Matematicaegipteană antică a fost dezvoltată și folosită în Egiptul Antic c. 3000 până la c. 300 î.Hr., din Vechiul Regat al Egiptului până la începutul Egiptului elenistic. Vechii egipteni utilizau un sistem numeric pentru numărarea și rezolvarea problemelor matematice scrise, implicând adesea înmulțiri și fracții. Dovezile pentru matematica egipteană sunt limitate la o cantitate redusă de surse supraviețuitoare scrise pe papirus. Din aceste texte se știe că egiptenii antici au înțeles concepte de geometrie, cum ar fi determinarea suprafeței și volumului formelor tridimensionale utile pentru ingineria arhitecturală, și algebra, cum ar fi metoda poziției false și ecuațiile pătratice.

Stela din plăci a prințesei Neferetiabet din Vechiul Regat (datată 2590–2565 î.Hr.) din mormântul ei de la Giza, pictură pe calcar.

Dovezile scrise ale utilizării matematicii datează din cel puțin 3200 î.Hr. cu etichetele de fildeș găsite în Mormântul Uj de la Abydos. Aceste etichete par să fi fost folosite ca etichete pentru bunuri funerare, iar unele sunt inscripționate cu numere. ^[18] Alte dovezi ale utilizării sistemului de numere de bază 10 pot fi găsite pe Narmer Macehead, care prezintă ofrande de 400.000 de boi, 1.422.000 de capre și 120.000 de prizonieri. ^[19] Dovezile arheologice au sugerat că sistemul de numărare al Egiptului Antic își are originile în Africa Subsahariană. ^[20] De asemenea, modelele de geometrie fractală care sunt larg răspândite în culturile africane sub-sahariane se găsesc și în arhitectura egipteană și în semnele cosmologice. ^[20]

Papirus matematic Rhind

Cele mai vechi documente matematice adevărate datează din dinastia a XII-a (c. 1990–1800 î.Hr.). Papirusul matematic din Moscova, ruloul egiptean din piele matematică, papirusul matematic Lahun care fac parte din colecția mult mai mare de papirus Kahun și papirusul Berlin 6619 datează toate din această perioadă. Papirusul matematic Rhind, care datează din a doua perioadă intermediară (c. 1650 î.Hr.) se spune că se bazează pe un text matematic mai vechi din dinastia a XII-a. ^[22]

Vechii sumerieni din Mesopotamia au dezvoltat un sistem complex de metrologie din 3000 î.Hr. Din anul 2600 î.Hr., sumerienii au scris tabele de înmulțire pe tăblițe de lut și s-au ocupat de exerciții geometrice și probleme de împărțire. Din această perioadă datează și cele mai vechi urme ale cifrelor babiloniene. ^[9]

Abacul (plural abaci sau abaci), numit și cadru de numărare, este un instrument de calcul care a fost folosit din cele mai vechi timpuri. A fost folosită în Orientul Apropiat antic, Europa,China și Rusia, cu milenii înainte de adoptarea sistemului de cifre hindu-arabe. ^[127] Originea exactă a abacului nu a apărut încă. Se compune din rânduri de margele mobile sau obiecte similare, înșirate pe un fir. Ele reprezintă cifre. Unul dintre cele două numere este configurat, iar margelele sunt manipulate pentru a efectua o operație precum adunarea sau chiar o rădăcină pătrată sau cubică. Abacul sumerian a apărut între 2700 și 2300 î.Hr. Conținea un tabel de coloane succesive care delimitau ordinele succesive de mărime ale sistemului lor de numere sexagesimal (bază 60). ^[128]

Matematica babiloniană a fost scrisă folosind un sistem numeric sexagesimal (în bază 60). ^[12] Din aceasta derivă utilizarea în zilele noastre a 60 de secunde într-un minut, 60 de minute într-o oră și 360 (60 × 6) de grade într-un cerc, precum și utilizarea secundelor și minutelor de arc pentru a desemna fracții de o diplomă. Este probabil că sistemul sexagesimal a fost ales deoarece 60 poate fi împărțit egal la 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 și 30. ^[12] De asemenea, spre deosebire deegipteni , greci și romani, Babilonienii aveau un sistem de valori ale locului, în care cifrele scrise în coloana din stânga reprezentau valori mai mari, la fel ca în sistemul zecimal. ^[13] Puterea sistemului de notație babilonian constă în faptul că putea fi folosit pentru a reprezenta fracții la fel de ușor ca numerele întregi; astfel, înmulțirea a două numere care conțineau fracții nu era diferită de înmulțirea numerelor întregi, similar cu notația modernă. ^[13] Sistemul de notație al babilonienilor a fost cel mai bun dintre orice civilizație până la Renaștere, ^[14] iar puterea sa i-a permis să obțină o acuratețe de calcul remarcabilă; de exemplu, tăblița babiloniană YBC 7289 oferă o aproximare de √2 exactă cu cinci zecimale. ^[14] Babilonienilor le lipsea, totuși, un echivalent al virgulei zecimale, și astfel valoarea locului unui simbol trebuia adesea dedusă din context. ^[13] Până în perioada seleucidă , babilonienii dezvoltaseră un simbol zero ca substituent pentru pozițiile goale; cu toate acestea a fost folosit doar pentru poziții intermediare. ^[13] Acest semn zero nu apare în pozițiile terminale, astfel babilonienii s-au apropiat, dar nu au dezvoltat un adevărat sistem de valori ale locului. ^[13]

Tableta de lut babilonian YBC 7289 cu adnotări. Diagonala afișează o aproximare a rădăcinii pătrate a lui 2 în patru cifre sexagesimale, 1 24 51 10, ceea ce este bun la aproximativ șase cifre zecimale.

Alte subiecte acoperite de matematica babiloniană includ fracțiile, algebra, ecuațiile pătratice și cubice și calculul numerelor regulate și perechile lor reciproce. ^[15] Tabletele includ, de asemenea, tabele de înmulțire și metode de rezolvare a ecuațiilor liniare, pătratice și a ecuațiilor cubice, o realizare remarcabilă pentru epocă. ^[16] Tăblițele din perioada veche babiloniană conțin, de asemenea, cea mai veche afirmație cunoscută a teoremei lui Pitagora. ^[17] Cu toate acestea, ca și în cazul matematicii egiptene, matematica babiloniană nu arată nicio conștientizare a diferenței dintre soluțiile exacte și cele aproximative, sau solubilitatea unei probleme și, cel mai important, nicio declarație explicită a necesității de demonstrații sau principii logice. ^[13]

Ei au folosit, de asemenea, o formă de analiză Fourier pentru a calcula o efemeridă (tabel de poziții astronomice), care a fost descoperită în anii 1950 de Otto Neugebauer. ^[11] Pentru a face calcule ale mișcărilor corpurilor cerești, babilonienii au folosit aritmetica de bază și un sistem de coordonate bazat pe ecliptică, partea de cer prin care călătoresc soarele și planetele.

