادہ گروپوں کی مکمل درجہ بندی پر منتج ہوا۔

ریاضی میں، فوئیر تجزیہ اس طریقہ کا مطالعہ ہے جس طرح سے عام افعال کی نمائندگی کی جا سکتی ہے یا آسان ترگونومیٹرک افعال کے مجموعوں سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ فوئیر تجزیہ فوئیر سیریز کے مطالعہ سے پروان چڑھا، اور اس کا نام جوزف فوئیر کے نام پر رکھا گیا، جس نے ظاہر کیا کہ مثلثی افعال کے مجموعے کے طور پر کسی فنکشن کی نمائندگی کرنا حرارت کی منتقلی کے مطالعہ کو بہت آسان بناتا ہے۔

فوئیر تجزیہ کا موضوع ریاضی کے ایک وسیع میدان کو گھیرے ہوئے ہے۔ سائنس اور انجینئرنگ میں، کسی فنکشن کو دوغلی اجزاء میں تحلیل کرنے کے عمل کو اکثر فوئیر تجزیہ کہا جاتا ہے، جبکہ ان ٹکڑوں سے فنکشن کو دوبارہ بنانے کے عمل کو فوئیر سنتھیسس کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اس بات کا تعین کرنے میں کہ میوزیکل نوٹ میں کون سے اجزاء کی فریکوئنسی موجود ہے، ایک نمونے والے میوزیکل نوٹ کے فوئیر ٹرانسفارم کو کمپیوٹنگ کرنا شامل ہے۔ اس کے بعد کوئی بھی فریکوئنسی اجزاء کو شامل کرکے اسی آواز کو دوبارہ ترکیب کرسکتا ہے جیسا کہ فوئیر تجزیہ میں ظاہر کیا گیا ہے۔ ریاضی میں، Forier analysis کی اصطلاح اکثر دونوں کارروائیوں کا مطالعہ کرتی ہے۔

گلنے کے عمل کو بذات خود فوئیر ٹرانسفارمیشن کہا جاتا ہے۔ اس کے آؤٹ پٹ، فوئیر ٹرانسفارم کو اکثر زیادہ مخصوص نام دیا جاتا ہے، جس کا انحصار ڈومین اور فنکشن کی دیگر خصوصیات پر ہوتا ہے جو تبدیل ہو رہی ہے۔ مزید برآں، فوئیر تجزیہ کے اصل تصور کو زیادہ سے زیادہ تجریدی اور عمومی حالات پر لاگو کرنے کے لیے وقت کے ساتھ بڑھایا گیا ہے، اور عام فیلڈ کو اکثر ہارمونک تجزیہ کے نام سے جانا جاتا ہے۔ تجزیہ کے لیے استعمال ہونے والے ہر ٹرانسفارم میں (فورئیر سے متعلقہ ٹرانسفارمز کی فہرست دیکھیں) میں متعلقہ الٹا ٹرانسفارم ہوتا ہے جسے ترکیب کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔

میکسویل کی مساوات، یا میکسویل–ہیوی سائیڈ مساوات، جوڑے ہوئے جزوی تفریق مساوات کا ایک مجموعہ ہیں جو لورینٹز فورس قانون کے ساتھ مل کر، کلاسیکی برقی مقناطیسیت، کلاسیکی آپٹکس، اور برقی سرکٹس کی بنیاد بناتے ہیں۔ مساوات الیکٹرک، آپٹیکل، اور ریڈیو ٹیکنالوجیز کے لیے ایک ریاضیاتی ماڈل فراہم کرتی ہیں، جیسے کہ پاور جنریشن، الیکٹرک موٹرز، وائرلیس کمیونیکیشن، لینز، ریڈار وغیرہ۔ کھیتوں مساوات کا نام طبیعیات دان اور ریاضی دان جیمز کلرک میکسویل کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے 1861 اور 1862 میں مساوات کی ابتدائی شکل شائع کی جس میں لورینٹز فورس قانون شامل تھا۔ میکسویل نے سب سے پہلے مساوات کا استعمال کرتے ہوئے یہ تجویز کیا کہ روشنی ایک برقی مقناطیسی رجحان ہے۔ ان کی سب سے عام تشکیل میں مساوات کی جدید شکل کا سہرا اولیور ہیوی سائیڈ کو دیا جاتا ہے۔