Se presupune că matematica greacă a început cu Thales din Milet (c. 624–548 î.Hr.). Se cunosc foarte puține lucruri despre viața lui, deși este în general de acord că el a fost unul dintre cei șapte magi ai Greciei. Potrivit lui Proclu, a călătorit în Babilon de unde a învățat matematică și alte materii, venind cu dovezi a ceea ce se numește acum Teorema lui Thales. ^[23]

Teorema lui Thales: dacă AC este un diametru și B este un punct pe cercul diametrului, unghiul ∠ ABC este un unghi drept. @ Sarcină inductivă

Thales a folosit geometria pentru a rezolva probleme precum calcularea înălțimii piramidelor și a distanței navelor de la țărm. El este creditat cu prima utilizare a raționamentului deductiv aplicat geometriei, prin derivarea a patru corolare ale teoremei lui Thales. Drept urmare, el a fost salutat ca fiind primul matematician adevărat și primul individ cunoscut căruia i-a fost atribuită o descoperire matematică. ^[30]

O figură la fel de enigmatică este Pitagora din Samos (c. 580–500 î.Hr.), care se presupune că a vizitatEgiptul și Babilonul ^[24] și, în cele din urmă, s-a stabilit în Croton, Magna Grecia, unde a început un fel de frăție. Se presupune că pitagoreenii credeau că „totul este număr” și erau dornici să caute relații matematice între numere și lucruri. ^[25] Pitagora însuși a primit credit pentru multe descoperiri ulterioare, inclusiv pentru construcția celor cinci solide regulate.

Aproape jumătate din materialul din Elementele lui Euclid este atribuit în mod obișnuit pitagoreenilor, inclusiv descoperirea iraționalelor, atribuită lui Hippasus (c. 530–450 î.Hr.) și Theodorus (fl. 450 î.Hr.). ^[26] Pitagorei au fost cei care au inventat termenul „matematică” și cu care începe studiul matematicii de dragul ei. Cel mai mare matematician asociat cu grupul, totuși, ar fi putut fi Archytas (c. 435-360 î.Hr.), care a rezolvat problema dublării cubului, a identificat media armonică și, eventual, a contribuit la optică și mecanică. ^[26] Alți matematicieni activi în această perioadă, care nu sunt pe deplin afiliați la nicio școală, includ Hipocrate din Chios (c. 470-410 î.Hr.), Theaetetus (c. 417-369 î.Hr.) și Eudoxus (c. 408-355 î.Hr.) .

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită unui pitagoreean (posibil Hippasus din Metapontum), ^[39] care probabil le-a descoperit în timp ce identifica laturile pentagramei. ^[40] Metoda pitagoreică actuală ar fi susținut că trebuie să existe o unitate suficient de mică, indivizibilă, care să se potrivească uniform într-una dintre aceste lungimi, precum și în cealaltă. Hippasus, în secolul al V-lea î.Hr., a reușit însă să deducă că de fapt nu exista o unitate de măsură comună și că afirmarea unei astfel de existențe era de fapt o contradicție.

Matematicienii greci au numit acest raport de mărimi incomensurabile alogos sau inexprimabil. Hippasus, însă, nu a fost lăudat pentru eforturile sale: conform unei legende, el și-a făcut descoperirea în timp ce se afla pe mare și, ulterior, a fost aruncat peste bord de tovarășii săi pitagoreici „pentru că a produs un element în univers care a negat... doctrina. că toate fenomenele din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele acestora.' ^[41] Oricare ar fi consecința pentru Hippasus însuși, descoperirea sa a pus o problemă foarte serioasă matematicii pitagoreice, deoarece a spulberat presupunerea că numărul și geometria sunt inseparabile – un fundament al teoriei lor.

Platon este important în istoria matematicii pentru inspirarea și ghidarea altora. ^[31] Academia sa platoniciană, din Atena, a devenit centrul matematic al lumii în secolul al IV-lea î.Hr. și din această școală au venit matematicienii de seamă ai vremii, precum Eudoxus din Cnidus. ^[32] Platon a discutat, de asemenea, fundamentele matematicii, ^[33] a clarificat unele dintre definiții (de exemplu, cea a unei linii ca „lungime fără lățime”) și a reorganizat ipotezele. ^[34] Metoda analitică este atribuită lui Platon, în timp ce o formulă pentru obținerea triplelor pitagoreice îi poartă numele. ^[32]

Cea mai veche lucrare existentă despre geometrie înChina provine din canonul filosofic mohist c. 330 î.Hr., compilat de adepții lui Mozi (470–390 î.Hr.). Mo Jing a descris diverse aspecte ale multor domenii asociate cu știința fizică și a furnizat și un număr mic de teoreme geometrice. ^[77] De asemenea, a definit conceptele de circumferință, diametru, rază și volum. ^[78]

Tsinghua Bamboo Slips, care conține cea mai veche tabelă de înmulțire zecimală cunoscută (deși vechii babilonieni aveau una cu o bază de 60), este datată în jurul anului 305 î.Hr. și este probabil cel mai vechi text matematic care a supraviețuit dinChina . ^[68] De remarcat este folosirea în matematica chineză a unui sistem de notație pozițională zecimală, așa-numitele „numerele cu tije” în care erau folosite cifre distincte pentru numerele între 1 și 10 și cifre suplimentare pentru puterile de zece. ^[69] Astfel, numărul 123 ar fi scris folosind simbolul pentru „1”, urmat de simbolul pentru „100”, apoi simbolul pentru „2” urmat de simbolul pentru „10”, urmat de simbolul pentru „ 3". Acesta era cel mai avansat sistem de numere din lume la acea vreme, aparent folosit cu câteva secole înainte de era comună și cu mult înainte de dezvoltarea sistemului numericindian . ^[76] Numerele cu tije permiteau reprezentarea numerelor atât de mari pe cât se dorește și permiteau efectuarea de calcule pe suan pan, sau abacul chinezesc. Se presupune că oficialii au folosit tabelul înmulțirii pentru a calcula suprafața terenului, randamentele culturilor și sumele de impozite datorate. ^[68]

Era elenistică a început la sfârșitul secolului al IV-lea î.Hr., după cucerirea de către Alexandru cel Mare a Mediteranei de Est,Egipt , Mesopotamia , platoul iranian , Asia Centrală și părți dinIndia , ducând la răspândirea limbii și culturii grecești în aceste regiuni. . Greaca a devenit lingua franca a științei în întreaga lume elenistică, iar matematica perioadei clasice a fuzionat cu matematica egipteană și babiloniană pentru a da naștere matematicii elenistice. ^[27]

Matematica și astronomia greacă au atins apogeul în perioada elenistică și în perioada romană timpurie, iar o mare parte a lucrării a fost reprezentată de autori precum Euclid (fl. 300 î.Hr.), Arhimede (c. 287-212 î.Hr.), Apollonius (c. 240-190 î.Hr.). î.Hr.), Hipparchus (c. 190–120 î.Hr.) și Ptolemeu (c. 100-170 î.Hr.) erau de un nivel foarte avansat și stăpâneau rar în afara unui cerc restrâns.

În perioada elenistică au apărut mai multe centre de învățare, dintre care cel mai important a fost Mouseionul din Alexandria, Egipt, care a atras savanți din întreaga lume elenistică (în mare parte greci, dar și egipteni, evrei, persani, printre alții). ^[28] Deși puțini la număr, matematicienii elenisti au comunicat activ între ei; publicarea consta în transmiterea și copierea lucrării cuiva între colegi. ^[29]

În secolul al III-lea î.Hr., principalul centru de educație și cercetare matematică a fost Muzeul din Alexandria. ^[36] Acolo Euclid (aproximativ 300 î.Hr.) a predat și a scris Elementele, considerate pe scară largă cel mai de succes și mai influent manual din toate timpurile. ^[35]

Considerat „părintele geometriei”, Euclid este cunoscut în principal pentru tratatul Elementelor, care a stabilit bazele geometriei care a dominat în mare măsură domeniul până la începutul secolului al XIX-lea. Sistemul său, denumit acum geometrie euclidiană, a implicat noi inovații în combinație cu o sinteză a teoriilor de la matematicienii greci anteriori, inclusiv Eudoxus din Cnidus, Hipocrate din Chios, Thales și Theaetetus. Împreună cu Arhimede și Apollonius din Perga, Euclid este în general considerat printre cei mai mari matematicieni ai antichității și unul dintre cei mai influenți din istoria matematicii.

Elementele au introdus rigoarea matematică prin metoda axiomatică și este cel mai vechi exemplu al formatului folosit încă în matematică astăzi, cel al definiției, axiomei, teoremei și demonstrației. Deși majoritatea conținutului Elementelor era deja cunoscut, Euclid le-a aranjat într-un singur cadru logic coerent. ^[37] Pe lângă teoremele familiare ale geometriei euclidiene, Elementele a fost concepută ca un manual introductiv la toate subiectele matematice ale vremii, cum ar fi teoria numerelor, algebra și geometria solidă, ^[37] inclusiv dovezi că rădăcina pătrată a două este irațional și că există infinit de numere prime. Euclid a scris pe larg și despre alte subiecte, cum ar fi secțiuni conice, optică, geometrie sferică și mecanică, dar doar jumătate din scrierile sale au supraviețuit. ^[38]

Algoritmul euclidian este unul dintre cei mai vechi algoritmi de uz comun. ^[93] Apare în Elementele lui Euclid (c. 300 î.Hr.), în special în Cartea 7 (Propozițiile 1–2) și Cartea 10 (Propozițiile 2–3). În Cartea 7, algoritmul este formulat pentru numere întregi, în timp ce în Cartea 10, este formulat pentru lungimile segmentelor de linie. Secole mai târziu, algoritmul lui Euclid a fost descoperit independent atât în ​​India, cât și în China, ^[94] în primul rând pentru a rezolva ecuațiile diofantine care au apărut în astronomie și pentru a realiza calendare precise.

Arhimede din Siracuza este considerat unul dintre cei mai importanți oameni de știință din antichitatea clasică. Considerat cel mai mare matematician al istoriei antice și unul dintre cei mai mari din toate timpurile, ^[42] Arhimede a anticipat calculul și analiza modernă aplicând conceptul infinitului mic și metoda epuizării pentru a deriva și dovedi riguros o serie de teoreme geometrice. ^[43] Acestea includ aria unui cerc, aria suprafeței și volumul unei sfere, aria unei elipse, aria sub o parabolă, volumul unui segment al unui paraboloid de revoluție, volumul unui segment al unui hiperboloid al revoluției și aria unei spirale. ^[44]

Alte realizări matematice ale lui Arhimede includ derivarea unei aproximări a lui pi, definirea și investigarea spiralei arhimedeene și conceperea unui sistem care folosește exponențiația pentru exprimarea numerelor foarte mari. De asemenea, a fost unul dintre primii care au aplicat matematica fenomenelor fizice, lucrând la statică și hidrostatică. Realizările lui Arhimede în acest domeniu includ o dovadă a legii pârghiei ^{[45 ,]} utilizarea pe scară largă a conceptului de centru de greutate ^[46] și enunțarea legii plutirii sau principiul lui Arhimede.

Arhimede a murit în timpulasediului Siracuza , când a fost ucis de un soldat roman, în ciuda ordinului ca el să nu fie rănit.

Apollonius din Perga (aproximativ 262–190 î.Hr.) a făcut progrese semnificative în studiul secțiunilor conice, arătând că se pot obține toate cele trei varietăți de secțiune conică variind unghiul planului care taie un con dublu. ^[47] De asemenea, el a inventat terminologia folosită astăzi pentru secțiunile conice, și anume parabola („loc lângă” sau „comparație”), „elipsă” („deficiență”) și „hiperbolă” („o aruncare dincolo”). ^[48] ​​Lucrarea sa Conics este una dintre cele mai cunoscute și conservate lucrări de matematică din antichitate și în ea derivă multe teoreme privind secțiunile conice care s-ar dovedi de neprețuit pentru matematicienii și astronomii de mai târziu care studiază mișcarea planetară, cum ar fi Isaac Newton. ^[49] Deși nici Apollonius, nici alți matematicieni greci nu au făcut saltul către geometria coordonată, tratarea curbelor de către Apollonius este într-un fel similar cu tratamentul modern, iar unele dintre lucrările sale par să anticipeze dezvoltarea geometriei analitice de către Descartes în 1800. ani mai târziu. ^[50]

Secțiunile conice sau figurile bidimensionale formate prin intersecția unui plan cu un con în unghiuri diferite. Teoria acestor cifre a fost dezvoltată extensiv de matematicienii greci antici, supraviețuind mai ales în lucrări precum cele ale lui Apollonius din Perga. Secțiunile conice pătrund în matematica modernă.

În 212 î.Hr., împăratul Qin Shi Huang a ordonat ca toate cărțile din Imperiul Qin, altele decât cele aprobate oficial, să fie arse. Acest decret nu a fost respectat universal, dar, ca urmare a acestei ordini, se știe puțin despre matematica anticăchineză înainte de această dată. După arderea cărților din 212 î.Hr., dinastia Han (202 î.Hr.–220 î.Hr.) a produs lucrări de matematică care probabil s-au extins pe lucrări care acum s-au pierdut.

După arderea cărților din 212 î.Hr., dinastia Han (202 î.Hr.–220 î.Hr.) a produs lucrări de matematică care probabil s-au extins pe lucrări care acum s-au pierdut. Cel mai important dintre acestea este Cele nouă capitole despre arta matematică, al căror titlu complet a apărut până în 179 CE, dar a existat parțial sub alte titluri înainte. Constă din 246 de probleme de cuvinte care implică agricultură, afaceri, folosirea geometriei pentru a calcula intervalele de înălțime și rapoartele de dimensiuni pentru turnurile de pagode din China, inginerie, topografie și include material pe triunghiuri dreptunghiulare. ^[79] A creat dovezi matematice pentru teorema lui Pitagora, ^[81] și o formulă matematică pentru eliminarea lui Gauss. ^[80] Tratatul oferă, de asemenea, valori pentru π, ^[79] pe care matematicienii chinezi le-au aproximat inițial ca 3 până când Liu Xin (d. 23 CE) a furnizat o cifră de 3,1457 și ulterior Zhang Heng (78–139) a aproximat pi ca 3,1724, ^{[80 82]]} precum și 3,162 luând rădăcina pătrată a lui 10. ^[83]

Numerele negative apar pentru prima dată în istorie în cele nouă capitole despre arta matematică, dar pot conține material mult mai vechi. ^[84] Matematicianul Liu Hui (c. secolul al III-lea) a stabilit reguli pentru adunarea și scăderea numerelor negative.