مساوات کی دو بڑی قسمیں ہیں۔ خوردبینی مساواتیں عالمگیر قابل اطلاق ہوتی ہیں لیکن عام حساب کے لیے یہ ناقابل عمل ہیں۔ وہ الیکٹرک اور میگنیٹک فیلڈز کو کل چارج اور کل کرنٹ سے جوڑتے ہیں، بشمول ایٹم پیمانہ پر مواد میں پیچیدہ چارجز اور کرنٹ۔ میکروسکوپک مساوات دو نئے معاون فیلڈز کی وضاحت کرتی ہیں جو ایٹم پیمانہ چارجز اور سپنز جیسے کوانٹم مظاہر پر غور کیے بغیر مادے کے بڑے پیمانے پر رویے کو بیان کرتی ہیں۔ تاہم، ان کے استعمال کے لیے مواد کے برقی مقناطیسی ردعمل کی غیر معمولی وضاحت کے لیے تجرباتی طور پر طے شدہ پیرامیٹرز کی ضرورت ہوتی ہے۔ اصطلاح "میکسویل کی مساوات" اکثر مساوی متبادل فارمولیشنز کے لیے بھی استعمال ہوتی ہے۔ برقی اور مقناطیسی اسکیلر پوٹینشل پر مبنی میکسویل کی مساواتوں کے ورژن کو باؤنڈری ویلیو کے مسئلے، تجزیاتی میکانکس، یا کوانٹم میکانکس میں استعمال کے لیے واضح طور پر مساوات کو حل کرنے کے لیے ترجیح دی جاتی ہے۔ کوویرینٹ فارمولیشن (اسپیس ٹائم پر الگ الگ جگہ اور وقت کے بجائے) میکسویل کی اسپیشل ریلیٹیویٹی کے ساتھ مساوات کی مطابقت کو ظاہر کرتی ہے۔ مڑے ہوئے اسپیس ٹائم میں میکسویل کی مساواتیں، جو عام طور پر اعلی توانائی اور کشش ثقل کی طبیعیات میں استعمال ہوتی ہیں، عمومی اضافیت کے ساتھ مطابقت رکھتی ہیں۔ درحقیقت، البرٹ آئن سٹائن نے روشنی کی متغیر رفتار کو ایڈجسٹ کرنے کے لیے خصوصی اور عمومی اضافیت تیار کی، جو میکسویل کی مساوات کا نتیجہ ہے، اس اصول کے ساتھ کہ صرف رشتہ دار حرکت کے جسمانی نتائج ہوتے ہیں۔

مساوات کی اشاعت نے پہلے الگ الگ بیان کیے گئے مظاہر کے لیے ایک نظریہ کے اتحاد کو نشان زد کیا: مقناطیسیت، بجلی، روشنی، اور متعلقہ تابکاری۔ 20ویں صدی کے وسط سے، یہ سمجھا گیا ہے کہ میکسویل کی مساوات برقی مقناطیسی مظاہر کی قطعی وضاحت نہیں کرتی ہیں، بلکہ یہ کوانٹم الیکٹروڈائنامکس کے زیادہ درست نظریہ کی کلاسیکی حد ہیں۔

سیٹ تھیوری ریاضیاتی منطق کی شاخ ہے جو سیٹوں کا مطالعہ کرتی ہے، جسے غیر رسمی طور پر اشیاء کے مجموعے کے طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ اگرچہ کسی بھی قسم کی اشیاء کو ایک سیٹ میں جمع کیا جا سکتا ہے، لیکن سیٹ تھیوری، ریاضی کی ایک شاخ کے طور پر، زیادہ تر ان چیزوں سے متعلق ہے جو مجموعی طور پر ریاضی سے متعلق ہیں۔

سیٹ تھیوری کا جدید مطالعہ 1870 کی دہائی میں جرمن ریاضی دانوں رچرڈ ڈیڈکائنڈ اور جارج کینٹر نے شروع کیا تھا۔ خاص طور پر، Georg Cantor کو عام طور پر سیٹ تھیوری کا بانی سمجھا جاتا ہے۔ اس ابتدائی مرحلے کے دوران جن غیر رسمی نظاموں کی چھان بین کی گئی ہے وہ بولی سیٹ تھیوری کے نام سے چلی جاتی ہے۔ بے ہودہ سیٹ تھیوری کے اندر تضادات کی دریافت کے بعد (جیسے رسل کا پیراڈاکس، کینٹر کا پیراڈاکس اور برالی فورٹی پیراڈاکس)، بیسویں صدی کے اوائل میں مختلف محوری نظام تجویز کیے گئے، جن میں سے Zermelo–Fraenkel سیٹ تھیوری (محور کے ساتھ یا اس کے بغیر)۔ انتخاب) اب بھی سب سے مشہور اور سب سے زیادہ مطالعہ کیا جاتا ہے۔