Secolul al III-lea î.Hr. este considerat în general „Epoca de Aur” a matematicii grecești, cu progrese în matematica pură de acum înainte în declin relativ. ^[51] Cu toate acestea, în secolele care au urmat s-au făcut progrese semnificative în matematica aplicată, în special în trigonometrie, în mare măsură pentru a răspunde nevoilor astronomilor. ^[51] Hipparchus din Niceea (c. 190–120 î.Hr.) este considerat fondatorul trigonometriei pentru alcătuirea primului tabel trigonometric cunoscut, iar lui i se datorează și utilizarea sistematică a cercului de 360 ​​de grade. ^[52]

În secolul al II-lea e.n., astronomul greco-egiptean Ptolemeu (din Alexandria, Egipt) a construit tabele trigonometrice detaliate (tabelul de acorduri al lui Ptolemeu) în Cartea 1, capitolul 11 ​​din Almagestul său. Ptolemeu a folosit lungimea acordurilor pentru a-și defini funcțiile trigonometrice, o diferență minoră față de convenția sinusului pe care o folosim astăzi. Au trecut secole înainte ca tabele mai detaliate să fie produse, iar tratatul lui Ptolemeu a rămas în uz pentru efectuarea de calcule trigonometrice în astronomie în următorii 1200 de ani în lumea medievală bizantină, islamică și, mai târziu, în Europa de Vest. Ptolemeu este, de asemenea, creditat cu teorema lui Ptolemeu pentru derivarea cantităților trigonometrice și cea mai precisă valoare a lui π în afara Chinei până în perioada medievală, 3,1416. ^[63]

În matematică, teorema chineză a restului afirmă că, dacă se cunoaște resturile împărțirii euclidiene a unui număr întreg n cu mai multe numere întregi, atunci se poate determina în mod unic restul împărțirii lui n prin produsul acestor numere întregi, cu condiția ca: divizorii sunt coprime perechi (nici doi divizori nu au un factor comun altul decât 1). Cea mai veche afirmație cunoscută a teoremei este făcută de matematicianul chinez Sun-tzu în Sun-tzu Suan-ching din secolul al III-lea e.n.

După o perioadă de stagnare după Ptolemeu, perioada dintre 250 și 350 d.Hr. este uneori denumită „Epoca de Argint” a matematicii grecești. ^[53] În această perioadă, Diophantus a făcut progrese semnificative în algebră, în special analiza nedeterminată, care este cunoscută și sub numele de „analiza diofantică”. ^[54] Studiul ecuațiilor diofantine și al aproximărilor diofantine este un domeniu important de cercetare până în prezent. Principala sa lucrare a fost Arithmetica, o colecție de 150 de probleme algebrice care se ocupă cu soluții exacte la ecuații determinate și nedeterminate. ^[55] Arithmetica a avut o influență semnificativă asupra matematicienilor de mai târziu, precum Pierre de Fermat, care a ajuns la celebra sa Ultima Teoremă după ce a încercat să generalizeze o problemă pe care o citise în Arithmetica (aceea de a împărți un pătrat în două pătrate). ^[56] Diophantus a făcut, de asemenea, progrese semnificative în notație, Arithmetica fiind prima instanță de simbolism algebric și sincopă. ^[55]

Cifreleegiptene antice erau de baza 10. Foloseau hieroglife pentru cifre și nu erau poziționale. La mijlocul mileniului al II-lea î.e.n., matematica babiloniană avea un sistem numeric de poziție de bază 60 sofisticat. Lipsa unei valori poziționale (sau zero) a fost indicată de un spațiu între numerele sexagesimale. Calendarul de numărare lungă mezoamericană dezvoltat în centrul-sud-centrul Mexicului și America Centrală a necesitat utilizarea zero ca substituent în sistemul său numeric pozițional vigesimal (bază-20).

Conceptul de zero ca cifră scrisă în notația valorii zecimale a fost dezvoltat în India. ^[65] Un simbol pentru zero, un punct mare probabil să fie precursorul simbolului gol încă actual, este folosit în manuscrisul Bakhshali, un manual practic de aritmetică pentru comercianți. ^[66] În 2017, prin datarea cu radiocarbon s-a arătat că trei mostre din manuscris provin din trei secole diferite: din 224–383 CE, 680–779 CE și 885–993 CE, ceea ce o face cea mai veche utilizare înregistrată a zero din Asia de Sud. simbol. Nu se știe cum au ajuns să fie ambalate împreună fragmentele de scoarță de mesteacăn din diferite secole care formează manuscrisul. ^[67] Regulile care guvernează utilizarea zero au apărut în Brahmasputha Siddhanta a lui Brahmagupta (secolul al VII-lea), care afirmă ca suma zero cu sine însuși ca zero și împărțirea incorect cu zero ca:

Un număr pozitiv sau negativ atunci când este împărțit la zero este o fracție cu zero ca numitor. Zero împărțit la un număr negativ sau pozitiv este fie zero, fie este exprimat ca o fracție cu zero ca numărător și cantitatea finită ca numitor. Zero împărțit la zero este zero.

Prima femeie matematician înregistrată de istorie a fost Hypatia din Alexandria (350–415 CE). Ea a scris multe lucrări despre matematică aplicată. Din cauza unei dispute politice, comunitatea creștină din Alexandria a dezbrăcat-o public și executată. Moartea ei este uneori considerată ca sfârșitul erei matematicii grecești alexandrine, deși munca a continuat la Atena încă un secol cu ​​figuri precum Proclus, Simplicius și Eutocius. ^[57] Deși Proclus și Simplicius au fost mai mult filozofi decât matematicieni, comentariile lor asupra lucrărilor anterioare sunt surse valoroase despre matematica greacă. Închiderea Academiei neoplatonice din Atena de către împăratul Iustinian în 529 d.Hr. este considerată tradițional ca marcând sfârșitul erei matematicii grecești, deși tradiția greacă a continuat neîntreruptă în Imperiul Bizantin cu matematicieni precum Anthemius de Tralles și Isidore. lui Milet, arhitecții Sfintei Sofia. ^[58] Cu toate acestea, matematica bizantină a constat în cea mai mare parte din comentarii, cu puține inovații, iar centrele de inovare matematică au fost găsite în altă parte până la acest moment. ^[59]

Convenția modernă a sinusului este atestată pentru prima dată în Surya Siddhanta (care arată o puternică influență elenistică) ^[64] , iar proprietățile sale au fost documentate în continuare de matematicianul și astronomul indian Aryabhata din secolul al V-lea (CE). ^[60] Surya Siddhanta descrie reguli pentru calcularea mișcărilor diferitelor planete și a lunii în raport cu diferite constelații, diametre ale diferitelor planete și calculează orbitele diferitelor corpuri astronomice. Textul este cunoscut pentru unele dintre cele mai vechi discuții cunoscute despre fracțiile sexagesimale și funcțiile trigonometrice. ^[61]

În jurul anului 500 d.Hr., Aryabhata a scris Aryabhatiya, un volum subțire, scris în versuri, menit să completeze regulile de calcul folosite în astronomie și măsurarea matematică. ^[62] Deși aproximativ jumătate dintre intrări sunt greșite, este în Aryabhatiya în care sistemul zecimal de valori ale locului apare pentru prima dată.

În secolul al IX-lea, matematicianul Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī a scris o carte importantă despre cifrele hindo-arabe și una despre metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cartea sa Despre calculul cu cifre hinduse, scrisă în jurul anului 825, împreună cu lucrarea lui Al-Kindi, au contribuit la răspândirea matematicii indiene și a cifrelor indiene în Occident. Cuvântul algoritm este derivat din latinizarea numelui său, Algoritmi, iar cuvântul algebră din titlul uneia dintre lucrările sale, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala (Cartea compensiva despre calculul Finalizare și echilibrare). El a dat o explicație exhaustivă pentru soluția algebrică a ecuațiilor pătratice cu rădăcini pozitive ^[87] și a fost primul care a predat algebra într-o formă elementară și de dragul ei. ^[88] El a discutat, de asemenea, metoda fundamentală de „reducere” și „echilibrare”, referindu-se la transpunerea termenilor scăzuți în cealaltă parte a unei ecuații, adică anularea termenilor similari de pe părțile opuse ale ecuației. Aceasta este operațiunea pe care al-Khwārizmī a descris-o inițial drept al-jabr. ^[89] De asemenea, algebra sa nu mai era preocupată „de o serie de probleme de rezolvat, ci de o expunere care începe cu termeni primitivi în care combinațiile trebuie să ofere toate prototipurile posibile pentru ecuații, care de acum înainte constituie în mod explicit adevăratul obiect de studiu. " El a studiat, de asemenea, o ecuație de dragul ei și „într-o manieră generică, în măsura în care ea nu apare pur și simplu în cursul rezolvării unei probleme, ci este chemată în mod specific să definească o clasă infinită de probleme”. ^[90]

Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam ibn Muḥammad Ibn Shujāʿ a fost un matematicianegiptean proeminent în timpul Epocii de Aur islamice. El este considerat primul matematician care a folosit și a acceptat în mod sistematic numerele iraționale ca soluții și coeficienți ai ecuațiilor. ^[91] Tehnicile sale matematice au fost adoptate mai târziu de Fibonacci, permițându-i astfel lui Abu Kamil un rol important în introducerea algebrei în Europa. ^[92]

În America precolumbiană, civilizația Maya care a înflorit în Mexic și America Centrală în timpul mileniului I EC a dezvoltat o tradiție unică de matematică care, datorită izolării sale geografice, a fost complet independentă de matematica europeană,egipteană și asiatică existentă. ^[92] Numerele maya au folosit o bază de douăzeci, sistemul vigesimal, în loc de o bază de zece care formează baza sistemului zecimal folosit de majoritatea culturilor moderne. ^[92] Maya au folosit matematica pentru a crea calendarul Maya, precum și pentru a prezice fenomene astronomice în astronomia lor natală Maya. ^[92] În timp ce conceptul de zero a trebuit să fie dedus în matematica multor culturi contemporane, mayașii au dezvoltat un simbol standard pentru acesta. ^[92]

Cifrele Maya

Secțiunea de pe pagina 43b a Codexului Dresda care arată diferitele reprezentări ale lui zero.

Abū Bakr Muḥammad ibn al Ḥasan al-Karajī a fost un matematician și inginer persan din secolul al X-lea, care a înflorit la Bagdad. S-a născut în Karaj, un oraș de lângă Teheran. Cele trei opere ale sale principale care au supraviețuit sunt matematice: Al-Badi' fi'l-hisab (Minunat la calcul), Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala (Glorios la algebră) și Al-Kafi fi'l- hisab (Suficient la calcul).

Al-Karaji a scris despre matematică și inginerie. Unii îl consideră a fi doar reluând ideile altora (a fost influențat de Diophantus), dar majoritatea îl consideră mai original, în special pentru începuturile eliberării algebrei de geometrie. Dintre istorici, lucrarea sa cea mai studiată este cartea sa de algebră al-fakhri fi al-jabr wa al-muqabala, care supraviețuiește din epoca medievală în cel puțin patru exemplare. Lucrările sale despre algebră și polinoame au dat regulile pentru operațiile aritmetice de adunare, scădere și înmulțire a polinoamelor; deși s-a limitat la împărțirea polinoamelor la monoame.

Nivelul maxim al matematiciichineze a avut loc în secolul al XIII-lea, în a doua jumătate a dinastiei Song (960–1279), odată cu dezvoltarea algebrei chineze. Cel mai important text din acea perioadă este Oglinda prețioasă a celor patru elemente de Zhu Shijie (1249–1314), care se ocupă de rezolvarea ecuațiilor algebrice simultane de ordin superior folosind o metodă similară metodei lui Horner. ^[70] Oglinda Prețioasă conține, de asemenea, o diagramă a triunghiului lui Pascal cu coeficienți de expansiuni binomiale prin puterea a opta, deși ambele apar în lucrările chinezești încă din 1100. ^[71] Chinezii au folosit, de asemenea, diagrama combinatorie complexă cunoscută sub numele de pătrat magic și cercuri magice, descrise în vremuri străvechi și perfecționate de Yang Hui (CE 1238–1298). ^[71]

Desen al triunghiului lui Pascal publicat în 1303 CE de Zhu Shijie (1260-1320 CE), în Si Yuan Yu Jian. A fost numit de către chinezi triunghiul Jia Xian sau triunghiul Yanghui, după matematicianul Jia Xian & Yang Hui.

Matematicajaponeză , matematicacoreeană și matematica vietnameză sunt considerate în mod tradițional ca provenind din matematica chineză și aparținând sferei culturale din Asia de Est bazată pe Confucian. ^[72] Matematica coreeană și japoneză au fost puternic influențate de lucrările algebrice produse în timpul dinastiei Song a Chinei, în timp ce matematica vietnameză a fost puternic îndatorată lucrărilor populare din dinastia Ming din China (1368–1644). ^[73] De exemplu, deși tratatele de matematică vietnameze au fost scrise fie în limba chineză, fie în scriptul nativ vietnamez Chữ Nôm, toate au urmat formatul chinezesc de prezentare a unei colecții de probleme cu algoritmi pentru rezolvarea lor, urmate de răspunsuri numerice. ^[74] Matematica în Vietnam și Coreea a fost asociată în cea mai mare parte cu birocrația profesională a matematicienilor și a astronomilor, în timp ce în Japonia era mai răspândită în domeniul școlilor private. ^[75]

Europenii au aflat despre cifrele arabe în secolul al X-lea, deși răspândirea lor a fost un proces gradual. Două secole mai târziu, în orașul algerian Béjaïa, savantul italian Fibonacci a întâlnit pentru prima dată cifrele; munca sa a fost crucială pentru a le face cunoscute în toată Europa. Comerțul european, cărțile și colonialismul au contribuit la popularizarea adoptării cifrelor arabe în întreaga lume. Cifrele și-au găsit o utilizare în întreaga lume mult dincolo de răspândirea contemporană a alfabetului latin și au devenit comune în sistemele de scriere în care existau anterior alte sisteme numerice, cum ar fi cifrele chinezești și japoneze. Primele mențiuni ale numerelor de la 1 la 9 în Occident se găsesc în Codex Vigilanus din 976, o colecție iluminată de diverse documente istorice care acoperă o perioadă din antichitate până în secolul al X-lea în Hispania. ^[68]

În secolul al XII-lea, savanții europeni au călătorit în Spania și Sicilia, căutând texte științifice arabe, inclusiv Cartea compendioasă a calculului prin completare și echilibrare a lui al-Khwārizmī, tradusă în latină de Robert de Chester, și textul complet al Elementelor lui Euclid, tradus în diverse versiuni ale lui Adelard din Bath, Herman din Carintia și Gerard din Cremona. ^[95] Acestea și alte surse noi au declanșat o reînnoire a matematicii.