سیٹ تھیوری کو عام طور پر پورے ریاضی کے لیے ایک بنیادی نظام کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے، خاص طور پر انتخاب کے محور کے ساتھ Zermelo–Fraenkel سیٹ تھیوری کی شکل میں۔ اس کے بنیادی کردار کے علاوہ، سیٹ تھیوری لامحدودیت کے ریاضیاتی تھیوری کو تیار کرنے کے لیے فریم ورک بھی فراہم کرتی ہے، اور کمپیوٹر سائنس میں مختلف ایپلی کیشنز رکھتی ہے (جیسے کہ تھیوری آف ریلیشنل الجبرا)، فلسفہ اور رسمی سیمنٹکس۔ اس کی بنیادی اپیل، اس کے تضادات، لامحدودیت کے تصور کے لیے اس کے مضمرات اور اس کے متعدد اطلاقات کے ساتھ، سیٹ تھیوری کو منطق دانوں اور ریاضی کے فلسفیوں کے لیے ایک اہم دلچسپی کا علاقہ بنا دیا ہے۔ سیٹ تھیوری میں عصری تحقیق موضوعات کی ایک وسیع صف کا احاطہ کرتی ہے، جس میں اصلی نمبر لائن کی ساخت سے لے کر بڑے کارڈنلز کی مستقل مزاجی کے مطالعہ تک شامل ہیں۔

گیم تھیوری عقلی ایجنٹوں کے درمیان اسٹریٹجک تعامل کے ریاضیاتی ماڈلز کا مطالعہ ہے۔ ^[117] اس میں سماجی سائنس کے تمام شعبوں کے ساتھ ساتھ منطق، نظام سائنس اور کمپیوٹر سائنس میں درخواستیں ہیں۔ گیم تھیوری کے تصورات کو معاشیات میں بھی بڑے پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے۔ ^[118] گیم تھیوری کے روایتی طریقوں نے دو افراد پر مشتمل صفر کے حساب سے گیمز کو ایڈریس کیا، جس میں ہر شریک کا فائدہ یا نقصان دوسرے شرکاء کے نقصانات اور فوائد سے بالکل متوازن ہوتا ہے۔ 21ویں صدی میں، جدید گیم تھیوریز رویے کے تعلقات کی ایک وسیع رینج پر لاگو ہوتی ہیں۔ یہ اب انسانوں، جانوروں اور کمپیوٹرز میں منطقی فیصلہ سازی کی سائنس کے لیے ایک چھتری کی اصطلاح ہے۔

گیم تھیوری ایک منفرد فیلڈ کے طور پر اس وقت تک موجود نہیں تھی جب تک کہ جان وان نیومن نے ^[1928] میں تھیوری آف گیمز آف اسٹریٹجی پر پیپر شائع نہ کیا۔ گیم تھیوری اور ریاضیاتی معاشیات میں معیاری طریقہ۔ اس کے مقالے کے بعد ان کی 1944 کی کتاب تھیوری آف گیمز اینڈ اکنامک بیہیوئیر نے آسکر مورگنسٹرن کے ساتھ مل کر لکھا تھا۔ ^[120] اس کتاب کے دوسرے ایڈیشن نے افادیت کا ایک محوری نظریہ فراہم کیا، جس نے ڈینیئل برنولی کے پرانے نظریہ افادیت (پیسے کے) کو ایک آزاد نظم و ضبط کے طور پر دوبارہ جنم دیا۔ گیم تھیوری میں وان نیومن کا کام 1944 کی اس کتاب میں اختتام پذیر ہوا۔ اس بنیادی کام میں دو افراد کے زیرو سم گیمز کے لیے باہمی طور پر مستقل حل تلاش کرنے کا طریقہ شامل ہے۔ اس کے بعد کا کام بنیادی طور پر کوآپریٹو گیم تھیوری پر مرکوز تھا، جو افراد کے گروپوں کے لیے بہترین حکمت عملیوں کا تجزیہ کرتا ہے، یہ خیال کرتے ہوئے کہ وہ مناسب حکمت عملیوں کے بارے میں ان کے درمیان معاہدوں کو نافذ کر سکتے ہیں۔ ^[121]