Leonardo din Pisa, cunoscut acum sub numele de Fibonacci, a aflat din întâmplare despre cifrele hindo-arabe într-o călătorie în ceea ce este acum Béjaïa, Algeria, împreună cu tatăl său negustor. (Europa folosea încă numere romane.) Acolo, el a observat un sistem de aritmetică (în special algorism) care, datorită notării poziționale a cifrelor hindu-arabe, a fost mult mai eficient și a facilitat foarte mult comerțul. Curând și-a dat seama de numeroasele avantaje ale sistemului hindus-arabe, care, spre deosebire de cifrele romane folosite la acea vreme, permitea un calcul ușor folosind un sistem de valori locului. Leonardo a scris Liber Abaci în 1202 (actualizat în 1254) introducând tehnica în Europa și demarând o lungă perioadă de popularizare. Cartea a adus și în Europa ceea ce este acum cunoscut sub numele de secvența Fibonacci (cunoscută de matematicienii indieni cu sute de ani înainte) ^[96,] pe care Fibonacci a folosit-o ca exemplu neremarcabil.

Matematicianul grec Arhimede a produs prima însumare cunoscută a unei serii infinite cu o metodă care este folosită și astăzi în domeniul calculului. El a folosit metoda epuizării pentru a calcula aria de sub arcul unei parabole cu însumarea unei serii infinite și a dat o aproximare remarcabil de precisă a lui π. ^[86] Școala din Kerala a adus o serie de contribuții în domeniul serii infinite și al calculului.

Teoria matematică modernă a probabilității își are rădăcinile în încercările de a analiza jocurile de noroc ale lui Gerolamo Cardano în secolul al XVI-lea și ale lui Pierre de Fermat și Blaise Pascal în secolul al XVII-lea (de exemplu „problema punctelor”). ^[105] Christiaan Huygens a publicat o carte pe acest subiect în 1657. ^[106] În secolul al XIX-lea, ceea ce este considerată definiția clasică a probabilității a fost completată de Pierre Laplace. ^[107]

Inițial, teoria probabilității a luat în considerare în principal evenimentele discrete, iar metodele sale erau în principal combinatorii. În cele din urmă, considerentele analitice au determinat încorporarea variabilelor continue în teorie.

Acest lucru a culminat cu teoria probabilității moderne, pe bazele puse de Andrey Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov a combinat noțiunea de spațiu eșantion, introdusă de Richard von Mises, și teoria măsurării și și-a prezentat sistemul de axiome pentru teoria probabilității în 1933. Acesta a devenit baza axiomatică de necontestat pentru teoria probabilității moderne; dar există alternative, cum ar fi adoptarea de către Bruno de Finetti a aditivității finite și nu numărabile. ^[108]

Secolul al XVII-lea a cunoscut o creștere fără precedent a ideilor matematice și științifice în toată Europa. Galileo a observat lunile lui Jupiter pe orbită în jurul acelei planete, folosind un telescop bazat pe cel al lui Hans Lipperhey. Tycho Brahe a adunat o mare cantitate de date matematice care descriu pozițiile planetelor pe cer. Prin poziția sa de asistent al lui Brahe, Johannes Kepler a fost expus pentru prima dată și a interacționat serios cu subiectul mișcării planetare. Calculele lui Kepler au fost simplificate prin invenția contemporană a logaritmilor de către John Napier și Jost Bürgi. Kepler a reușit să formuleze legile matematice ale mișcării planetare. Geometria analitică dezvoltată de René Descartes (1596–1650) a permis ca acele orbite să fie trasate pe un grafic, în coordonate carteziene.

Cartezianul se referă la matematicianul și filozoful francez René Descartes, care a publicat această idee în 1637 în timp ce era rezident în Țările de Jos. A fost descoperit independent de Pierre de Fermat, care a lucrat și în trei dimensiuni, deși Fermat nu a publicat descoperirea. ^[109] Clericul francez Nicole Oresme a folosit construcții similare cu coordonatele carteziene cu mult înainte de vremea lui Descartes și Fermat. ^[110]

Atât Descartes, cât și Fermat au folosit o singură axă în tratamentele lor și au o lungime variabilă măsurată în raport cu această axă. Conceptul de folosire a unei perechi de axe a fost introdus mai târziu, după ce La Géométrie a lui Descartes a fost tradusă în latină în 1649 de către Frans van Schooten și studenții săi. Acești comentatori au introdus mai multe concepte în timp ce încercau să clarifice ideile conținute în opera lui Descartes. ^[111]

Dezvoltarea sistemului de coordonate carteziene ar juca un rol fundamental în dezvoltarea calculului de către Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz. ^[112] Descrierea în două coordonate a planului a fost generalizată ulterior în conceptul de spații vectoriale. ^[113]

Multe alte sisteme de coordonate au fost dezvoltate de la Descartes, cum ar fi coordonatele polare pentru plan și coordonatele sferice și cilindrice pentru spațiul tridimensional.

Calculul este studiul matematic al schimbării continue, în același mod în care geometria este studiul formei, iar algebra este studiul generalizărilor operațiilor aritmetice. Are două ramuri majore, calculul diferenţial şi calculul integral; prima se referă la ratele instantanee de schimbare și pantele curbelor, în timp ce cea de-a doua se referă la acumularea de cantități și zonele sub sau între curbe. Aceste două ramuri sunt legate între ele prin teorema fundamentală a calculului și folosesc noțiunile fundamentale de convergență a secvențelor infinite și a seriei infinite la o limită bine definită. ^[97]

Calculul infinitezimal a fost dezvoltat independent la sfârșitul secolului al XVII-lea de Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz. ^[98] Lucrările ulterioare, inclusiv codificarea ideii de limite, au pus aceste dezvoltări pe o bază conceptuală mai solidă. Astăzi, calculul are utilizări pe scară largă în știință, inginerie și științe sociale.

Isaac Newton a dezvoltat utilizarea calculului în legile sale de mișcare și gravitație universală.

Aceste idei au fost aranjate într-un adevărat calcul de infinitezimale de către Gottfried Wilhelm Leibniz, care a fost acuzat inițial de plagiat de Newton. El este acum considerat un inventator independent și un contribuitor la calcul. Contribuția sa a fost de a oferi un set clar de reguli pentru lucrul cu cantități infinitezimale, permițând calcularea derivatelor secundare și superioare și oferind regula produsului și regula lanțului, în formele lor diferențiale și integrale. Spre deosebire de Newton, Leibniz a depus un efort minuțios în alegerile sale de notare. ^[99]

Newton a fost primul care a aplicat calculul la fizica generală, iar Leibniz a dezvoltat o mare parte din notația folosită astăzi în calcul. ^[100] Perspectivele de bază pe care atât Newton, cât și Leibniz le-au furnizat au fost legile diferențierii și integrării, subliniind faptul că diferențierea și integrarea sunt procese inverse, derivate secundare și superioare și noțiunea de serie polinomială de aproximare.

În matematică, teoria grafurilor este studiul grafurilor, care sunt structuri matematice utilizate pentru a modela relațiile perechi între obiecte. Un graf în acest context este format din vârfuri (numite și noduri sau puncte) care sunt conectate prin muchii (numite și legături sau linii). Se face o distincție între graficele nedirecționate, în care muchiile leagă două vârfuri simetric, și graficele direcționate, în care muchiile leagă două vârfuri asimetric. Graficele sunt unul dintre principalele obiecte de studiu în matematica discretă.

Lucrarea scrisă de Leonhard Euler despre cele șapte poduri din Königsberg și publicată în 1736 este considerată prima lucrare din istoria teoriei grafurilor. ^[114] Această lucrare, precum și cea scrisă de Vandermonde despre problema cavalerilor, au continuat cu analiza situs inițiată de Leibniz. Formula lui Euler care raportează numărul de muchii, vârfuri și fețe ale unui poliedru convex a fost studiată și generalizată de Cauchy ^[115] și L'Huilier ^[116] și reprezintă începutul ramului matematicii cunoscut sub numele de topologie.

În statistică, o distribuție normală sau o distribuție Gauss este un tip de distribuție continuă de probabilitate pentru o variabilă aleatorie cu valoare reală. Distribuțiile normale sunt importante în statistică și sunt adesea folosite în științele naturale și sociale pentru a reprezenta variabile aleatoare cu valori reale ale căror distribuții nu sunt cunoscute. ^[124] Importanța lor se datorează parțial teoremei limitei centrale. Se afirmă că, în anumite condiții, media multor eșantioane (observații) ale unei variabile aleatoare cu medie și varianță finite este ea însăși o variabilă aleatoare - a cărei distribuție converge către o distribuție normală pe măsură ce numărul de eșantioane crește. Prin urmare, mărimile fizice despre care se așteaptă să fie suma multor procese independente, cum ar fi erorile de măsurare, au adesea distribuții care sunt aproape normale. ^[125] Unii autori ^[126] atribuie meritul descoperirii distribuției normale lui de Moivre, care în 1738 a publicat în a doua ediție a sa „Doctrina șanselor” studiul coeficienților în expansiunea binomială a (a + b)n.

Formula lui Euler, numită după Leonhard Euler, este o formulă matematică în analiza complexă care stabilește relația fundamentală dintre funcțiile trigonometrice și funcția exponențială complexă. Formula lui Euler este omniprezentă în matematică, fizică, chimie și inginerie. Fizicianul Richard Feynman a numit ecuația „bijuteria noastră” și „cea mai remarcabilă formulă din matematică”. Când x = π, formula lui Euler poate fi rescrisă ca eiπ + 1 = 0 sau eiπ = -1, care este cunoscută sub numele de identitatea lui Euler.

Formula lui Euler ilustrată în plan complex.

În teoria probabilității și statistică, teorema lui Bayes (alternativ legea lui Bayes sau regula lui Bayes), numită după Thomas Bayes, descrie probabilitatea unui eveniment, pe baza cunoștințelor anterioare a condițiilor care ar putea fi legate de eveniment. ^[122] De exemplu, dacă se știe că riscul de a dezvolta probleme de sănătate crește odată cu vârsta, teorema lui Bayes permite ca riscul pentru un individ de o vârstă cunoscută să fie evaluat mai precis, condiționându-l în raport cu vârsta lor, mai degrabă decât pur și simplu presupunerea că individul este tipic populaţiei în ansamblu.

În teoria probabilității și statistică, teorema lui Bayes (alternativ legea lui Bayes sau regula lui Bayes), numită după Thomas Bayes, descrie probabilitatea unui eveniment, pe baza cunoștințelor anterioare a condițiilor care ar putea fi legate de eveniment. ^[122] De exemplu, dacă se știe că riscul de a dezvolta probleme de sănătate crește odată cu vârsta, teorema lui Bayes permite ca riscul pentru un individ de o vârstă cunoscută să fie evaluat mai precis, condiționându-l în raport cu vârsta lor, mai degrabă decât pur și simplu presupunerea că individul este tipic populaţiei în ansamblu.

În fizică și electromagnetism, legea lui Gauss, cunoscută și sub numele de teorema fluxului lui Gauss, (sau uneori numită pur și simplu teorema lui Gauss) este o lege care leagă distribuția sarcinii electrice la câmpul electric rezultat. În forma sa integrală, afirmă că fluxul câmpului electric dintr-o suprafață închisă arbitrară este proporțional cu sarcina electrică închisă de suprafață, indiferent de modul în care acea sarcină este distribuită. Chiar dacă legea singură este insuficientă pentru a determina câmpul electric pe o suprafață care include orice distribuție de sarcină, acest lucru poate fi posibil în cazurile în care simetria impune uniformitatea câmpului. Acolo unde nu există o astfel de simetrie, legea lui Gauss poate fi folosită în forma sa diferențială, care afirmă că divergența câmpului electric este proporțională cu densitatea locală a sarcinii.

Legea a fost formulată pentru prima dată ^[101] de Joseph-Louis Lagrange în 1773, ^[102] urmată de Carl Friedrich Gauss în 1835, ^[103] ambele în contextul atracției elipsoizilor. Este una dintre ecuațiile lui Maxwell, care formează baza electrodinamicii clasice. Legea lui Gauss poate fi folosită pentru a deriva legea lui Coulomb, ^[104] și invers.

În algebra abstractă, teoria grupurilor studiază structurile algebrice cunoscute sub numele de grupuri. Conceptul de grup este central pentru algebra abstractă: alte structuri algebrice binecunoscute, cum ar fi inele, câmpuri și spații vectoriale, pot fi văzute toate ca grupuri dotate cu operații și axiome suplimentare. Grupurile se repetă pe parcursul matematicii, iar metodele teoriei grupurilor au influențat multe părți ale algebrei. Grupurile algebrice liniare și grupurile Lie sunt două ramuri ale teoriei grupurilor care au experimentat progrese și au devenit domenii în sine.

Istoria timpurie a teoriei grupurilor datează din secolul al XIX-lea. Una dintre cele mai importante realizări matematice ale secolului al XX-lea a fost efortul de colaborare, care a ocupat mai mult de 10.000 de pagini de jurnal și publicat în mare parte între 1960 și 2004, care a culminat cu o clasificare completă a grupurilor finite simple.

În matematică, analiza Fourier este studiul modului în care funcțiile generale pot fi reprezentate sau aproximate prin sume de funcții trigonometrice mai simple. Analiza Fourier a luat naștere din studiul seriilor Fourier și poartă numele de Joseph Fourier, care a arătat că reprezentarea unei funcții ca sumă de funcții trigonometrice simplifică foarte mult studiul transferului de căldură.

Subiectul analizei Fourier cuprinde un spectru vast de matematică. În științe și inginerie, procesul de descompunere a unei funcții în componente oscilatorii este adesea numit analiză Fourier, în timp ce operația de reconstrucție a funcției din aceste piese este cunoscută sub denumirea de sinteză Fourier. De exemplu, determinarea ce frecvențe componente sunt prezente într-o notă muzicală ar implica calcularea transformării Fourier a unei note muzicale eșantionate. S-ar putea apoi resintetiza același sunet prin includerea componentelor de frecvență, așa cum a arătat în analiza Fourier. În matematică, termenul de analiză Fourier se referă adesea la studiul ambelor operații.

Procesul de descompunere în sine se numește transformare Fourier. Ieșirea sa, transformata Fourier, primește adesea un nume mai specific, care depinde de domeniul și alte proprietăți ale funcției care este transformată. Mai mult, conceptul original de analiză Fourier a fost extins de-a lungul timpului pentru a se aplica la situații din ce în ce mai abstracte și generale, iar domeniul general este adesea cunoscut sub numele de analiză armonică. Fiecare transformată utilizată pentru analiză (vezi lista transformărilor legate de Fourier) are o transformare inversă corespunzătoare care poate fi utilizată pentru sinteză.

Ecuațiile lui Maxwell, sau ecuațiile Maxwell-Heaviside, sunt un set de ecuații diferențiale parțiale cuplate care, împreună cu legea forței Lorentz, formează fundamentul electromagnetismului clasic, al opticii clasice și al circuitelor electrice. Ecuațiile oferă un model matematic pentru tehnologiile electrice, optice și radio, cum ar fi generarea de energie, motoare electrice, comunicații fără fir, lentile, radar etc. Ele descriu modul în care câmpurile electrice și magnetice sunt generate de sarcini, curenți și modificări ale câmpuri. Ecuațiile sunt numite după fizicianul și matematicianul James Clerk Maxwell, care, în 1861 și 1862, a publicat o formă timpurie a ecuațiilor care includea legea forței Lorentz. Maxwell a folosit mai întâi ecuațiile pentru a propune că lumina este un fenomen electromagnetic. Forma modernă a ecuațiilor în formularea lor cea mai comună este atribuită lui Oliver Heaviside.

Ecuațiile au două variante majore. Ecuațiile microscopice au aplicabilitate universală, dar sunt dificile pentru calculele obișnuite. Ele raportează câmpurile electrice și magnetice la sarcina totală și la curentul total, inclusiv sarcinile și curenții complicate din materiale la scară atomică. Ecuațiile macroscopice definesc două câmpuri auxiliare noi care descriu comportamentul la scară mare al materiei fără a fi nevoie să ia în considerare sarcinile la scară atomică și fenomenele cuantice precum spinii. Cu toate acestea, utilizarea lor necesită parametri determinați experimental pentru o descriere fenomenologică a răspunsului electromagnetic al materialelor. Termenul „ecuații lui Maxwell” este adesea folosit și pentru formulări alternative echivalente. Versiunile ecuațiilor lui Maxwell bazate pe potențialele scalare electrice și magnetice sunt preferate pentru rezolvarea explicită a ecuațiilor ca problemă de valoare la limită, mecanică analitică sau pentru utilizare în mecanica cuantică. Formularea covariantă (pe spațiu-timp mai degrabă decât spațiu și timp separat) face ca compatibilitatea ecuațiilor lui Maxwell cu relativitatea specială să se manifeste. Ecuațiile lui Maxwell în spațiu-timp curbat, utilizate în mod obișnuit în fizica de înaltă energie și gravitațională, sunt compatibile cu relativitatea generală. De fapt, Albert Einstein a dezvoltat relativitatea specială și generală pentru a se adapta vitezei invariante a luminii, o consecință a ecuațiilor lui Maxwell, cu principiul că numai mișcarea relativă are consecințe fizice.

Publicarea ecuațiilor a marcat unificarea unei teorii pentru fenomene descrise anterior separat: magnetism, electricitate, lumină și radiații asociate. De la mijlocul secolului al XX-lea, s-a înțeles că ecuațiile lui Maxwell nu oferă o descriere exactă a fenomenelor electromagnetice, ci sunt în schimb o limită clasică a teoriei mai precise a electrodinamicii cuantice.

Teoria mulțimilor este ramura logicii matematice care studiază mulțimile, care pot fi descrise informal ca colecții de obiecte. Deși obiectele de orice fel pot fi colectate într-o mulțime, teoria mulțimilor, ca ramură a matematicii, se preocupă în principal de cele care sunt relevante pentru matematică în ansamblu.

Studiul modern al teoriei mulțimilor a fost inițiat de matematicienii germani Richard Dedekind și Georg Cantor în anii 1870. În special, Georg Cantor este considerat în mod obișnuit fondatorul teoriei mulțimilor. Sistemele neformalizate investigate în această etapă incipientă merg sub denumirea de teorie naivă a mulțimilor. După descoperirea paradoxurilor în cadrul teoriei multimilor naive (cum ar fi paradoxul lui Russell, paradoxul lui Cantor și paradoxul Burali-Forti), la începutul secolului al XX-lea au fost propuse diverse sisteme axiomatice, dintre care teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel (cu sau fără axioma de alegere) este încă cea mai cunoscută și mai studiată.

Teoria mulțimilor este folosită în mod obișnuit ca sistem de bază pentru întreaga matematică, în special sub forma teoriei mulțimilor Zermelo-Fraenkel cu axioma alegerii. Pe lângă rolul său fundamental, teoria mulțimilor oferă și cadrul pentru dezvoltarea unei teorii matematice a infinitului și are diverse aplicații în informatică (cum ar fi teoria algebrei relaționale), filozofie și semantică formală. Atractia sa fundamentala, impreuna cu paradoxurile sale, implicatiile sale pentru conceptul de infinit si aplicatiile sale multiple, au facut din teoria multimilor un domeniu de interes major pentru logicieni si filozofii matematicii. Cercetarea contemporană în teoria mulțimilor acoperă o gamă largă de subiecte, variind de la structura dreptei numerice reale până la studiul consistenței cardinalilor mari.

Teoria jocurilor este studiul modelelor matematice ale interacțiunilor strategice între agenții raționali. ^[117] Are aplicații în toate domeniile științelor sociale, precum și în logică, știința sistemelor și informatică. Conceptele de teoria jocurilor sunt utilizate pe scară largă și în economie. ^[118] Metodele tradiționale ale teoriei jocurilor s-au adresat jocurilor cu sumă zero pentru două persoane, în care câștigurile sau pierderile fiecărui participant sunt exact echilibrate de pierderile și câștigurile altor participanți. În secolul 21, teoriile avansate ale jocurilor se aplică unei game mai largi de relații comportamentale; este acum un termen umbrelă pentru știința luării deciziilor logice la oameni, animale, precum și computere.

Teoria jocurilor nu a existat ca un domeniu unic până când John von Neumann a publicat lucrarea On the Theory of Games of Strategy în 1928. ^[119] Dovada originală a lui Von Neumann a folosit teorema de punct fix a lui Brouwer asupra mapărilor continue în mulțimi compacte convexe, care a devenit un metoda standard în teoria jocurilor și economia matematică. Lucrarea sa a fost urmată de cartea sa din 1944, Teoria jocurilor și comportamentul economic, în colaborare cu Oskar Morgenstern. ^[120] A doua ediție a acestei cărți a oferit o teorie axiomatică a utilității, care a reîncarnat vechea teorie a utilității (a banilor) a lui Daniel Bernoulli ca disciplină independentă. Lucrarea lui Von Neumann în teoria jocurilor a culminat în această carte din 1944. Această lucrare de bază conține metoda pentru găsirea de soluții reciproc consistente pentru jocurile cu sumă zero pentru două persoane. Lucrările ulterioare s-au concentrat în primul rând pe teoria jocurilor cooperative, care analizează strategiile optime pentru grupuri de indivizi, presupunând că aceștia pot impune acorduri între ei cu privire la strategiile adecvate. ^[121]